Theorem subggrp 19100

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19097	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1148	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  Grpcgrp 18904  SubGrpcsubg 19091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fv 6502  df-ov 7365  df-subg 19094

This theorem is referenced by:  subg0  19103  subginv  19104  subg0cl  19105  subginvcl  19106  subgcl  19107  issubg2  19112  issubgrpd  19114  subsubg  19120  resghm  19202  resghm2b  19204  subgga  19270  gasubg  19272  odsubdvds  19541  pgp0  19566  subgpgp  19567  sylow2blem2  19591  slwhash  19594  fislw  19595  subglsm  19643  pj1ghm  19673  subgabl  19806  cntrabl  19813  cycsubgcyg  19871  subgdmdprd  20006  subgdprd  20007  ablfacrplem  20037  pgpfaclem1  20053  pgpfaclem3  20055  ablfaclem3  20059  issubrg2  20564  subdrgint  20775  islss3  20949  zringcyg  21463  cnmsgngrp  21573  psgnghm  21574  mplgrp  22009  scmatghm  22512  subgtgp  24084  subgngp  24614  reefgim  26432  subgmulgcld  33123  ressply1sub  33649  amgmlemALT  50294