Theorem qusxpid 32437

Description: The Group quotient equivalence relation for the whole group is the cartesian product, i.e. all elements are in the same equivalence class. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
qustriv.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qusxpid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem qusxpid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustriv.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgid 18993	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐺 ~QG 𝐵)
4	1, 3	eqger 19043	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵)
5		errel 8700	. . 3 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵 → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
6	2, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
7		relxp 5690	. . 3 ⊢ Rel (𝐵 × 𝐵)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐵 × 𝐵))
9		df-3an 1090	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
10		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	1, 11	grpinvcl 18859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
13	12	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
14		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	1, 15	grpcl 18814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
17	10, 13, 14, 16	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
18	17	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
19	18	pm4.71d 563	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
20	9, 19	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
21		ssid 4002	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
22	1, 11, 15, 3	eqgval 19042	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
23	21, 22	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
24		brxp 5720	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
26	20, 23, 25	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦))
27	6, 8, 26	eqbrrdv 5788	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5144   × cxp 5670  Rel wrel 5677  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396   Er wer 8688  Basecbs 17131  +_gcplusg 17184  Grpcgrp 18806  inv_gcminusg 18807  SubGrpcsubg 18985   ~_QG cqg 18987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-subg 18988  df-eqg 18990

This theorem is referenced by:  qustriv  32438