MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfbas 22028
Description: The set of upper sets of integers is a filter base on , which corresponds to convergence of sequences on . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
zfbas ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)

Proof of Theorem zfbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 11933 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 frn 6262 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ)
31, 2ax-mp 5 . 2 ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ
4 ffn 6256 . . . . . 6 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 Fn ℤ
6 1z 11697 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7 fnfvelrn 6582 . . . . 5 ((ℤ Fn ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ‘1) ∈ ran ℤ)
85, 6, 7mp2an 684 . . . 4 (ℤ‘1) ∈ ran ℤ
98ne0ii 4124 . . 3 ran ℤ ≠ ∅
10 uzid 11945 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (ℤ𝑥))
11 n0i 4120 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑥) → ¬ (ℤ𝑥) = ∅)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (ℤ𝑥) = ∅)
1312nrex 3180 . . . . 5 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅
14 fvelrnb 6468 . . . . . 6 (ℤ Fn ℤ → (∅ ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅))
155, 14ax-mp 5 . . . . 5 (∅ ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅)
1613, 15mtbir 315 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
1716nelir 3077 . . 3 ∅ ∉ ran ℤ
18 uzin2 14425 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ) → (𝑥𝑦) ∈ ran ℤ)
19 vex 3388 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2019inex1 4994 . . . . . 6 (𝑥𝑦) ∈ V
2120pwid 4365 . . . . 5 (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)
22 inelcm 4227 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ ran ℤ ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)) → (ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
2318, 21, 22sylancl 581 . . . 4 ((𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ) → (ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
2423rgen2a 3158 . . 3 𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅
259, 17, 243pm3.2i 1439 . 2 (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
26 zex 11675 . . 3 ℤ ∈ V
27 isfbas 21961 . . 3 (ℤ ∈ V → (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2826, 27ax-mp 5 . 2 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
293, 25, 28mpbir2an 703 1 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wnel 3074  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3385  cin 3768  wss 3769  c0 4115  𝒫 cpw 4349  ran crn 5313   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  1c1 10225  cz 11666  cuz 11930  fBascfbas 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-neg 10559  df-nn 11313  df-z 11667  df-uz 11931  df-fbas 20065
This theorem is referenced by:  uzfbas  22030
  Copyright terms: Public domain W3C validator