Theorem subggrp 19300

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19297	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1165	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  Grpcgrp 19105  SubGrpcsubg 19291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ov 7411  df-subg 19294

This theorem is used by:  subg0  19303  subginv  19304  subg0cl  19305  subginvcl  19306  subgcl  19307  issubg2  19313  issubgrpd  19315  subsubg  19321  resghm  19407  resghm2b  19409  subgga  19475  gasubg  19477  odsubdvds  19746  pgp0  19771  subgpgp  19772  sylow2blem2  19796  slwhash  19799  fislw  19800  subglsm  19848  pj1ghm  19878  subgabl  20011  cntrabl  20018  cycsubgcyg  20076  subgdmdprd  20211  subgdprd  20212  ablfacrplem  20242  pgpfaclem1  20258  pgpfaclem3  20260  ablfaclem3  20264  issubrg2  20805  subdrgint  21021  islss3  21195  zringcyg  21736  cnmsgngrp  21846  psgnghm  21847  mplgrp  22285  scmatghm  22809  subgtgp  24385  subgngp  24915  reefgim  26740  subgmulgcld  33537  ressply1sub  34035  amgmlemALT  50910