Theorem subgss 18272

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgss	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 18271	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp2bi 1143	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Grpcgrp 18095  SubGrpcsubg 18265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-subg 18268

This theorem is referenced by:  subgbas  18275  subg0  18277  subginv  18278  subgsubcl  18282  subgsub  18283  subgmulgcl  18284  subgmulg  18285  issubg2  18286  issubg4  18290  subsubg  18294  subgint  18295  trivsubgd  18297  nsgconj  18303  nsgacs  18306  ssnmz  18310  eqger  18322  eqgid  18324  eqgen  18325  eqgcpbl  18326  lagsubg2  18333  lagsubg  18334  resghm  18366  ghmnsgima  18374  conjsubg  18382  conjsubgen  18383  conjnmz  18384  conjnmzb  18385  gicsubgen  18410  subgga  18422  gasubg  18424  gastacos  18432  orbstafun  18433  cntrsubgnsg  18463  oddvds2  18685  subgpgp  18714  odcau  18721  pgpssslw  18731  sylow2blem1  18737  sylow2blem2  18738  sylow2blem3  18739  slwhash  18741  fislw  18742  sylow2  18743  sylow3lem1  18744  sylow3lem2  18745  sylow3lem3  18746  sylow3lem4  18747  sylow3lem5  18748  sylow3lem6  18749  lsmval  18765  lsmelval  18766  lsmelvali  18767  lsmelvalm  18768  lsmsubg  18771  lsmub1  18774  lsmub2  18775  lsmless1  18777  lsmless2  18778  lsmless12  18779  lsmass  18787  subglsm  18791  lsmmod  18793  cntzrecd  18796  lsmcntz  18797  lsmcntzr  18798  lsmdisj2  18800  subgdisj1  18809  pj1f  18815  pj1id  18817  pj1lid  18819  pj1rid  18820  pj1ghm  18821  subgabl  18949  ablcntzd  18970  lsmcom  18971  dprdff  19127  dprdfadd  19135  dprdres  19143  dprdss  19144  subgdmdprd  19149  dprdcntz2  19153  dmdprdsplit2lem  19160  ablfacrp  19181  ablfac1eu  19188  pgpfac1lem1  19189  pgpfac1lem2  19190  pgpfac1lem3a  19191  pgpfac1lem3  19192  pgpfac1lem4  19193  pgpfac1lem5  19194  pgpfaclem1  19196  pgpfaclem2  19197  pgpfaclem3  19198  ablfaclem3  19202  ablfac2  19204  prmgrpsimpgd  19229  issubrg2  19548  issubrg3  19556  islss4  19727  phssip  20347  mpllsslem  20673  subgtgp  22710  subgntr  22712  opnsubg  22713  clssubg  22714  clsnsg  22715  cldsubg  22716  qustgpopn  22725  qustgphaus  22728  tgptsmscls  22755  subgnm  23239  subgngp  23241  lssnlm  23307  cmscsscms  23977  efgh  25133  efabl  25142  efsubm  25143  gsumsubg  30731  qusker  30969  eqgvscpbl  30970  nelsubgcld  39424  nelsubgsubcld  39425  idomsubgmo  40142