Theorem subggrp 19094

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19091	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1148	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7361  df-subg 19088

This theorem is referenced by:  subg0  19097  subginv  19098  subg0cl  19099  subginvcl  19100  subgcl  19101  issubg2  19106  issubgrpd  19108  subsubg  19114  resghm  19196  resghm2b  19198  subgga  19264  gasubg  19266  odsubdvds  19535  pgp0  19560  subgpgp  19561  sylow2blem2  19585  slwhash  19588  fislw  19589  subglsm  19637  pj1ghm  19667  subgabl  19800  cntrabl  19807  cycsubgcyg  19865  subgdmdprd  20000  subgdprd  20001  ablfacrplem  20031  pgpfaclem1  20047  pgpfaclem3  20049  ablfaclem3  20053  issubrg2  20558  subdrgint  20769  islss3  20943  zringcyg  21457  cnmsgngrp  21567  psgnghm  21568  mplgrp  22004  scmatghm  22507  subgtgp  24079  subgngp  24609  reefgim  26431  subgmulgcld  33124  ressply1sub  33650  amgmlemALT  50275