Theorem zfbas 24245

Description: The set of upper sets of integers is a filter base on ℤ, which corresponds to convergence of sequences on ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zfbas	⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)

Proof of Theorem zfbas

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 12995	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frn 6739	. . 3 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ran ℤ≥ ⊆ 𝒫 ℤ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran ℤ≥ ⊆ 𝒫 ℤ
4		ffn 6731	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ Fn ℤ
6		1z 12753	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		fnfvelrn 7104	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥ Fn ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘1) ∈ ran ℤ≥)
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) ∈ ran ℤ≥
9	8	ne0ii 4293	. . 3 ⊢ ran ℤ≥ ≠ ∅
10		uzid 13007	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
11		n0i 4289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑥) → ¬ (ℤ≥‘𝑥) = ∅)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (ℤ≥‘𝑥) = ∅)
13	12	nrex 3094	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑥) = ∅
14		fvelrnb 6968	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∅ ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑥) = ∅))
15	5, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ran ℤ≥ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ≥‘𝑥) = ∅)
16	13, 15	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ ran ℤ≥
17	16	nelir 3068	. . 3 ⊢ ∅ ∉ ran ℤ≥
18		uzin2 15541	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ran ℤ≥ ∧ 𝑦 ∈ ran ℤ≥) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ran ℤ≥)
19		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	inex1 5281	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
21	20	pwid 4584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)
22		inelcm 4421	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ran ℤ≥ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) → (ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
23	18, 21, 22	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ran ℤ≥ ∧ 𝑦 ∈ ran ℤ≥) → (ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
24	23	rgen2 3206	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑦 ∈ ran ℤ≥(ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅
25	9, 17, 24	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (ran ℤ≥ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑦 ∈ ran ℤ≥(ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)
26		zex 12729	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
27		isfbas 24178	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V → (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ≥ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ≥ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑦 ∈ ran ℤ≥(ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
28	26, 27	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ≥ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ≥ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑦 ∈ ran ℤ≥(ran ℤ≥ ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
29	3, 25, 28	mpbir2an 724	1 ⊢ ran ℤ≥ ∈ (fBas‘ℤ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ran crn 5656   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  1c1 11228  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  fBascfbas 21696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-neg 11571  df-nn 12363  df-z 12721  df-uz 12993  df-fbas 21705

This theorem is used by:  uzfbas  24247