Theorem ablfac 20076

Description: The Fundamental Theorem of (finite) Abelian Groups. Any finite abelian group is a direct product of cyclic p-groups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac.c	⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
ablfac.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ablfac	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝐵   𝐶,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐶(𝑟)

Proof of Theorem ablfac

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablgrp 19771	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3		ablfac.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	subgid 19116	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		ablfac.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺 ↾s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
6		ablfac.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)} = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)} ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑝 ∈ {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)} ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)}) = (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 20073	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
12	1, 2, 4, 11	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})‘𝐵) = {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)})
13	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem3 20075	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↦ {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑔)})‘𝐵) ≠ ∅)
14	12, 13	eqnetrrd 3001	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅)
15		rabn0 4369	. 2 ⊢ ({𝑠 ∈ Word 𝐶 ∣ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))
16	14, 15	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  {crab 3420   ∩ cin 3930  ∅c0 4313   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  dom cdm 5659  ran crn 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ↑cexp 14084  ♯chash 14353  Word cword 14536   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695   pCnt cpc 16861  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  Grpcgrp 18921  SubGrpcsubg 19108  odcod 19510   pGrp cpgp 19512  Abelcabl 19767  CycGrpccyg 19863   DProd cdprd 19981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-disj 5092  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-rpss 7722  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-pc 16862  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-eqg 19113  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-ga 19278  df-cntz 19305  df-oppg 19334  df-od 19514  df-gex 19515  df-pgp 19516  df-lsm 19622  df-pj1 19623  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-cyg 19864  df-dprd 19983

This theorem is referenced by:  ablfac2  20077