Theorem subggrp 19100

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19097	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1154	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  Grpcgrp 18904  SubGrpcsubg 19091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-ov 7363  df-subg 19094

This theorem is referenced by:  subg0  19103  subginv  19104  subg0cl  19105  subginvcl  19106  subgcl  19107  issubg2  19112  issubgrpd  19114  subsubg  19120  resghm  19202  resghm2b  19204  subgga  19270  gasubg  19272  odsubdvds  19541  pgp0  19566  subgpgp  19567  sylow2blem2  19591  slwhash  19594  fislw  19595  subglsm  19643  pj1ghm  19673  subgabl  19806  cntrabl  19813  cycsubgcyg  19871  subgdmdprd  20006  subgdprd  20007  ablfacrplem  20037  pgpfaclem1  20053  pgpfaclem3  20055  ablfaclem3  20059  issubrg2  20568  subdrgint  20779  islss3  20953  zringcyg  21448  cnmsgngrp  21558  psgnghm  21559  mplgrp  21995  scmatghm  22520  subgtgp  24092  subgngp  24622  reefgim  26437  subgmulgcld  33128  ressply1sub  33665  amgmlemALT  50307