Theorem trivsubgsnd 19081

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgsnd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
trivsubgsnd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
trivsubgsnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
trivsubgsnd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
trivsubgsnd	⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Proof of Theorem trivsubgsnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgsnd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		trivsubgsnd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		trivsubgsnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		trivsubgsnd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 = { 0 })
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	1, 2, 4, 6, 7	trivsubgd 19080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 = 𝐵)
9		velsn 4639	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
10	8, 9	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {𝐵})
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ {𝐵}))
12	11	ssrdv 3983	. 2 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ⊆ {𝐵})
13	1	subgid 19055	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	3, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	snssd 4807	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (SubGrp‘𝐺))
16	12, 15	eqssd 3994	1 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  ‘cfv 6537  Basecbs 17153  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-subg 19050

This theorem is referenced by:  trivnsgd  19099