Theorem subggrp 19076

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19073	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1148	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  Grpcgrp 18880  SubGrpcsubg 19067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fv 6510  df-ov 7373  df-subg 19070

This theorem is referenced by:  subg0  19079  subginv  19080  subg0cl  19081  subginvcl  19082  subgcl  19083  issubg2  19088  issubgrpd  19090  subsubg  19096  resghm  19178  resghm2b  19180  subgga  19246  gasubg  19248  odsubdvds  19517  pgp0  19542  subgpgp  19543  sylow2blem2  19567  slwhash  19570  fislw  19571  subglsm  19619  pj1ghm  19649  subgabl  19782  cntrabl  19789  cycsubgcyg  19847  subgdmdprd  19982  subgdprd  19983  ablfacrplem  20013  pgpfaclem1  20029  pgpfaclem3  20031  ablfaclem3  20035  issubrg2  20542  subdrgint  20753  islss3  20927  zringcyg  21441  cnmsgngrp  21551  psgnghm  21552  mplgrp  21989  scmatghm  22494  subgtgp  24066  subgngp  24596  reefgim  26433  subgmulgcld  33143  ressply1sub  33669  amgmlemALT  50191