Theorem zfbas 24220

Description: The set of upper sets of integers is a filter base on ℤ, which corresponds to convergence of sequences on ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zfbas	⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)

Proof of Theorem zfbas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12971	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frn 6717	. . 3 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ran ℤ≥ ⊆ 𝒫 ℤ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran ℤ≥ ⊆ 𝒫 ℤ
4		ffn 6709	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ Fn ℤ
6		1z 12729	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fnfvelrn 7080	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥ Fn ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘1) ∈ ran ℤ≥)
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) ∈ ran ℤ≥
9	8	ne0ii 4289	. . 3 ⊢ ran ℤ≥ ≠ ∅
10		uzid 12983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
11		n0i 4285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑥) → ¬ (ℤ≥‘𝑥) = ∅)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (ℤ≥‘𝑥) = ∅)
13	12	nrex 3090	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑥) = ∅
14		fvelrnb 6945	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∅ ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑥) = ∅))
15	5, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑥) = ∅)
16	13, 15	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥
17	16	nelir 3064	. . 3 ⊢ ∅ ∉ ran ℤ≥
18		uzin2 15517	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ran ℤ≥ ∧ 𝑦 ∈ ran ℤ≥) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ran ℤ≥)
19		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	inex1 5276	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
21	20	pwid 4580	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)
22		inelcm 4417	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ran ℤ≥ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) → (ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
23	18, 21, 22	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ran ℤ≥ ∧ 𝑦 ∈ ran ℤ≥) → (ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
24	23	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑦 ∈ ran ℤ≥(ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅
25	9, 17, 24	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (ran ℤ≥ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑦 ∈ ran ℤ≥(ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
26		zex 12705	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
27		isfbas 24153	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V → (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ≥ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ≥ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑦 ∈ ran ℤ≥(ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ≥ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ≥ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑦 ∈ ran ℤ≥(ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
29	3, 25, 28	mpbir2an 724	1 ⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ran crn 5651   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  1c1 11204  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  fBascfbas 21671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-neg 11547  df-nn 12339  df-z 12697  df-uz 12969  df-fbas 21680

This theorem is used by:  uzfbas  24222