Theorem qusrn 33381

Description: The natural map from elements to their cosets is surjective. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusrn.e	⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusrn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem qusrn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusrn.e	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
2		qusrn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
4		qusrn.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5		nsgsubg 19072	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	2, 3, 7	qusbas2 33378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
9	1, 8	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
10		qusrn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
11		ovex 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
12		ecexg 8632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
14	10, 13	dmmptd 6631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
15	14	imaeq2d 6013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ 𝐵))
16		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
17		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁))) = (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
18		subgrcl 19046	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2	subgid 19043	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	4, 5, 18, 19	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		ssidd 3954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
22	2, 16, 3, 17, 10, 4, 20, 21	qusima 33380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = (𝐹 “ 𝐵))
23		mpteq1 5182	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
24	23	rneqd 5882	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐵 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
25	20	mptexd 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
26	25	rnexd 7851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
27	17, 24, 20, 26	fvmptd3 6958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
28	15, 22, 27	3eqtr2rd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝐹 “ dom 𝐹))
29		imadmrn 6023	. . 3 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
30	28, 29	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran 𝐹)
31	9, 30	eqtr2d 2769	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  {csn 4575   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619  ran crn 5620   “ cima 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  [cec 8626   / cqs 8627  Basecbs 17122   /_s cqus 17411  Grpcgrp 18848  SubGrpcsubg 19035  NrmSGrpcnsg 19036   ~_QG cqg 19037  LSSumclsm 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-nsg 19039  df-eqg 19040  df-oppg 19260  df-lsm 19550

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33754