MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trivsubgsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trivsubgsnd 18947
Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trivsubgsnd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivsubgsnd.2 0 = (0g𝐺)
trivsubgsnd.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
trivsubgsnd.4 (𝜑𝐵 = { 0 })
Assertion
Ref Expression
trivsubgsnd (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Proof of Theorem trivsubgsnd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trivsubgsnd.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 trivsubgsnd.2 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
3 trivsubgsnd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
5 trivsubgsnd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = { 0 })
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 = { 0 })
7 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
81, 2, 4, 6, 7trivsubgd 18946 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 = 𝐵)
9 velsn 4600 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
108, 9sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {𝐵})
1110ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ {𝐵}))
1211ssrdv 3948 . 2 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ {𝐵})
131subgid 18921 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
143, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1514snssd 4767 . 2 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (SubGrp‘𝐺))
1612, 15eqssd 3959 1 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4584  cfv 6493  Basecbs 17075  0gc0g 17313  Grpcgrp 18740  SubGrpcsubg 18913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-0g 17315  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-subg 18916
This theorem is referenced by:  trivnsgd  18965
  Copyright terms: Public domain W3C validator