Theorem diag1f1olem 50256

Description: To any functor from a terminal category can an object in the target base be assigned. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1o.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
termcfuncval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
termcfuncval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
termcfuncval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcfuncval.x	⊢ 𝑋 = ((1st ‘𝐾)‘𝑌)
diag1f1olem.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1olem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)))

Proof of Theorem diag1f1olem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1o.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		diag1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		termcfuncval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
4		termcfuncval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
5		termcfuncval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		termcfuncval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((1st ‘𝐾)‘𝑌)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	termcfuncval 50255	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩))
10	9	simpld 499	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11	2, 4, 5	termcbas2 50205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑌})
12	11	xpeq1d 5690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = ({𝑌} × {𝑋}))
13		xpsng 7135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑌} × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
14	5, 10, 13	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑌} × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
15	12, 14	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
16	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {𝑌})
17	2	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ TermCat)
18		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
19		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
20		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
21	5	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	17, 4, 18, 19, 20, 8, 21	termchom2 50212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) = {((Id‘𝐷)‘𝑌)})
23	22	xpeq1d 5690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = ({((Id‘𝐷)‘𝑌)} × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))
24		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ V
25		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ V
26	24, 25	xpsn 7137	. . . . . . 7 ⊢ ({((Id‘𝐷)‘𝑌)} × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}
27	23, 26	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
28	11, 16, 27	mpoeq123dva 7484	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) = (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}))
29		snex 5410	. . . . . . 7 ⊢ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V)
31		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
32		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
33		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
34	31, 32, 33	mposn 8097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V) → (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
35	5, 5, 30, 34	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
36	28, 35	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
37	15, 36	opeq12d 4845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩)
38		diag1f1olem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
39	3	func1st2nd 49799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
40	39	funcrcl3 49803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	2	termccd 50202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
42		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
43	38, 40, 41, 1, 10, 42, 4, 20, 7	diag1a 50028	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
44	9	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩)
45	37, 43, 44	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋))
46	10, 45	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4588  ⟨cop 4594   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  Basecbs 17268  Hom chom 17320  Idccid 17720   Func cfunc 17910  Δ_funccdiag 18267  TermCatctermc 50195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-cat 17723  df-cid 17724  df-func 17914  df-nat 18002  df-fuc 18003  df-xpc 18227  df-1stf 18228  df-curf 18269  df-diag 18271  df-thinc 50141  df-termc 50196

This theorem is referenced by:  diag1f1o  50257