Theorem termchom2 50829

Description: The hom-set of a terminal category is a singleton of the identity morphism. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termchom.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
termchom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
termchom.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
termchom2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
termchom2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = {( 1 ‘𝑍)})

Proof of Theorem termchom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termchom.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)
2		termchom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		termchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		termchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		termchom.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		termchom.i	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	termchom 50828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = {( 1 ‘𝑋)})
8		termchom2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 8	termcbasmo 50823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑍)
10	9	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( 1 ‘𝑍))
11	10	sneqd 4596	. 2 ⊢ (𝜑 → {( 1 ‘𝑋)} = {( 1 ‘𝑍)})
12	7, 11	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = {( 1 ‘𝑍)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  Hom chom 17468  Idccid 17868  TermCatctermc 50812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-cat 17871  df-cid 17872  df-thinc 50758  df-termc 50813

This theorem is used by:  diag1f1olem  50873