MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subggrp 18936
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subggrp (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
2 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32issubg 18933 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
43simp3bi 1148 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
51, 4eqeltrid 2838 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  s cress 17117  Grpcgrp 18753  SubGrpcsubg 18927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-subg 18930
This theorem is referenced by:  subg0  18939  subginv  18940  subg0cl  18941  subginvcl  18942  subgcl  18943  issubg2  18948  issubgrpd  18950  subsubg  18956  resghm  19029  resghm2b  19031  subgga  19085  gasubg  19087  odsubdvds  19358  pgp0  19383  subgpgp  19384  sylow2blem2  19408  slwhash  19411  fislw  19412  subglsm  19460  pj1ghm  19490  subgabl  19619  cntrabl  19626  cycsubgcyg  19683  subgdmdprd  19818  subgdprd  19819  ablfacrplem  19849  pgpfaclem1  19865  pgpfaclem3  19867  ablfaclem3  19871  issubrg2  20256  subdrgint  20284  islss3  20435  zringcyg  20906  cnmsgngrp  20999  psgnghm  21000  mplgrp  21438  scmatghm  21898  subgtgp  23472  subgngp  24007  reefgim  25825  ressply1sub  32329  amgmlemALT  47336
  Copyright terms: Public domain W3C validator