Theorem subggrp 19160

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19157	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1146	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-subg 19154

This theorem is referenced by:  subg0  19163  subginv  19164  subg0cl  19165  subginvcl  19166  subgcl  19167  issubg2  19172  issubgrpd  19174  subsubg  19180  resghm  19263  resghm2b  19265  subgga  19331  gasubg  19333  odsubdvds  19604  pgp0  19629  subgpgp  19630  sylow2blem2  19654  slwhash  19657  fislw  19658  subglsm  19706  pj1ghm  19736  subgabl  19869  cntrabl  19876  cycsubgcyg  19934  subgdmdprd  20069  subgdprd  20070  ablfacrplem  20100  pgpfaclem1  20116  pgpfaclem3  20118  ablfaclem3  20122  issubrg2  20609  subdrgint  20821  islss3  20975  zringcyg  21498  cnmsgngrp  21615  psgnghm  21616  mplgrp  22055  scmatghm  22555  subgtgp  24129  subgngp  24664  reefgim  26509  subgmulgcld  33031  ressply1sub  33575  amgmlemALT  49034