Theorem subggrp 19339

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19336	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1165	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  Grpcgrp 19144  SubGrpcsubg 19330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-subg 19333

This theorem is used by:  subg0  19342  subginv  19343  subg0cl  19344  subginvcl  19345  subgcl  19346  issubg2  19352  issubgrpd  19354  subsubg  19360  resghm  19446  resghm2b  19448  subgga  19514  gasubg  19516  odsubdvds  19785  pgp0  19810  subgpgp  19811  sylow2blem2  19835  slwhash  19838  fislw  19839  subglsm  19887  pj1ghm  19917  subgabl  20050  cntrabl  20057  cycsubgcyg  20115  subgdmdprd  20250  subgdprd  20251  ablfacrplem  20281  pgpfaclem1  20297  pgpfaclem3  20299  ablfaclem3  20303  issubrg2  20844  subdrgint  21060  islss3  21234  zringcyg  21775  cnmsgngrp  21885  psgnghm  21886  mplgrp  22324  scmatghm  22848  subgtgp  24424  subgngp  24954  reefgim  26777  subgmulgcld  33604  ressply1sub  34102  amgmlemALT  50988