Theorem qusxpid 33510

Description: The Group quotient equivalence relation for the whole group is the cartesian product, i.e. all elements are in the same equivalence class. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
qustriv.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qusxpid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem qusxpid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustriv.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgid 19153	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐺 ~QG 𝐵)
4	1, 3	eqger 19202	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵)
5		errel 8683	. . 3 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵 → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
6	2, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
7		relxp 5663	. . 3 ⊢ Rel (𝐵 × 𝐵)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐵 × 𝐵))
9		df-3an 1099	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
10		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	1, 11	grpinvcl 19012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
13	12	adantrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
14		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	1, 15	grpcl 18966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
17	10, 13, 14, 16	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
18	17	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
19	18	pm4.71d 569	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
20	9, 19	bitr4id 292	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
21		ssid 3958	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
22	1, 11, 15, 3	eqgval 19201	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
23	21, 22	mpan2 701	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
24		brxp 5694	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
26	20, 23, 25	3bitr4d 313	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦))
27	6, 8, 26	eqbrrdv 5763	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099   × cxp 5643  Rel wrel 5650  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   Er wer 8670  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  Grpcgrp 18958  inv_gcminusg 18959  SubGrpcsubg 19145   ~_QG cqg 19147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148  df-eqg 19150

This theorem is referenced by:  qustriv  33511