Theorem subggrp 19201

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19198	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1164	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  Grpcgrp 19006  SubGrpcsubg 19192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7415  df-subg 19195

This theorem is used by:  subg0  19204  subginv  19205  subg0cl  19206  subginvcl  19207  subgcl  19208  issubg2  19214  issubgrpd  19216  subsubg  19222  resghm  19308  resghm2b  19310  subgga  19376  gasubg  19378  odsubdvds  19647  pgp0  19672  subgpgp  19673  sylow2blem2  19697  slwhash  19700  fislw  19701  subglsm  19749  pj1ghm  19779  subgabl  19912  cntrabl  19919  cycsubgcyg  19977  subgdmdprd  20112  subgdprd  20113  ablfacrplem  20143  pgpfaclem1  20159  pgpfaclem3  20161  ablfaclem3  20165  issubrg2  20702  subdrgint  20917  islss3  21091  zringcyg  21630  cnmsgngrp  21740  psgnghm  21741  mplgrp  22177  scmatghm  22701  subgtgp  24273  subgngp  24803  reefgim  26624  subgmulgcld  33372  ressply1sub  33869  amgmlemALT  50678