Theorem qusrn 33119

Description: The natural map from elements to their cosets is surjective. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusrn.e	⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusrn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem qusrn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusrn.e	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
2		qusrn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
4		qusrn.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5		nsgsubg 19112	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	2, 3, 7	qusbas2 33116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
9	1, 8	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
10		qusrn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
11		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
12		ecexg 8728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
14	10, 13	dmmptd 6700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
15	14	imaeq2d 6063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ 𝐵))
16		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
17		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁))) = (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
18		subgrcl 19085	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2	subgid 19082	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	4, 5, 18, 19	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		ssidd 4003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
22	2, 16, 3, 17, 10, 4, 20, 21	qusima 33118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = (𝐹 “ 𝐵))
23		mpteq1 5241	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
24	23	rneqd 5940	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐵 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
25	20	mptexd 7236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
26	25	rnexd 7923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
27	17, 24, 20, 26	fvmptd3 7028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
28	15, 22, 27	3eqtr2rd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝐹 “ dom 𝐹))
29		imadmrn 6073	. . 3 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
30	28, 29	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran 𝐹)
31	9, 30	eqtr2d 2769	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679   “ cima 5681  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  [cec 8722   / cqs 8723  Basecbs 17179   /_s cqus 17486  Grpcgrp 18889  SubGrpcsubg 19074  NrmSGrpcnsg 19075   ~_QG cqg 19076  LSSumclsm 19588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-eqg 19079  df-oppg 19296  df-lsm 19590

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33388