Theorem subggrp 19045

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19042	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1145	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-subg 19039

This theorem is referenced by:  subg0  19048  subginv  19049  subg0cl  19050  subginvcl  19051  subgcl  19052  issubg2  19057  issubgrpd  19059  subsubg  19065  resghm  19146  resghm2b  19148  subgga  19205  gasubg  19207  odsubdvds  19480  pgp0  19505  subgpgp  19506  sylow2blem2  19530  slwhash  19533  fislw  19534  subglsm  19582  pj1ghm  19612  subgabl  19745  cntrabl  19752  cycsubgcyg  19810  subgdmdprd  19945  subgdprd  19946  ablfacrplem  19976  pgpfaclem1  19992  pgpfaclem3  19994  ablfaclem3  19998  issubrg2  20482  subdrgint  20562  islss3  20714  zringcyg  21240  cnmsgngrp  21351  psgnghm  21352  mplgrp  21795  scmatghm  22255  subgtgp  23829  subgngp  24364  reefgim  26198  ressply1sub  32933  amgmlemALT  47937