Theorem ablfaclem2 19689

Description: Lemma for ablfac 19691. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac.c	⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
ablfac.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac.w	⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
ablfaclem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
ablfaclem2.q	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
ablfaclem2.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
ablfaclem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)

Assertion

Ref	Expression
ablfaclem2	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑠,𝑝,𝑥,𝑦,𝐴   𝐹,𝑠   𝑔,𝑟,𝑠,𝑦,𝑆   𝑔,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵,𝑟,𝑠   𝑂,𝑝,𝑥   𝐶,𝑔,𝑝,𝑠   𝑦,𝑤,𝐶,𝑥   𝑊,𝑝,𝑤,𝑥,𝑦   𝐻,𝑠   𝜑,𝑝,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑝,𝑟,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑟)   𝐴(𝑤,𝑔,𝑟)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟,𝑝)   𝑂(𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑔,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem ablfaclem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19391	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3		ablfac.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	subgid 18757	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		ablfac.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
6		ablfac.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7		ablfac.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		ablfac.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
9		ablfac.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
10		ablfac.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 19688	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
12	1, 2, 4, 11	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
13		ablfaclem2.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
14	13	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶)
15		wrdf 14222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
17	16	ffdmd 6631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶𝐶)
18	17	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
19	18	anasss 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
20	19	ralrimivva 3123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
21		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))
22	21	fmpox 7907	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
23	20, 22	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
24		ablfaclem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
25	24	feq2i 6592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
26	23, 25	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶)
27		ablfaclem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)
28		f1of 6716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
30		fco 6624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿) → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
31	26, 29, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
32		iswrdi 14221	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
34		ablfaclem2.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
35	34	r19.21bi 3134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
36	8	ssrab3 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ ℙ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
38	3, 7, 9, 1, 6, 37	ablfac1b 19673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
39	3	fvexi 6788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ V
40	39	rabex 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
41	40, 9	dmmpti 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom 𝑆 = 𝐴
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
43	38, 42	dprdf2 19610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
44	43	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 19688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
47	35, 46	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
48		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦)))
49		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)))
50	49	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦) ↔ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
51	48, 50	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
52	51	elrab 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
53	52	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
54	47, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
55	54	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦))
56		dprdf 19609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
58	57	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
59	58	anasss 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
60	57	feqmptd 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
61	55, 60	breqtrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
62	43	feqmptd 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
63	60	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
64	54	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))
65	63, 64	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝑆‘𝑦))
66	65	mpteq2dva 5174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
67	62, 66	eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
68	38, 67	breqtrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
69	59, 61, 68	dprd2d2 19647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∧ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))))
70	69	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
71	26	fdmd 6611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = 𝐿)
72	70, 71, 27	dprdf1o 19635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
73	72	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻))
74	72	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
75	69	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
76	67	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
77		ssidd 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐴)
78	3, 7, 9, 1, 6, 37, 8, 77	ablfac1c 19674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))) = 𝐵)
80	74, 75, 79	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)
81		breq2 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
82		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
83	82	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵 ↔ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵))
84	81, 83	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵) ↔ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)))
85	84	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
86	33, 73, 80, 85	syl12anc 834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
87		rabn0 4319	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
88	86, 87	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅)
89	12, 88	eqnetrd 3011	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  Fincfn 8733  0cc0 10871  ..^cfzo 13382  ↑cexp 13782  ♯chash 14044  Word cword 14217   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376   pCnt cpc 16537  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749  odcod 19132   pGrp cpgp 19134  Abelcabl 19387  CycGrpccyg 19477   DProd cdprd 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-word 14218  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-ga 18896  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-od 19136  df-lsm 19241  df-pj1 19242  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-dprd 19598

This theorem is referenced by:  ablfaclem3  19690