Theorem diag1f1olem 49398

Description: To any functor from a terminal category can an object in the target base be assigned. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1o.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
termcfuncval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
termcfuncval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
termcfuncval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcfuncval.x	⊢ 𝑋 = ((1st ‘𝐾)‘𝑌)
diag1f1olem.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1olem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)))

Proof of Theorem diag1f1olem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1o.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		diag1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		termcfuncval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
4		termcfuncval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
5		termcfuncval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		termcfuncval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((1st ‘𝐾)‘𝑌)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	termcfuncval 49397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩))
10	9	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11	2, 4, 5	termcbas2 49347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑌})
12	11	xpeq1d 5688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = ({𝑌} × {𝑋}))
13		xpsng 7134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑌} × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
14	5, 10, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑌} × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
15	12, 14	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
16	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {𝑌})
17	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ TermCat)
18		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
19		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
20		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
21	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	17, 4, 18, 19, 20, 8, 21	termchom2 49354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) = {((Id‘𝐷)‘𝑌)})
23	22	xpeq1d 5688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = ({((Id‘𝐷)‘𝑌)} × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))
24		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ V
25		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ V
26	24, 25	xpsn 7136	. . . . . . 7 ⊢ ({((Id‘𝐷)‘𝑌)} × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}
27	23, 26	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
28	11, 16, 27	mpoeq123dva 7486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) = (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}))
29		snex 5411	. . . . . . 7 ⊢ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V)
31		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
32		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
33		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
34	31, 32, 33	mposn 8107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V) → (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
35	5, 5, 30, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
36	28, 35	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
37	15, 36	opeq12d 4862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩)
38		diag1f1olem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
39	3	func1st2nd 49023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
40	39	funcrcl3 49025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	2	termccd 49345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
42		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
43	38, 40, 41, 1, 10, 42, 4, 20, 7	diag1a 49196	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
44	9	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩)
45	37, 43, 44	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋))
46	10, 45	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  {csn 4606  ⟨cop 4612   × cxp 5657  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1^st c1st 7991  2^nd c2nd 7992  Basecbs 17233  Hom chom 17287  Idccid 17682   Func cfunc 17872  Δ_funccdiag 18229  TermCatctermc 49338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-hom 17300  df-cco 17301  df-cat 17685  df-cid 17686  df-func 17876  df-nat 17964  df-fuc 17965  df-xpc 18189  df-1stf 18190  df-curf 18231  df-diag 18233  df-thinc 49284  df-termc 49339

This theorem is referenced by:  diag1f1o  49399