MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfaclem2 19137
Description: Lemma for ablfac 19139. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
ablfac.1 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac.a 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac.w 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
ablfaclem2.f (𝜑𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
ablfaclem2.q (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝐹𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆𝑦)))
ablfaclem2.l 𝐿 = 𝑦𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹𝑦))
ablfaclem2.g (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto𝐿)
Assertion
Ref Expression
ablfaclem2 (𝜑 → (𝑊𝐵) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑠,𝑝,𝑥,𝑦,𝐴   𝐹,𝑠   𝑔,𝑟,𝑠,𝑦,𝑆   𝑔,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵,𝑟,𝑠   𝑂,𝑝,𝑥   𝐶,𝑔,𝑝,𝑠   𝑦,𝑤,𝐶,𝑥   𝑊,𝑝,𝑤,𝑥,𝑦   𝐻,𝑠   𝜑,𝑝,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑝,𝑟,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑟)   𝐴(𝑤,𝑔,𝑟)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟,𝑝)   𝑂(𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑔,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem ablfaclem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 18840 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3 ablfac.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
43subgid 18219 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 ablfac.c . . . 4 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
6 ablfac.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
7 ablfac.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
8 ablfac.a . . . 4 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
9 ablfac.s . . . 4 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
10 ablfac.w . . . 4 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
113, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 19136 . . 3 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
121, 2, 4, 114syl 19 . 2 (𝜑 → (𝑊𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
13 ablfaclem2.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
1413ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ Word 𝐶)
15 wrdf 13854 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ∈ Word 𝐶 → (𝐹𝑦):(0..^(♯‘(𝐹𝑦)))⟶𝐶)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦):(0..^(♯‘(𝐹𝑦)))⟶𝐶)
1716ffdmd 6530 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦):dom (𝐹𝑦)⟶𝐶)
1817ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)) → ((𝐹𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
1918anasss 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦))) → ((𝐹𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
2019ralrimivva 3188 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)((𝐹𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
21 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) = (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))
2221fmpox 7754 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)((𝐹𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶 ↔ (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)): 𝑦𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹𝑦))⟶𝐶)
2320, 22sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)): 𝑦𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹𝑦))⟶𝐶)
24 ablfaclem2.l . . . . . . . 8 𝐿 = 𝑦𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹𝑦))
2524feq2i 6499 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)):𝐿𝐶 ↔ (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)): 𝑦𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹𝑦))⟶𝐶)
2623, 25sylibr 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)):𝐿𝐶)
27 ablfaclem2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto𝐿)
28 f1of 6608 . . . . . . 7 (𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto𝐿𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
30 fco 6524 . . . . . 6 (((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)):𝐿𝐶𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿) → ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
3126, 29, 30syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
32 iswrdi 13853 . . . . 5 (((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶 → ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
3331, 32syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
34 ablfaclem2.q . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝐹𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆𝑦)))
3534r19.21bi 3205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆𝑦)))
368ssrab3 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐴 ⊆ ℙ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
383, 7, 9, 1, 6, 37ablfac1b 19121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
393fvexi 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 ∈ V
4039rabex 5226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
4140, 9dmmpti 6485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom 𝑆 = 𝐴
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
4338, 42dprdf2 19058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
4443ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑆𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
453, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 19136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘(𝑆𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆𝑦))})
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑊‘(𝑆𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆𝑦))})
4735, 46eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆𝑦))})
48 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝐹𝑦) → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd (𝐹𝑦)))
49 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = (𝐹𝑦) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd (𝐹𝑦)))
5049eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝐹𝑦) → ((𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆𝑦) ↔ (𝐺 DProd (𝐹𝑦)) = (𝑆𝑦)))
5148, 50anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝐹𝑦) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆𝑦)) ↔ (𝐺dom DProd (𝐹𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹𝑦)) = (𝑆𝑦))))
5251elrab 3677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆𝑦))} ↔ ((𝐹𝑦) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd (𝐹𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹𝑦)) = (𝑆𝑦))))
5352simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆𝑦))} → (𝐺dom DProd (𝐹𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹𝑦)) = (𝑆𝑦)))
5447, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐺dom DProd (𝐹𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹𝑦)) = (𝑆𝑦)))
5554simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐺dom DProd (𝐹𝑦))
56 dprdf 19057 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝐹𝑦) → (𝐹𝑦):dom (𝐹𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦):dom (𝐹𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
5857ffvelrnda 6843 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦)) → ((𝐹𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5958anasss 467 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦))) → ((𝐹𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6057feqmptd 6726 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)))
6155, 60breqtrd 5083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)))
6243feqmptd 6726 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑆𝑦)))
6360oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹𝑦)) = (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))))
6454simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹𝑦)) = (𝑆𝑦))
6563, 64eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))) = (𝑆𝑦))
6665mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)))) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑆𝑦)))
6762, 66eqtr4d 2856 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)))))
6838, 67breqtrd 5083 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd (𝑦𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)))))
6959, 61, 68dprd2d2 19095 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∧ (𝐺 DProd (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)))))))
7069simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)))
7126fdmd 6516 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) = 𝐿)
7270, 71, 27dprdf1o 19083 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)))))
7372simpld 495 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻))
7472simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))))
7569simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))))))
7667oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑦𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))))))
77 ssidd 3987 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
783, 7, 9, 1, 6, 37, 8, 77ablfac1c 19122 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
7976, 78eqtr3d 2855 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧))))) = 𝐵)
8074, 75, 793eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)
81 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑠 = ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
82 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑠 = ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
8382eqeq1d 2820 . . . . . 6 (𝑠 = ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵 ↔ (𝐺 DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵))
8481, 83anbi12d 630 . . . . 5 (𝑠 = ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵) ↔ (𝐺dom DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)))
8584rspcev 3620 . . . 4 ((((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹𝑦) ↦ ((𝐹𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
8633, 73, 80, 85syl12anc 832 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
87 rabn0 4336 . . 3 ({𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
8886, 87sylibr 235 . 2 (𝜑 → {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅)
8912, 88eqnetrd 3080 1 (𝜑 → (𝑊𝐵) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   ciun 4910   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  ccom 5552  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  Fincfn 8497  0cc0 10525  ..^cfzo 13021  cexp 13417  chash 13678  Word cword 13849  cdvds 15595  cprime 16003   pCnt cpc 16161  Basecbs 16471  s cress 16472  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  odcod 18581   pGrp cpgp 18583  Abelcabl 18836  CycGrpccyg 18925   DProd cdprd 19044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-word 13850  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-ga 18358  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-od 18585  df-lsm 18690  df-pj1 18691  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-dprd 19046
This theorem is referenced by:  ablfaclem3  19138
  Copyright terms: Public domain W3C validator