Theorem subgss 19007

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19006	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-subg 19003

This theorem is referenced by:  subgbas  19010  subg0  19012  subginv  19013  subgsubcl  19017  subgsub  19018  subgmulgcl  19019  subgmulg  19020  issubg2  19021  issubg4  19025  subsubg  19029  subgint  19030  trivsubgd  19033  nsgconj  19039  nsgacs  19042  ssnmz  19046  eqger  19058  eqgid  19060  eqgen  19061  eqgcpbl  19062  lagsubg2  19071  lagsubg  19072  eqg0subg  19073  resghm  19108  ghmnsgima  19116  conjsubg  19124  conjsubgen  19125  conjnmz  19126  conjnmzb  19127  gicsubgen  19152  subgga  19164  gasubg  19166  gastacos  19174  orbstafun  19175  cntrsubgnsg  19207  oddvds2  19434  subgpgp  19465  odcau  19472  pgpssslw  19482  sylow2blem1  19488  sylow2blem2  19489  sylow2blem3  19490  slwhash  19492  fislw  19493  sylow2  19494  sylow3lem1  19495  sylow3lem2  19496  sylow3lem3  19497  sylow3lem4  19498  sylow3lem5  19499  sylow3lem6  19500  lsmval  19516  lsmelval  19517  lsmelvali  19518  lsmelvalm  19519  lsmsubg  19522  lsmub1  19525  lsmub2  19526  lsmless1  19528  lsmless2  19529  lsmless12  19530  lsmass  19537  subglsm  19541  lsmmod  19543  cntzrecd  19546  lsmcntz  19547  lsmcntzr  19548  lsmdisj2  19550  subgdisj1  19559  pj1f  19565  pj1id  19567  pj1lid  19569  pj1rid  19570  pj1ghm  19571  qusecsub  19703  subgabl  19704  ablcntzd  19725  lsmcom  19726  dprdff  19882  dprdfadd  19890  dprdres  19898  dprdss  19899  subgdmdprd  19904  dprdcntz2  19908  dmdprdsplit2lem  19915  ablfacrp  19936  ablfac1eu  19943  pgpfac1lem1  19944  pgpfac1lem2  19945  pgpfac1lem3a  19946  pgpfac1lem3  19947  pgpfac1lem4  19948  pgpfac1lem5  19949  pgpfaclem1  19951  pgpfaclem2  19952  pgpfaclem3  19953  ablfaclem3  19957  ablfac2  19959  prmgrpsimpgd  19984  issubrg2  20339  issubrg3  20347  islss4  20573  dflidl2lem  20842  phssip  21211  mpllsslem  21559  subgtgp  23609  subgntr  23611  opnsubg  23612  clssubg  23613  clsnsg  23614  cldsubg  23615  qustgpopn  23624  qustgphaus  23627  tgptsmscls  23654  subgnm  24142  subgngp  24144  lssnlm  24218  cmscsscms  24890  efgh  26050  efabl  26059  efsubm  26060  gsumsubg  32229  qusker  32495  eqgvscpbl  32496  grplsmid  32545  quslsm  32547  qusima  32550  nsgmgc  32554  nsgqusf1olem1  32555  nsgqusf1olem2  32556  nsgqusf1olem3  32557  ghmquskerlem1  32559  qsnzr  32605  opprqusplusg  32634  opprqus0g  32635  algextdeglem1  32803  nelsubgcld  41119  nelsubgsubcld  41120  idomsubgmo  41988  issubrng2  46785  dflidl2rng  46798