Theorem subggrp 19253

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19250	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1165	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  Grpcgrp 19058  SubGrpcsubg 19244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-subg 19247

This theorem is used by:  subg0  19256  subginv  19257  subg0cl  19258  subginvcl  19259  subgcl  19260  issubg2  19266  issubgrpd  19268  subsubg  19274  resghm  19360  resghm2b  19362  subgga  19428  gasubg  19430  odsubdvds  19699  pgp0  19724  subgpgp  19725  sylow2blem2  19749  slwhash  19752  fislw  19753  subglsm  19801  pj1ghm  19831  subgabl  19964  cntrabl  19971  cycsubgcyg  20029  subgdmdprd  20164  subgdprd  20165  ablfacrplem  20195  pgpfaclem1  20211  pgpfaclem3  20213  ablfaclem3  20217  issubrg2  20755  subdrgint  20970  islss3  21144  zringcyg  21683  cnmsgngrp  21793  psgnghm  21794  mplgrp  22232  scmatghm  22756  subgtgp  24332  subgngp  24862  reefgim  26683  subgmulgcld  33470  ressply1sub  33967  amgmlemALT  50808