Theorem subggrp 19057

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19054	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1147	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7359  df-subg 19051

This theorem is referenced by:  subg0  19060  subginv  19061  subg0cl  19062  subginvcl  19063  subgcl  19064  issubg2  19069  issubgrpd  19071  subsubg  19077  resghm  19159  resghm2b  19161  subgga  19227  gasubg  19229  odsubdvds  19498  pgp0  19523  subgpgp  19524  sylow2blem2  19548  slwhash  19551  fislw  19552  subglsm  19600  pj1ghm  19630  subgabl  19763  cntrabl  19770  cycsubgcyg  19828  subgdmdprd  19963  subgdprd  19964  ablfacrplem  19994  pgpfaclem1  20010  pgpfaclem3  20012  ablfaclem3  20016  issubrg2  20523  subdrgint  20734  islss3  20908  zringcyg  21422  cnmsgngrp  21532  psgnghm  21533  mplgrp  21970  scmatghm  22475  subgtgp  24047  subgngp  24577  reefgim  26414  subgmulgcld  33075  ressply1sub  33600  amgmlemALT  49990