Theorem setcsnterm 50268

Description: The category of one set, either a singleton set or an empty set, is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
setcsnterm	⊢ (SetCat‘{{𝐴}}) ∈ TermCat

Proof of Theorem setcsnterm

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (⊤ → (SetCat‘{{𝐴}}) = (SetCat‘{{𝐴}}))
2		snex 5410	. . . . 5 ⊢ {{𝐴}} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {{𝐴}} ∈ V)
4		velsn 4605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} ↔ 𝑥 = {𝐴})
5		mosn 49591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
6	4, 5	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
7	6	rgen 3081	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {{𝐴}}∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ {{𝐴}}∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
9	1, 3, 8	setcthin 50243	. . 3 ⊢ (⊤ → (SetCat‘{{𝐴}}) ∈ ThinCat)
10	9	mptru 1577	. 2 ⊢ (SetCat‘{{𝐴}}) ∈ ThinCat
11		snex 5410	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
12	11	ensn1 9014	. 2 ⊢ {{𝐴}} ≈ 1o
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘{{𝐴}}) = (SetCat‘{{𝐴}})
14	13, 3	setcbas 18130	. . . 4 ⊢ (⊤ → {{𝐴}} = (Base‘(SetCat‘{{𝐴}})))
15	14	mptru 1577	. . 3 ⊢ {{𝐴}} = (Base‘(SetCat‘{{𝐴}}))
16	15	istermc3 50254	. 2 ⊢ ((SetCat‘{{𝐴}}) ∈ TermCat ↔ ((SetCat‘{{𝐴}}) ∈ ThinCat ∧ {{𝐴}} ≈ 1o))
17	10, 12, 16	mpbir2an 723	1 ⊢ (SetCat‘{{𝐴}}) ∈ TermCat

Syntax hints:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2565  ∀wral 3079  Vcvv 3455  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936  Basecbs 17264  SetCatcsetc 18127  ThinCatcthinc 50195  TermCatctermc 50250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-setc 18128  df-thinc 50196  df-termc 50251

This theorem is referenced by:  setc1oterm  50269