MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfbas 22432
Description: The set of upper sets of integers is a filter base on , which corresponds to convergence of sequences on . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
zfbas ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)

Proof of Theorem zfbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 12234 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 frn 6513 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ)
31, 2ax-mp 5 . 2 ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ
4 ffn 6507 . . . . . 6 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 Fn ℤ
6 1z 12000 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7 fnfvelrn 6840 . . . . 5 ((ℤ Fn ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ‘1) ∈ ran ℤ)
85, 6, 7mp2an 688 . . . 4 (ℤ‘1) ∈ ran ℤ
98ne0ii 4300 . . 3 ran ℤ ≠ ∅
10 uzid 12246 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (ℤ𝑥))
11 n0i 4296 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑥) → ¬ (ℤ𝑥) = ∅)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (ℤ𝑥) = ∅)
1312nrex 3266 . . . . 5 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅
14 fvelrnb 6719 . . . . . 6 (ℤ Fn ℤ → (∅ ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅))
155, 14ax-mp 5 . . . . 5 (∅ ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅)
1613, 15mtbir 324 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
1716nelir 3123 . . 3 ∅ ∉ ran ℤ
18 uzin2 14692 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ) → (𝑥𝑦) ∈ ran ℤ)
19 vex 3495 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2019inex1 5212 . . . . . 6 (𝑥𝑦) ∈ V
2120pwid 4554 . . . . 5 (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)
22 inelcm 4410 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ ran ℤ ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)) → (ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
2318, 21, 22sylancl 586 . . . 4 ((𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ) → (ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
2423rgen2 3200 . . 3 𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅
259, 17, 243pm3.2i 1331 . 2 (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
26 zex 11978 . . 3 ℤ ∈ V
27 isfbas 22365 . . 3 (ℤ ∈ V → (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2826, 27ax-mp 5 . 2 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
293, 25, 28mpbir2an 707 1 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wnel 3120  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  1c1 10526  cz 11969  cuz 12231  fBascfbas 20461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-neg 10861  df-nn 11627  df-z 11970  df-uz 12232  df-fbas 20470
This theorem is referenced by:  uzfbas  22434
  Copyright terms: Public domain W3C validator