Theorem subggrp 18673

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 18670	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1145	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-subg 18667

This theorem is referenced by:  subg0  18676  subginv  18677  subg0cl  18678  subginvcl  18679  subgcl  18680  issubg2  18685  issubgrpd  18687  subsubg  18693  resghm  18765  resghm2b  18767  subgga  18821  gasubg  18823  odsubdvds  19091  pgp0  19116  subgpgp  19117  sylow2blem2  19141  slwhash  19144  fislw  19145  subglsm  19194  pj1ghm  19224  subgabl  19352  cntrabl  19359  cycsubgcyg  19417  subgdmdprd  19552  subgdprd  19553  ablfacrplem  19583  pgpfaclem1  19599  pgpfaclem3  19601  ablfaclem3  19605  issubrg2  19959  subdrgint  19986  islss3  20136  zringcyg  20603  cnmsgngrp  20696  psgnghm  20697  mplgrp  21132  scmatghm  21590  m2cpmrngiso  21815  subgtgp  23164  subgngp  23697  reefgim  25514  amgmlemALT  46393