Theorem subggrp 19105

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19102	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1148	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-subg 19099

This theorem is referenced by:  subg0  19108  subginv  19109  subg0cl  19110  subginvcl  19111  subgcl  19112  issubg2  19117  issubgrpd  19119  subsubg  19125  resghm  19207  resghm2b  19209  subgga  19275  gasubg  19277  odsubdvds  19546  pgp0  19571  subgpgp  19572  sylow2blem2  19596  slwhash  19599  fislw  19600  subglsm  19648  pj1ghm  19678  subgabl  19811  cntrabl  19818  cycsubgcyg  19876  subgdmdprd  20011  subgdprd  20012  ablfacrplem  20042  pgpfaclem1  20058  pgpfaclem3  20060  ablfaclem3  20064  issubrg2  20569  subdrgint  20780  islss3  20954  zringcyg  21449  cnmsgngrp  21559  psgnghm  21560  mplgrp  21995  scmatghm  22498  subgtgp  24070  subgngp  24600  reefgim  26415  subgmulgcld  33104  ressply1sub  33630  amgmlemALT  50278