Theorem qusrn 33438

Description: The natural map from elements to their cosets is surjective. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusrn.e	⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusrn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem qusrn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusrn.e	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
2		qusrn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
4		qusrn.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5		nsgsubg 19177	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	2, 3, 7	qusbas2 33435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
9	1, 8	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
10		qusrn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
11		ovex 7465	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
12		ecexg 8750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
14	10, 13	dmmptd 6712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
15	14	imaeq2d 6077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ 𝐵))
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁))) = (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
18		subgrcl 19150	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2	subgid 19147	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	4, 5, 18, 19	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		ssidd 4006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
22	2, 16, 3, 17, 10, 4, 20, 21	qusima 33437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = (𝐹 “ 𝐵))
23		mpteq1 5234	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
24	23	rneqd 5948	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐵 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
25	20	mptexd 7245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
26	25	rnexd 7938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
27	17, 24, 20, 26	fvmptd3 7038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
28	15, 22, 27	3eqtr2rd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝐹 “ dom 𝐹))
29		imadmrn 6087	. . 3 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
30	28, 29	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran 𝐹)
31	9, 30	eqtr2d 2777	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  {csn 4625   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684  ran crn 5685   “ cima 5687  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744   / cqs 8745  Basecbs 17248   /_s cqus 17551  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  NrmSGrpcnsg 19140   ~_QG cqg 19141  LSSumclsm 19653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-oppg 19365  df-lsm 19655

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33762