Theorem subggrp 19173

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19170	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1161	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  Grpcgrp 18977  SubGrpcsubg 19164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fv 6531  df-ov 7401  df-subg 19167

This theorem is referenced by:  subg0  19176  subginv  19177  subg0cl  19178  subginvcl  19179  subgcl  19180  issubg2  19185  issubgrpd  19187  subsubg  19193  resghm  19274  resghm2b  19276  subgga  19342  gasubg  19344  odsubdvds  19613  pgp0  19638  subgpgp  19639  sylow2blem2  19663  slwhash  19666  fislw  19667  subglsm  19715  pj1ghm  19745  subgabl  19878  cntrabl  19885  cycsubgcyg  19943  subgdmdprd  20078  subgdprd  20079  ablfacrplem  20109  pgpfaclem1  20125  pgpfaclem3  20127  ablfaclem3  20131  issubrg2  20644  subdrgint  20854  islss3  21028  zringcyg  21523  cnmsgngrp  21633  psgnghm  21634  mplgrp  22070  scmatghm  22595  subgtgp  24167  subgngp  24697  reefgim  26515  subgmulgcld  33225  ressply1sub  33768  amgmlemALT  50429