Theorem ablfaclem2 19994

Description: Lemma for ablfac 19996. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac.c	⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
ablfac.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac.w	⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
ablfaclem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
ablfaclem2.q	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
ablfaclem2.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
ablfaclem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)

Assertion

Ref	Expression
ablfaclem2	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑠,𝑝,𝑥,𝑦,𝐴   𝐹,𝑠   𝑔,𝑟,𝑠,𝑦,𝑆   𝑔,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵,𝑟,𝑠   𝑂,𝑝,𝑥   𝐶,𝑔,𝑝,𝑠   𝑦,𝑤,𝐶,𝑥   𝑊,𝑝,𝑤,𝑥,𝑦   𝐻,𝑠   𝜑,𝑝,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑝,𝑟,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑟)   𝐴(𝑤,𝑔,𝑟)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟,𝑝)   𝑂(𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑔,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem ablfaclem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19691	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3		ablfac.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	subgid 19036	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		ablfac.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
6		ablfac.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7		ablfac.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		ablfac.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
9		ablfac.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
10		ablfac.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 19993	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
12	1, 2, 4, 11	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
13		ablfaclem2.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
14	13	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶)
15		wrdf 14459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
17	16	ffdmd 6700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶𝐶)
18	17	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
19	18	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
20	19	ralrimivva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
21		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))
22	21	fmpox 8025	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
23	20, 22	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
24		ablfaclem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
25	24	feq2i 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
26	23, 25	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶)
27		ablfaclem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)
28		f1of 6782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
30		fco 6694	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿) → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
31	26, 29, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
32		iswrdi 14458	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
34		ablfaclem2.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
35	34	r19.21bi 3227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
36	8	ssrab3 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ ℙ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
38	3, 7, 9, 1, 6, 37	ablfac1b 19978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
39	3	fvexi 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ V
40	39	rabex 5289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
41	40, 9	dmmpti 6644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom 𝑆 = 𝐴
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
43	38, 42	dprdf2 19915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
44	43	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 19993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
47	35, 46	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
48		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦)))
49		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)))
50	49	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦) ↔ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
51	48, 50	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
52	51	elrab 3656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
53	52	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
54	47, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
55	54	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦))
56		dprdf 19914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
58	57	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
59	58	anasss 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
60	57	feqmptd 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
61	55, 60	breqtrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
62	43	feqmptd 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
63	60	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
64	54	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))
65	63, 64	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝑆‘𝑦))
66	65	mpteq2dva 5195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
67	62, 66	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
68	38, 67	breqtrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
69	59, 61, 68	dprd2d2 19952	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∧ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))))
70	69	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
71	26	fdmd 6680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = 𝐿)
72	70, 71, 27	dprdf1o 19940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
73	72	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻))
74	72	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
75	69	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
76	67	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
77		ssidd 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐴)
78	3, 7, 9, 1, 6, 37, 8, 77	ablfac1c 19979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))) = 𝐵)
80	74, 75, 79	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)
81		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
82		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
83	82	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵 ↔ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵))
84	81, 83	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵) ↔ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)))
85	84	rspcev 3585	. . . 4 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
86	33, 73, 80, 85	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
87		rabn0 4348	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
88	86, 87	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅)
89	12, 88	eqnetrd 2992	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  Fincfn 8895  0cc0 11044  ..^cfzo 13591  ↑cexp 14002  ♯chash 14271  Word cword 14454   ∥ cdvds 16198  ℙcprime 16617   pCnt cpc 16783  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  Grpcgrp 18841  SubGrpcsubg 19028  odcod 19430   pGrp cpgp 19432  Abelcabl 19687  CycGrpccyg 19783   DProd cdprd 19901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-word 14455  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-pc 16784  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-eqg 19033  df-ghm 19121  df-gim 19167  df-ga 19198  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-od 19434  df-lsm 19542  df-pj1 19543  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-dprd 19903

This theorem is referenced by:  ablfaclem3  19995