Theorem qusrn 33484

Description: The natural map from elements to their cosets is surjective. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusrn.e	⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusrn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusrn	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem qusrn

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusrn.e	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁))
2		qusrn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
4		qusrn.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5		nsgsubg 19124	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	2, 3, 7	qusbas2 33481	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
9	1, 8	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
10		qusrn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
11		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V
12		ecexg 8640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ V)
14	10, 13	dmmptd 6637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
15	14	imaeq2d 6019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ 𝐵))
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁))) = (ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
18		subgrcl 19098	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
19	2	subgid 19095	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	4, 5, 18, 19	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21		ssidd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
22	2, 16, 3, 17, 10, 4, 20, 21	qusima 33483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = (𝐹 “ 𝐵))
23		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
24	23	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐵 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
25	20	mptexd 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
26	25	rnexd 7859	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) ∈ V)
27	17, 24, 20, 26	fvmptd3 6965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℎ ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))‘𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)))
28	15, 22, 27	3eqtr2rd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = (𝐹 “ dom 𝐹))
29		imadmrn 6029	. . 3 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
30	28, 29	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝑥} (LSSum‘𝐺)𝑁)) = ran 𝐹)
31	9, 30	eqtr2d 2773	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  [cec 8634   / cqs 8635  Basecbs 17170   /_s cqus 17460  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  NrmSGrpcnsg 19088   ~_QG cqg 19089  LSSumclsm 19600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-oppg 19312  df-lsm 19602

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33880