Theorem subggrp 19365

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19362	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1165	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  Grpcgrp 19170  SubGrpcsubg 19356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-ov 7443  df-subg 19359

This theorem is used by:  subg0  19368  subginv  19369  subg0cl  19370  subginvcl  19371  subgcl  19372  issubg2  19378  issubgrpd  19380  subsubg  19386  resghm  19472  resghm2b  19474  subgga  19541  gasubg  19543  odsubdvds  19812  pgp0  19837  subgpgp  19838  sylow2blem2  19862  slwhash  19865  fislw  19866  subglsm  19914  pj1ghm  19944  subgabl  20077  cntrabl  20084  cycsubgcyg  20142  subgdmdprd  20277  subgdprd  20278  ablfacrplem  20308  pgpfaclem1  20324  pgpfaclem3  20326  ablfaclem3  20330  issubrg2  20871  subdrgint  21087  islss3  21261  zringcyg  21802  cnmsgngrp  21912  psgnghm  21913  mplgrp  22351  scmatghm  22875  subgtgp  24451  subgngp  24981  reefgim  26804  subgmulgcld  33671  ressply1sub  34169  amgmlemALT  51266