Theorem termchom2 49500

Description: The hom-set of a terminal category is a singleton of the identity morphism. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termchom.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
termchom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
termchom.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
termchom2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
termchom2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = {( 1 ‘𝑍)})

Proof of Theorem termchom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termchom.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
2		termchom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		termchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		termchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		termchom.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		termchom.i	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	termchom 49499	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = {( 1 ‘𝑋)})
8		termchom2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 8	termcbasmo 49494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑍)
10	9	fveq2d 6821	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( 1 ‘𝑍))
11	10	sneqd 4586	. 2 ⊢ (𝜑 → {( 1 ‘𝑋)} = {( 1 ‘𝑍)})
12	7, 11	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = {( 1 ‘𝑍)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {csn 4574  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  Hom chom 17164  Idccid 17563  TermCatctermc 49483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-cat 17566  df-cid 17567  df-thinc 49429  df-termc 49484

This theorem is referenced by:  diag1f1olem  49544