Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supfil 22479
 Description: The supersets of a nonempty set which are also subsets of a given base set form a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
supfil ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ∈ (Fil‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem supfil
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3972 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑥𝐵𝑦))
21elrab 3660 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑦))
3 velpw 4520 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
43anbi1i 625 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑦) ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦))
52, 4bitri 277 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦))
65a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦)))
7 simp1 1132 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → 𝐴𝑉)
8 simp2 1133 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → 𝐵𝐴)
9 sseq2 3972 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵𝑦𝐵𝐴))
109sbcieg 3790 . . . 4 (𝐴𝑉 → ([𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝐴))
117, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ([𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝐴))
128, 11mpbird 259 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → [𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦)
13 ss0 4328 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
1413necon3ai 3031 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ → ¬ 𝐵 ⊆ ∅)
15143ad2ant3 1131 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ⊆ ∅)
16 0ex 5187 . . . 4 ∅ ∈ V
17 sseq2 3972 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐵𝑦𝐵 ⊆ ∅))
1816, 17sbcie 3792 . . 3 ([∅ / 𝑦]𝐵𝑦𝐵 ⊆ ∅)
1915, 18sylnibr 331 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ¬ [∅ / 𝑦]𝐵𝑦)
20 sstr 3954 . . . . 5 ((𝐵𝑤𝑤𝑧) → 𝐵𝑧)
2120expcom 416 . . . 4 (𝑤𝑧 → (𝐵𝑤𝐵𝑧))
22 vex 3476 . . . . 5 𝑤 ∈ V
23 sseq2 3972 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → (𝐵𝑦𝐵𝑤))
2422, 23sbcie 3792 . . . 4 ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝑤)
25 vex 3476 . . . . 5 𝑧 ∈ V
26 sseq2 3972 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝐵𝑦𝐵𝑧))
2725, 26sbcie 3792 . . . 4 ([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝑧)
2821, 24, 273imtr4g 298 . . 3 (𝑤𝑧 → ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦))
29283ad2ant3 1131 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝑧) → ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦))
30 ssin 4185 . . . . . 6 ((𝐵𝑧𝐵𝑤) ↔ 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3130biimpi 218 . . . . 5 ((𝐵𝑧𝐵𝑤) → 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3227, 24, 31syl2anb 599 . . . 4 (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3325inex1 5197 . . . . 5 (𝑧𝑤) ∈ V
34 sseq2 3972 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧𝑤) → (𝐵𝑦𝐵 ⊆ (𝑧𝑤)))
3533, 34sbcie 3792 . . . 4 ([(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3632, 35sylibr 236 . . 3 (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → [(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦)
3736a1i 11 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝐴) → (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → [(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦))
386, 7, 12, 19, 29, 37isfild 22442 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ∈ (Fil‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  {crab 3129  [wsbc 3752   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4269  𝒫 cpw 4515  ‘cfv 6331  Filcfil 22429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fv 6339  df-fbas 20518  df-fil 22430 This theorem is referenced by:  fclscf  22609  flimfnfcls  22612
 Copyright terms: Public domain W3C validator