Theorem nsgid 19118

Description: The whole group is a normal subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsgid.z	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgid.z	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgid 19076	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		simp1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 4	grpcl 18891	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
6		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
7		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
8	1, 7	grpsubcl 18969	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
9	3, 5, 6, 8	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
10	9	3expb 1118	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
11	10	ralrimivva 3196	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
12	1, 4, 7	isnsg3 19108	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵))
13	2, 11, 12	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +_gcplusg 17226  Grpcgrp 18883  -_gcsg 18885  SubGrpcsubg 19068  NrmSGrpcnsg 19069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-ress 17203  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-nsg 19072

This theorem is referenced by:  0idnsgd  19119  trivnsgd  19120  1nsgtrivd  19122  2nsgsimpgd  20052