Theorem setcsnterm 50956

Description: The category of one set, either a singleton set or an empty set, is terminal. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
setcsnterm	⊢ (SetCat‘{{𝐴}}) ∈ TermCat

Proof of Theorem setcsnterm

Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (⊤ → (SetCat‘{{𝐴}}) = (SetCat‘{{𝐴}}))
2		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {{𝐴}} ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {{𝐴}} ∈ V)
4		velsn 4600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} ↔ 𝑥 = {𝐴})
5		mosn 50255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
6	4, 5	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐴}} → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
7	6	rgen 3082	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {{𝐴}}∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ {{𝐴}}∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
9	1, 3, 8	setcthin 50931	. . 3 ⊢ (⊤ → (SetCat‘{{𝐴}}) ∈ ThinCat)
10	9	mptru 1577	. 2 ⊢ (SetCat‘{{𝐴}}) ∈ ThinCat
11		snex 5404	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
12	11	ensn1 9086	. 2 ⊢ {{𝐴}} ≈ 1o
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘{{𝐴}}) = (SetCat‘{{𝐴}})
14	13, 3	setcbas 18303	. . . 4 ⊢ (⊤ → {{𝐴}} = (Base‘(SetCat‘{{𝐴}})))
15	14	mptru 1577	. . 3 ⊢ {{𝐴}} = (Base‘(SetCat‘{{𝐴}}))
16	15	istermc3 50942	. 2 ⊢ ((SetCat‘{{𝐴}}) ∈ TermCat ↔ ((SetCat‘{{𝐴}}) ∈ ThinCat ∧ {{𝐴}} ≈ 1o))
17	10, 12, 16	mpbir2an 724	1 ⊢ (SetCat‘{{𝐴}}) ∈ TermCat

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∃*wmo 2565  ∀wral 3080  Vcvv 3454  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  1_oc1o 8507   ≈ cen 9008  Basecbs 17431  SetCatcsetc 18300  ThinCatcthinc 50883  TermCatctermc 50938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-cat 17892  df-cid 17893  df-setc 18301  df-thinc 50884  df-termc 50939

This theorem is used by:  setc1oterm  50957