Theorem ablfaclem2 20054

Description: Lemma for ablfac 20056. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac.c	⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
ablfac.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac.w	⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
ablfaclem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
ablfaclem2.q	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
ablfaclem2.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
ablfaclem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)

Assertion

Ref	Expression
ablfaclem2	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑠,𝑝,𝑥,𝑦,𝐴   𝐹,𝑠   𝑔,𝑟,𝑠,𝑦,𝑆   𝑔,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵,𝑟,𝑠   𝑂,𝑝,𝑥   𝐶,𝑔,𝑝,𝑠   𝑦,𝑤,𝐶,𝑥   𝑊,𝑝,𝑤,𝑥,𝑦   𝐻,𝑠   𝜑,𝑝,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑝,𝑟,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑟)   𝐴(𝑤,𝑔,𝑟)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟,𝑝)   𝑂(𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑔,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem ablfaclem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19751	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3		ablfac.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	subgid 19095	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		ablfac.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
6		ablfac.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7		ablfac.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		ablfac.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
9		ablfac.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
10		ablfac.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 20053	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
12	1, 2, 4, 11	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
13		ablfaclem2.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
14	13	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶)
15		wrdf 14471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
17	16	ffdmd 6685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶𝐶)
18	17	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
19	18	anasss 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
20	19	ralrimivva 3182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
21		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))
22	21	fmpox 8009	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
23	20, 22	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
24		ablfaclem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
25	24	feq2i 6647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
26	23, 25	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶)
27		ablfaclem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)
28		f1of 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
30		fco 6679	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿) → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
31	26, 29, 30	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
32		iswrdi 14470	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
34		ablfaclem2.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
35	34	r19.21bi 3231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
36	8	ssrab3 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ ℙ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
38	3, 7, 9, 1, 6, 37	ablfac1b 20038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
39	3	fvexi 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ V
40	39	rabex 5267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
41	40, 9	dmmpti 6629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom 𝑆 = 𝐴
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
43	38, 42	dprdf2 19975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
44	43	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 20053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
47	35, 46	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
48		breq2 5076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦)))
49		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)))
50	49	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦) ↔ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
51	48, 50	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
52	51	elrab 3629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
53	52	simprbi 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
54	47, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
55	54	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦))
56		dprdf 19974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
58	57	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
59	58	anasss 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
60	57	feqmptd 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
61	55, 60	breqtrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
62	43	feqmptd 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
63	60	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
64	54	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))
65	63, 64	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝑆‘𝑦))
66	65	mpteq2dva 5165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
67	62, 66	eqtr4d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
68	38, 67	breqtrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
69	59, 61, 68	dprd2d2 20012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∧ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))))
70	69	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
71	26	fdmd 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = 𝐿)
72	70, 71, 27	dprdf1o 20000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
73	72	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻))
74	72	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
75	69	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
76	67	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
77		ssidd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐴)
78	3, 7, 9, 1, 6, 37, 8, 77	ablfac1c 20039	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))) = 𝐵)
80	74, 75, 79	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)
81		breq2 5076	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
82		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
83	82	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵 ↔ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵))
84	81, 83	anbi12d 638	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵) ↔ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)))
85	84	rspcev 3560	. . . 4 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
86	33, 73, 80, 85	syl12anc 842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
87		rabn0 4317	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
88	86, 87	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅)
89	12, 88	eqnetrd 3001	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  dom cdm 5618  ran crn 5619   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  Fincfn 8883  0cc0 11029  ..^cfzo 13599  ↑cexp 14014  ♯chash 14283  Word cword 14466   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631   pCnt cpc 16798  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  odcod 19490   pGrp cpgp 19492  Abelcabl 19747  CycGrpccyg 19843   DProd cdprd 19961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5040  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-word 14467  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-pc 16799  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-eqg 19092  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-ga 19256  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-od 19494  df-lsm 19602  df-pj1 19603  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-dprd 19963

This theorem is referenced by:  ablfaclem3  20055