Theorem ablfaclem2 20130

Description: Lemma for ablfac 20132. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac.c	⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
ablfac.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac.w	⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
ablfaclem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
ablfaclem2.q	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
ablfaclem2.l	⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
ablfaclem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)

Assertion

Ref	Expression
ablfaclem2	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑠,𝑝,𝑥,𝑦,𝐴   𝐹,𝑠   𝑔,𝑟,𝑠,𝑦,𝑆   𝑔,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵,𝑟,𝑠   𝑂,𝑝,𝑥   𝐶,𝑔,𝑝,𝑠   𝑦,𝑤,𝐶,𝑥   𝑊,𝑝,𝑤,𝑥,𝑦   𝐻,𝑠   𝜑,𝑝,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑝,𝑟,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑟)   𝐴(𝑤,𝑔,𝑟)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑟,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟,𝑝)   𝑂(𝑦,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑔,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem ablfaclem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19827	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3		ablfac.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	subgid 19168	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		ablfac.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
6		ablfac.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7		ablfac.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8		ablfac.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
9		ablfac.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
10		ablfac.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 20129	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
12	1, 2, 4, 11	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
13		ablfaclem2.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶Word 𝐶)
14	13	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶)
15		wrdf 14567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):(0..^(♯‘(𝐹‘𝑦)))⟶𝐶)
17	16	ffdmd 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶𝐶)
18	17	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
19	18	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
20	19	ralrimivva 3208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶)
21		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))
22	21	fmpox 8108	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
23	20, 22	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
24		ablfaclem2.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))
25	24	feq2i 6739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × dom (𝐹‘𝑦))⟶𝐶)
26	23, 25	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶)
27		ablfaclem2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿)
28		f1of 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐿))–1-1-onto→𝐿 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿)
30		fco 6771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)):𝐿⟶𝐶 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐿) → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
31	26, 29, 30	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶)
32		iswrdi 14566	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻):(0..^(♯‘𝐿))⟶𝐶 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶)
34		ablfaclem2.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
35	34	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝑊‘(𝑆‘𝑦)))
36	8	ssrab3 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐴 ⊆ ℙ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
38	3, 7, 9, 1, 6, 37	ablfac1b 20114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
39	3	fvexi 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ∈ V
40	39	rabex 5357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
41	40, 9	dmmpti 6724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom 𝑆 = 𝐴
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
43	38, 42	dprdf2 20051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
44	43	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 20129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆‘𝑦) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑊‘(𝑆‘𝑦)) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
47	35, 46	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))})
48		breq2 5170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦)))
49		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)))
50	49	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦) ↔ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
51	48, 50	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
52	51	elrab 3708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} ↔ ((𝐹‘𝑦) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))))
53	52	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) ∈ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = (𝑆‘𝑦))} → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
54	47, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) ∧ (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦)))
55	54	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦))
56		dprdf 20050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦):dom (𝐹‘𝑦)⟶(SubGrp‘𝐺))
58	57	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
59	58	anasss 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦))) → ((𝐹‘𝑦)‘𝑧) ∈ (SubGrp‘𝐺))
60	57	feqmptd 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
61	55, 60	breqtrd 5192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
62	43	feqmptd 6990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
63	60	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
64	54	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝐹‘𝑦)) = (𝑆‘𝑦))
65	63, 64	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝑆‘𝑦))
66	65	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑆‘𝑦)))
67	62, 66	eqtr4d 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
68	38, 67	breqtrd 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
69	59, 61, 68	dprd2d2 20088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∧ (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))))
70	69	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))
71	26	fdmd 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) = 𝐿)
72	70, 71, 27	dprdf1o 20076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)))))
73	72	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻))
74	72	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))
75	69	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
76	67	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))))
77		ssidd 4032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐴)
78	3, 7, 9, 1, 6, 37, 8, 77	ablfac1c 20115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 DProd (𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧))))) = 𝐵)
80	74, 75, 79	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)
81		breq2 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺dom DProd 𝑠 ↔ 𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
82		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)))
83	82	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵 ↔ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵))
84	81, 83	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵) ↔ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)))
85	84	rspcev 3635	. . . 4 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻) ∧ (𝐺 DProd ((𝑦 ∈ 𝐴, 𝑧 ∈ dom (𝐹‘𝑦) ↦ ((𝐹‘𝑦)‘𝑧)) ∘ 𝐻)) = 𝐵)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
86	33, 73, 80, 85	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
87		rabn0 4412	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
88	86, 87	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅)
89	12, 88	eqnetrd 3014	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  Fincfn 9003  0cc0 11184  ..^cfzo 13711  ↑cexp 14112  ♯chash 14379  Word cword 14562   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718   pCnt cpc 16883  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160  odcod 19566   pGrp cpgp 19568  Abelcabl 19823  CycGrpccyg 19919   DProd cdprd 20037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-word 14563  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-ga 19330  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-od 19570  df-lsm 19678  df-pj1 19679  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-dprd 20039

This theorem is referenced by:  ablfaclem3  20131