MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subggrp 18214
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subggrp (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
2 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32issubg 18211 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
43simp3bi 1141 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
51, 4eqeltrid 2921 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2106  wss 3939  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  s cress 16476  Grpcgrp 18035  SubGrpcsubg 18205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fv 6359  df-ov 7154  df-subg 18208
This theorem is referenced by:  subg0  18217  subginv  18218  subg0cl  18219  subginvcl  18220  subgcl  18221  issubg2  18226  issubgrpd  18228  subsubg  18234  resghm  18306  resghm2b  18308  subgga  18362  gasubg  18364  odsubdvds  18618  pgp0  18643  subgpgp  18644  sylow2blem2  18668  slwhash  18671  fislw  18672  subglsm  18721  pj1ghm  18751  subgabl  18878  cntrabl  18885  cycsubgcyg  18943  subgdmdprd  19078  subgdprd  19079  ablfacrplem  19109  pgpfaclem1  19125  pgpfaclem3  19127  ablfaclem3  19131  issubrg2  19477  subdrgint  19504  islss3  19653  mplgrp  20151  zringcyg  20554  cnmsgngrp  20639  psgnghm  20640  scmatghm  21058  m2cpmrngiso  21282  subgtgp  22629  subgngp  23159  reefgim  24953  amgmlemALT  44733
  Copyright terms: Public domain W3C validator