Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusxpid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusxpid 33099
Description: The Group quotient equivalence relation for the whole group is the cartesian product, i.e. all elements are in the same equivalence class. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
qustriv.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
qusxpid (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem qusxpid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qustriv.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgid 19090 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2728 . . . 4 (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐺 ~QG 𝐵)
41, 3eqger 19140 . . 3 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵)
5 errel 8740 . . 3 ((𝐺 ~QG 𝐵) Er 𝐵 → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
62, 4, 53syl 18 . 2 (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐺 ~QG 𝐵))
7 relxp 5700 . . 3 Rel (𝐵 × 𝐵)
87a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → Rel (𝐵 × 𝐵))
9 df-3an 1086 . . . 4 ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
10 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
11 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
121, 11grpinvcl 18951 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
1312adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
14 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
15 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
161, 15grpcl 18905 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1710, 13, 14, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1817ex 411 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵))
1918pm4.71d 560 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
209, 19bitr4id 289 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
21 ssid 4004 . . . 4 𝐵𝐵
221, 11, 15, 3eqgval 19139 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝐵) → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
2321, 22mpan2 689 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)))
24 brxp 5731 . . . 4 (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵))
2524a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
2620, 23, 253bitr4d 310 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥(𝐺 ~QG 𝐵)𝑦𝑥(𝐵 × 𝐵)𝑦))
276, 8, 26eqbrrdv 5799 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ~QG 𝐵) = (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949   class class class wbr 5152   × cxp 5680  Rel wrel 5687  cfv 6553  (class class class)co 7426   Er wer 8728  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  SubGrpcsubg 19082   ~QG cqg 19084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-eqg 19087
This theorem is referenced by:  qustriv  33100
  Copyright terms: Public domain W3C validator