Theorem qusxpid 33383

Description: The Group quotient equivalence relation for the whole group is the cartesian product, i.e. all elements are in the same equivalence class. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
qustriv.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qusxpid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem qusxpid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustriv.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgid 19116	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐺 ~QG 𝐵)
4	1, 3	eqger 19166	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵)
5		errel 8733	. . 3 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵 → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
6	2, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
7		relxp 5677	. . 3 ⊢ Rel (𝐵 × 𝐵)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐵 × 𝐵))
9		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	1, 11	grpinvcl 18975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
13	12	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
14		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	1, 15	grpcl 18929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
17	10, 13, 14, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
18	17	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
19	18	pm4.71d 561	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
20	9, 19	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
21		ssid 3986	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
22	1, 11, 15, 3	eqgval 19165	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
23	21, 22	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
24		brxp 5708	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
26	20, 23, 25	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦))
27	6, 8, 26	eqbrrdv 5777	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   × cxp 5657  Rel wrel 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   Er wer 8721  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  SubGrpcsubg 19108   ~_QG cqg 19110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-eqg 19113

This theorem is referenced by:  qustriv  33384