MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfild Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfild 21944
Description: Sufficient condition for a set of the form {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝜑} to be a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfild.1 (𝜑 → (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝐴𝜓)))
isfild.2 (𝜑𝐴 ∈ V)
isfild.3 (𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜓)
isfild.4 (𝜑 → ¬ [∅ / 𝑥]𝜓)
isfild.5 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝑦) → ([𝑧 / 𝑥]𝜓[𝑦 / 𝑥]𝜓))
isfild.6 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝐴) → (([𝑦 / 𝑥]𝜓[𝑧 / 𝑥]𝜓) → [(𝑦𝑧) / 𝑥]𝜓))
Assertion
Ref Expression
isfild (𝜑𝐹 ∈ (Fil‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem isfild
StepHypRef Expression
1 isfild.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐹 ↔ (𝑥𝐴𝜓)))
2 selpw 4324 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
32biimpri 219 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
43adantr 472 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝜓) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
51, 4syl6bi 244 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐹𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
65ssrdv 3769 . . 3 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
7 isfild.4 . . . 4 (𝜑 → ¬ [∅ / 𝑥]𝜓)
8 isfild.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
91, 8isfildlem 21943 . . . . 5 (𝜑 → (∅ ∈ 𝐹 ↔ (∅ ⊆ 𝐴[∅ / 𝑥]𝜓)))
10 simpr 477 . . . . 5 ((∅ ⊆ 𝐴[∅ / 𝑥]𝜓) → [∅ / 𝑥]𝜓)
119, 10syl6bi 244 . . . 4 (𝜑 → (∅ ∈ 𝐹[∅ / 𝑥]𝜓))
127, 11mtod 189 . . 3 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
13 isfild.3 . . . . 5 (𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜓)
14 ssid 3785 . . . . 5 𝐴𝐴
1513, 14jctil 515 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐴[𝐴 / 𝑥]𝜓))
161, 8isfildlem 21943 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐹 ↔ (𝐴𝐴[𝐴 / 𝑥]𝜓)))
1715, 16mpbird 248 . . 3 (𝜑𝐴𝐹)
186, 12, 173jca 1158 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝐴𝐹))
19 elpwi 4327 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
20 isfild.5 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝑦) → ([𝑧 / 𝑥]𝜓[𝑦 / 𝑥]𝜓))
21 simp2 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝑦) → 𝑦𝐴)
2220, 21jctild 521 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝑦) → ([𝑧 / 𝑥]𝜓 → (𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓)))
2322adantld 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝑦) → ((𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓) → (𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓)))
241, 8isfildlem 21943 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧𝐹 ↔ (𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓)))
25243ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝑦) → (𝑧𝐹 ↔ (𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓)))
261, 8isfildlem 21943 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐹 ↔ (𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓)))
27263ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝑦) → (𝑦𝐹 ↔ (𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓)))
2823, 25, 273imtr4d 285 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝑦) → (𝑧𝐹𝑦𝐹))
29283expa 1147 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑧𝐹𝑦𝐹))
3029impancom 443 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐹) → (𝑧𝑦𝑦𝐹))
3130rexlimdva 3178 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦𝑦𝐹))
3231ex 401 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦𝑦𝐹)))
3319, 32syl5 34 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 → (∃𝑧𝐹 𝑧𝑦𝑦𝐹)))
3433ralrimiv 3112 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(∃𝑧𝐹 𝑧𝑦𝑦𝐹))
35 ssinss1 4003 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 → (𝑦𝑧) ⊆ 𝐴)
3635ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓) ∧ (𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓)) → (𝑦𝑧) ⊆ 𝐴)
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓) ∧ (𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓)) → (𝑦𝑧) ⊆ 𝐴))
38 an4 646 . . . . . 6 (((𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓) ∧ (𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓)) ↔ ((𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ ([𝑦 / 𝑥]𝜓[𝑧 / 𝑥]𝜓)))
39 isfild.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑧𝐴) → (([𝑦 / 𝑥]𝜓[𝑧 / 𝑥]𝜓) → [(𝑦𝑧) / 𝑥]𝜓))
40393expb 1149 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (([𝑦 / 𝑥]𝜓[𝑧 / 𝑥]𝜓) → [(𝑦𝑧) / 𝑥]𝜓))
4140expimpd 445 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ ([𝑦 / 𝑥]𝜓[𝑧 / 𝑥]𝜓)) → [(𝑦𝑧) / 𝑥]𝜓))
4238, 41syl5bi 233 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓) ∧ (𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓)) → [(𝑦𝑧) / 𝑥]𝜓))
4337, 42jcad 508 . . . 4 (𝜑 → (((𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓) ∧ (𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓)) → ((𝑦𝑧) ⊆ 𝐴[(𝑦𝑧) / 𝑥]𝜓)))
4426, 24anbi12d 624 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐹𝑧𝐹) ↔ ((𝑦𝐴[𝑦 / 𝑥]𝜓) ∧ (𝑧𝐴[𝑧 / 𝑥]𝜓))))
451, 8isfildlem 21943 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝑧) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑦𝑧) ⊆ 𝐴[(𝑦𝑧) / 𝑥]𝜓)))
4643, 44, 453imtr4d 285 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐹𝑧𝐹) → (𝑦𝑧) ∈ 𝐹))
4746ralrimivv 3117 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐹𝑧𝐹 (𝑦𝑧) ∈ 𝐹)
48 isfil2 21942 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹𝐴𝐹) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(∃𝑧𝐹 𝑧𝑦𝑦𝐹) ∧ ∀𝑦𝐹𝑧𝐹 (𝑦𝑧) ∈ 𝐹))
4918, 34, 47, 48syl3anbrc 1443 1 (𝜑𝐹 ∈ (Fil‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  [wsbc 3598  cin 3733  wss 3734  c0 4081  𝒫 cpw 4317  cfv 6070  Filcfil 21931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fv 6078  df-fbas 20019  df-fil 21932
This theorem is referenced by:  snfil  21950  fgcl  21964  filuni  21971  cfinfil  21979  csdfil  21980  supfil  21981  fin1aufil  22018
  Copyright terms: Public domain W3C validator