Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusxpid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusxpid 31028
 Description: The Group quotient equivalence relation for the whole group is the cartesian product, i.e. all elements are in the same equivalence class. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
qustriv.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
qusxpid (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem qusxpid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qustriv.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgid 18294 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2798 . . . 4 (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐺 ~QG 𝐵)
41, 3eqger 18343 . . 3 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵)
5 errel 8299 . . 3 ((𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵 → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
62, 4, 53syl 18 . 2 (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
7 relxp 5541 . . 3 Rel (𝐵 × 𝐵)
87a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐵 × 𝐵))
9 df-3an 1086 . . . 4 ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
10 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
121, 11grpinvcl 18164 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
1312adantrr 716 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
14 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
15 eqid 2798 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
161, 15grpcl 18123 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1710, 13, 14, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1817ex 416 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
1918pm4.71d 565 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
209, 19bitr4id 293 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
21 ssid 3939 . . . 4 𝐵𝐵
221, 11, 15, 3eqgval 18342 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
2321, 22mpan2 690 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
24 brxp 5569 . . . 4 (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵))
2524a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
2620, 23, 253bitr4d 314 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦))
276, 8, 26eqbrrdv 5634 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5034   × cxp 5521  Rel wrel 5528  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   Er wer 8287  Basecbs 16495  +gcplusg 16577  Grpcgrp 18115  invgcminusg 18116  SubGrpcsubg 18286   ~QG cqg 18288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-subg 18289  df-eqg 18291 This theorem is referenced by:  qustriv  31029
 Copyright terms: Public domain W3C validator