Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgid 18322
 Description: The whole group is a normal subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nsgid.z 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nsgid (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgid.z . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgid 18281 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4grpcl 18111 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
6 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
81, 7grpsubcl 18179 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
93, 5, 6, 8syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
1093expb 1117 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
1110ralrimivva 3186 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
121, 4, 7isnsg3 18312 . 2 (𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵))
132, 11, 12sylanbrc 586 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Grpcgrp 18103  -gcsg 18105  SubGrpcsubg 18273  NrmSGrpcnsg 18274 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-ress 16491  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-nsg 18277 This theorem is referenced by:  0idnsgd  18323  trivnsgd  18324  1nsgtrivd  18326  2nsgsimpgd  19224
 Copyright terms: Public domain W3C validator