Theorem subggrp 18274

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 18271	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1144	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2894	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Grpcgrp 18095  SubGrpcsubg 18265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-subg 18268

This theorem is referenced by:  subg0  18277  subginv  18278  subg0cl  18279  subginvcl  18280  subgcl  18281  issubg2  18286  issubgrpd  18288  subsubg  18294  resghm  18366  resghm2b  18368  subgga  18422  gasubg  18424  odsubdvds  18688  pgp0  18713  subgpgp  18714  sylow2blem2  18738  slwhash  18741  fislw  18742  subglsm  18791  pj1ghm  18821  subgabl  18949  cntrabl  18956  cycsubgcyg  19014  subgdmdprd  19149  subgdprd  19150  ablfacrplem  19180  pgpfaclem1  19196  pgpfaclem3  19198  ablfaclem3  19202  issubrg2  19548  subdrgint  19575  islss3  19724  zringcyg  20184  cnmsgngrp  20268  psgnghm  20269  mplgrp  20689  scmatghm  21138  m2cpmrngiso  21363  subgtgp  22710  subgngp  23241  reefgim  25045  amgmlemALT  45331