MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supfil 21977
Description: The supersets of a nonempty set which are also subsets of a given base set form a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
supfil ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ∈ (Fil‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem supfil
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3786 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑥𝐵𝑦))
21elrab 3518 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑦))
3 selpw 4321 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
43anbi1i 617 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑦) ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦))
52, 4bitri 266 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦))
65a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦)))
7 elex 3364 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
873ad2ant1 1163 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
9 simp2 1167 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → 𝐵𝐴)
10 sseq2 3786 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵𝑦𝐵𝐴))
1110sbcieg 3628 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝐴))
128, 11syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ([𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝐴))
139, 12mpbird 248 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → [𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦)
14 ss0 4135 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
1514necon3ai 2961 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ → ¬ 𝐵 ⊆ ∅)
16153ad2ant3 1165 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ⊆ ∅)
17 0ex 4949 . . . 4 ∅ ∈ V
18 sseq2 3786 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐵𝑦𝐵 ⊆ ∅))
1917, 18sbcie 3630 . . 3 ([∅ / 𝑦]𝐵𝑦𝐵 ⊆ ∅)
2016, 19sylnibr 320 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ¬ [∅ / 𝑦]𝐵𝑦)
21 sstr 3768 . . . . 5 ((𝐵𝑤𝑤𝑧) → 𝐵𝑧)
2221expcom 402 . . . 4 (𝑤𝑧 → (𝐵𝑤𝐵𝑧))
23 vex 3352 . . . . 5 𝑤 ∈ V
24 sseq2 3786 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → (𝐵𝑦𝐵𝑤))
2523, 24sbcie 3630 . . . 4 ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝑤)
26 vex 3352 . . . . 5 𝑧 ∈ V
27 sseq2 3786 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝐵𝑦𝐵𝑧))
2826, 27sbcie 3630 . . . 4 ([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝑧)
2922, 25, 283imtr4g 287 . . 3 (𝑤𝑧 → ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦))
30293ad2ant3 1165 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝑧) → ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦))
31 ssin 3993 . . . . . 6 ((𝐵𝑧𝐵𝑤) ↔ 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3231biimpi 207 . . . . 5 ((𝐵𝑧𝐵𝑤) → 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3328, 25, 32syl2anb 591 . . . 4 (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3426inex1 4959 . . . . 5 (𝑧𝑤) ∈ V
35 sseq2 3786 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧𝑤) → (𝐵𝑦𝐵 ⊆ (𝑧𝑤)))
3634, 35sbcie 3630 . . . 4 ([(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3733, 36sylibr 225 . . 3 (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → [(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦)
3837a1i 11 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝐴) → (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → [(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦))
396, 8, 13, 20, 30, 38isfild 21940 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ∈ (Fil‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wcel 2155  wne 2936  {crab 3058  Vcvv 3349  [wsbc 3595  cin 3730  wss 3731  c0 4078  𝒫 cpw 4314  cfv 6067  Filcfil 21927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fv 6075  df-fbas 20015  df-fil 21928
This theorem is referenced by:  fclscf  22107  flimfnfcls  22110
  Copyright terms: Public domain W3C validator