Theorem subggrp 19063

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19060	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1148	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  Grpcgrp 18867  SubGrpcsubg 19054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-subg 19057

This theorem is referenced by:  subg0  19066  subginv  19067  subg0cl  19068  subginvcl  19069  subgcl  19070  issubg2  19075  issubgrpd  19077  subsubg  19083  resghm  19165  resghm2b  19167  subgga  19233  gasubg  19235  odsubdvds  19504  pgp0  19529  subgpgp  19530  sylow2blem2  19554  slwhash  19557  fislw  19558  subglsm  19606  pj1ghm  19636  subgabl  19769  cntrabl  19776  cycsubgcyg  19834  subgdmdprd  19969  subgdprd  19970  ablfacrplem  20000  pgpfaclem1  20016  pgpfaclem3  20018  ablfaclem3  20022  issubrg2  20529  subdrgint  20740  islss3  20914  zringcyg  21428  cnmsgngrp  21538  psgnghm  21539  mplgrp  21976  scmatghm  22481  subgtgp  24053  subgngp  24583  reefgim  26420  subgmulgcld  33128  ressply1sub  33653  amgmlemALT  50115