Theorem ablfaclem2 19201

Description: Lemma for ablfac 19203. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac.c	⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
ablfac.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac.w	⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
ablfaclem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
ablfaclem2.q	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
ablfaclem2.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
ablfaclem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)

Assertion

Ref	Expression
ablfaclem2	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑠,𝑝,𝑥,𝑦,𝐴   𝐹,𝑠   𝑔,𝑟,𝑠,𝑦,𝑆   𝑔,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵,𝑟,𝑠   𝑂,𝑝,𝑥   𝐶,𝑔,𝑝,𝑠   𝑦,𝑤,𝐶,𝑥   𝑊,𝑝,𝑤,𝑥,𝑦   𝐻,𝑠   𝜑,𝑝,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑝,𝑟,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑟)   𝐴(𝑤,𝑔,𝑟)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟,𝑝)   𝑂(𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑔,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem ablfaclem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 18903	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3		ablfac.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	subgid 18273	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		ablfac.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
6		ablfac.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7		ablfac.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		ablfac.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
9		ablfac.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
10		ablfac.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 19200	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
12	1, 2, 4, 11	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
13		ablfaclem2.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
14	13	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶)
15		wrdf 13862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
17	16	ffdmd 6511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶𝐶)
18	17	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
19	18	anasss 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
20	19	ralrimivva 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
21		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))
22	21	fmpox 7747	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
23	20, 22	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
24		ablfaclem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
25	24	feq2i 6479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
26	23, 25	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶)
27		ablfaclem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)
28		f1of 6590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
30		fco 6505	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿) → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
31	26, 29, 30	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
32		iswrdi 13861	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
34		ablfaclem2.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
35	34	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
36	8	ssrab3 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ ℙ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
38	3, 7, 9, 1, 6, 37	ablfac1b 19185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
39	3	fvexi 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ V
40	39	rabex 5199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
41	40, 9	dmmpti 6464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom 𝑆 = 𝐴
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
43	38, 42	dprdf2 19122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
44	43	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 19200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
47	35, 46	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
48		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦)))
49		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)))
50	49	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦) ↔ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
51	48, 50	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
52	51	elrab 3628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
53	52	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
54	47, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
55	54	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦))
56		dprdf 19121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
58	57	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
59	58	anasss 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
60	57	feqmptd 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
61	55, 60	breqtrd 5056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
62	43	feqmptd 6708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
63	60	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
64	54	simprd 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))
65	63, 64	eqtr3d 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝑆‘𝑦))
66	65	mpteq2dva 5125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
67	62, 66	eqtr4d 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
68	38, 67	breqtrd 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
69	59, 61, 68	dprd2d2 19159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∧ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))))
70	69	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
71	26	fdmd 6497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = 𝐿)
72	70, 71, 27	dprdf1o 19147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
73	72	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻))
74	72	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
75	69	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
76	67	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
77		ssidd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐴)
78	3, 7, 9, 1, 6, 37, 8, 77	ablfac1c 19186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr3d 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))) = 𝐵)
80	74, 75, 79	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)
81		breq2 5034	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
82		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
83	82	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵 ↔ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵))
84	81, 83	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵) ↔ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)))
85	84	rspcev 3571	. . . 4 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
86	33, 73, 80, 85	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
87		rabn0 4293	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
88	86, 87	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅)
89	12, 88	eqnetrd 3054	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  dom cdm 5519  ran crn 5520   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  Fincfn 8492  0cc0 10526  ..^cfzo 13028  ↑cexp 13425  ♯chash 13686  Word cword 13857   ∥ cdvds 15599  ℙcprime 16005   pCnt cpc 16163  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Grpcgrp 18095  SubGrpcsubg 18265  odcod 18644   pGrp cpgp 18646  Abelcabl 18899  CycGrpccyg 18989   DProd cdprd 19108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-word 13858  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-ga 18412  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-od 18648  df-lsm 18753  df-pj1 18754  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-dprd 19110

This theorem is referenced by:  ablfaclem3  19202