MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supfil 23399
Description: The supersets of a nonempty set which are also subsets of a given base set form a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
supfil ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ∈ (Fil‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem supfil
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 4009 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑥𝐵𝑦))
21elrab 3684 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑦))
3 velpw 4608 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
43anbi1i 625 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑦) ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦))
52, 4bitri 275 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦))
65a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦)))
7 simp1 1137 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → 𝐴𝑉)
8 simp2 1138 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → 𝐵𝐴)
9 sseq2 4009 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵𝑦𝐵𝐴))
109sbcieg 3818 . . . 4 (𝐴𝑉 → ([𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝐴))
117, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ([𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝐴))
128, 11mpbird 257 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → [𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦)
13 ss0 4399 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
1413necon3ai 2966 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ → ¬ 𝐵 ⊆ ∅)
15143ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ⊆ ∅)
16 0ex 5308 . . . 4 ∅ ∈ V
17 sseq2 4009 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐵𝑦𝐵 ⊆ ∅))
1816, 17sbcie 3821 . . 3 ([∅ / 𝑦]𝐵𝑦𝐵 ⊆ ∅)
1915, 18sylnibr 329 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ¬ [∅ / 𝑦]𝐵𝑦)
20 sstr 3991 . . . . 5 ((𝐵𝑤𝑤𝑧) → 𝐵𝑧)
2120expcom 415 . . . 4 (𝑤𝑧 → (𝐵𝑤𝐵𝑧))
22 vex 3479 . . . . 5 𝑤 ∈ V
23 sseq2 4009 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → (𝐵𝑦𝐵𝑤))
2422, 23sbcie 3821 . . . 4 ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝑤)
25 vex 3479 . . . . 5 𝑧 ∈ V
26 sseq2 4009 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝐵𝑦𝐵𝑧))
2725, 26sbcie 3821 . . . 4 ([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝑧)
2821, 24, 273imtr4g 296 . . 3 (𝑤𝑧 → ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦))
29283ad2ant3 1136 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝑧) → ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦))
30 ssin 4231 . . . . . 6 ((𝐵𝑧𝐵𝑤) ↔ 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3130biimpi 215 . . . . 5 ((𝐵𝑧𝐵𝑤) → 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3227, 24, 31syl2anb 599 . . . 4 (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3325inex1 5318 . . . . 5 (𝑧𝑤) ∈ V
34 sseq2 4009 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧𝑤) → (𝐵𝑦𝐵 ⊆ (𝑧𝑤)))
3533, 34sbcie 3821 . . . 4 ([(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3632, 35sylibr 233 . . 3 (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → [(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦)
3736a1i 11 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝐴) → (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → [(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦))
386, 7, 12, 19, 29, 37isfild 23362 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ∈ (Fil‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wne 2941  {crab 3433  [wsbc 3778  cin 3948  wss 3949  c0 4323  𝒫 cpw 4603  cfv 6544  Filcfil 23349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-fbas 20941  df-fil 23350
This theorem is referenced by:  fclscf  23529  flimfnfcls  23532
  Copyright terms: Public domain W3C validator