MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgid 18973
Description: The whole group is a normal subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nsgid.z 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nsgid (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgid.z . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgid 18931 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4grpcl 18757 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
6 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
81, 7grpsubcl 18828 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
93, 5, 6, 8syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
1093expb 1121 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
1110ralrimivva 3198 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
121, 4, 7isnsg3 18963 . 2 (𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵))
132, 11, 12sylanbrc 584 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  Grpcgrp 18749  -gcsg 18751  SubGrpcsubg 18923  NrmSGrpcnsg 18924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-ress 17114  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-nsg 18927
This theorem is referenced by:  0idnsgd  18974  trivnsgd  18975  1nsgtrivd  18977  2nsgsimpgd  19882
  Copyright terms: Public domain W3C validator