Theorem qusxpid 31559

Description: The Group quotient equivalence relation for the whole group is the cartesian product, i.e. all elements are in the same equivalence class. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
qustriv.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qusxpid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem qusxpid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qustriv.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgid 18757	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐺 ~QG 𝐵)
4	1, 3	eqger 18806	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵)
5		errel 8507	. . 3 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵 → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
6	2, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
7		relxp 5607	. . 3 ⊢ Rel (𝐵 × 𝐵)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐵 × 𝐵))
9		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
10		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	1, 11	grpinvcl 18627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
13	12	adantrr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
14		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	1, 15	grpcl 18585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
17	10, 13, 14, 16	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
18	17	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
19	18	pm4.71d 562	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
20	9, 19	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
21		ssid 3943	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
22	1, 11, 15, 3	eqgval 18805	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
23	21, 22	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
24		brxp 5636	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
26	20, 23, 25	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ 𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦))
27	6, 8, 26	eqbrrdv 5703	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   × cxp 5587  Rel wrel 5594  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   Er wer 8495  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  SubGrpcsubg 18749   ~_QG cqg 18751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-eqg 18754

This theorem is referenced by:  qustriv  31560