Theorem subggrp 19043

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19040	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1147	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  Grpcgrp 18847  SubGrpcsubg 19034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7372  df-subg 19037

This theorem is referenced by:  subg0  19046  subginv  19047  subg0cl  19048  subginvcl  19049  subgcl  19050  issubg2  19055  issubgrpd  19057  subsubg  19063  resghm  19146  resghm2b  19148  subgga  19214  gasubg  19216  odsubdvds  19485  pgp0  19510  subgpgp  19511  sylow2blem2  19535  slwhash  19538  fislw  19539  subglsm  19587  pj1ghm  19617  subgabl  19750  cntrabl  19757  cycsubgcyg  19815  subgdmdprd  19950  subgdprd  19951  ablfacrplem  19981  pgpfaclem1  19997  pgpfaclem3  19999  ablfaclem3  20003  issubrg2  20512  subdrgint  20723  islss3  20897  zringcyg  21411  cnmsgngrp  21521  psgnghm  21522  mplgrp  21959  scmatghm  22453  subgtgp  24025  subgngp  24556  reefgim  26393  subgmulgcld  33027  ressply1sub  33532  amgmlemALT  49785