MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgid 19118
Description: The whole group is a normal subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nsgid.z 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nsgid (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgid.z . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgid 19076 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 simp1 1134 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2728 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4grpcl 18891 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
6 simp2 1135 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
81, 7grpsubcl 18969 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
93, 5, 6, 8syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
1093expb 1118 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
1110ralrimivva 3196 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
121, 4, 7isnsg3 19108 . 2 (𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵))
132, 11, 12sylanbrc 582 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  Grpcgrp 18883  -gcsg 18885  SubGrpcsubg 19068  NrmSGrpcnsg 19069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-ress 17203  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-nsg 19072
This theorem is referenced by:  0idnsgd  19119  trivnsgd  19120  1nsgtrivd  19122  2nsgsimpgd  20052
  Copyright terms: Public domain W3C validator