Theorem qusrn 33846

Description: The natural map from elements to their cosets is surjective. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusrn.e	⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusrn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem qusrn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusrn.e	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
2		qusrn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
4		qusrn.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5		nsgsubg 19287	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	2, 3, 7	qusbas2 33843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
9	1, 8	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
10		qusrn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
11		ovex 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
12		ecexg 8704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
13	11, 12	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
14	10, 13	dmmptd 6681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
15	14	imaeq2d 6060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ 𝐵))
16		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
17		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁))) = (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
18		subgrcl 19260	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2	subgid 19257	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	4, 5, 18, 19	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		ssidd 3957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
22	2, 16, 3, 17, 10, 4, 20, 21	qusima 33845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = (𝐹 “ 𝐵))
23		mpteq1 5198	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
24	23	rneqd 5926	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐵 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
25	20	mptexd 7227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
26	25	rnexd 7916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
27	17, 24, 20, 26	fvmptd3 7014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
28	15, 22, 27	3eqtr2rd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝐹 “ dom 𝐹))
29		imadmrn 6070	. . 3 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
30	28, 29	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran 𝐹)
31	9, 30	eqtr2d 2798	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  [cec 8698   / cqs 8699  Basecbs 17307   /_s cqus 17597  Grpcgrp 19063  SubGrpcsubg 19249  NrmSGrpcnsg 19250   ~_QG cqg 19251  LSSumclsm 19767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-nsg 19253  df-eqg 19254  df-oppg 19479  df-lsm 19769

This theorem is used by:  algextdeglem4  34238