Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusrn 33417
Description: The natural map from elements to their cosets is surjective. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qusrn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusrn.e 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
qusrn (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem qusrn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusrn.e . . 3 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
2 qusrn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2735 . . . 4 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
4 qusrn.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5 nsgsubg 19189 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
82, 3, 7qusbas2 33414 . . 3 (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
91, 8eqtrid 2787 . 2 (𝜑𝑈 = ran (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
10 qusrn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
11 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
12 ecexg 8748 . . . . . . 7 ((𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
1311, 12mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
1410, 13dmmptd 6714 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
1514imaeq2d 6080 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹𝐵))
16 eqid 2735 . . . . 5 (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
17 eqid 2735 . . . . 5 ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁))) = ( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
18 subgrcl 19162 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
192subgid 19159 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
204, 5, 18, 194syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21 ssidd 4019 . . . . 5 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
222, 16, 3, 17, 10, 4, 20, 21qusima 33416 . . . 4 (𝜑 → (( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
23 mpteq1 5241 . . . . . 6 ( = 𝐵 → (𝑥 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
2423rneqd 5952 . . . . 5 ( = 𝐵 → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
2520mptexd 7244 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
2625rnexd 7938 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
2717, 24, 20, 26fvmptd3 7039 . . . 4 (𝜑 → (( ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = ran (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
2815, 22, 273eqtr2rd 2782 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝐹 “ dom 𝐹))
29 imadmrn 6090 . . 3 (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
3028, 29eqtrdi 2791 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran 𝐹)
319, 30eqtr2d 2776 1 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245   /s cqus 17552  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153  LSSumclsm 19667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-oppg 19377  df-lsm 19669
This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33726
  Copyright terms: Public domain W3C validator