MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfbas 23844
Description: The set of upper sets of integers is a filter base on , which corresponds to convergence of sequences on . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
zfbas ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)

Proof of Theorem zfbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 12858 . . 3 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 frn 6730 . . 3 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ)
31, 2ax-mp 5 . 2 ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ
4 ffn 6723 . . . . . 6 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 Fn ℤ
6 1z 12625 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7 fnfvelrn 7089 . . . . 5 ((ℤ Fn ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℤ‘1) ∈ ran ℤ)
85, 6, 7mp2an 690 . . . 4 (ℤ‘1) ∈ ran ℤ
98ne0ii 4337 . . 3 ran ℤ ≠ ∅
10 uzid 12870 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (ℤ𝑥))
11 n0i 4333 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑥) → ¬ (ℤ𝑥) = ∅)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (ℤ𝑥) = ∅)
1312nrex 3063 . . . . 5 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅
14 fvelrnb 6958 . . . . . 6 (ℤ Fn ℤ → (∅ ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅))
155, 14ax-mp 5 . . . . 5 (∅ ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = ∅)
1613, 15mtbir 322 . . . 4 ¬ ∅ ∈ ran ℤ
1716nelir 3038 . . 3 ∅ ∉ ran ℤ
18 uzin2 15327 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ) → (𝑥𝑦) ∈ ran ℤ)
19 vex 3465 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2019inex1 5318 . . . . . 6 (𝑥𝑦) ∈ V
2120pwid 4626 . . . . 5 (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)
22 inelcm 4466 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ ran ℤ ∧ (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)) → (ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
2318, 21, 22sylancl 584 . . . 4 ((𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ) → (ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
2423rgen2 3187 . . 3 𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅
259, 17, 243pm3.2i 1336 . 2 (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)
26 zex 12600 . . 3 ℤ ∈ V
27 isfbas 23777 . . 3 (ℤ ∈ V → (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2826, 27ax-mp 5 . 2 (ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ) ↔ (ran ℤ ⊆ 𝒫 ℤ ∧ (ran ℤ ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ ran ℤ ∧ ∀𝑥 ∈ ran ℤ𝑦 ∈ ran ℤ(ran ℤ ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
293, 25, 28mpbir2an 709 1 ran ℤ ∈ (fBas‘ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wnel 3035  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  ran crn 5679   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  1c1 11141  cz 12591  cuz 12855  fBascfbas 21284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-neg 11479  df-nn 12246  df-z 12592  df-uz 12856  df-fbas 21293
This theorem is referenced by:  uzfbas  23846
  Copyright terms: Public domain W3C validator