Theorem diag1f1olem 49966

Description: To any functor from a terminal category can an object in the target base be assigned. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1o.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
termcfuncval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
termcfuncval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
termcfuncval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcfuncval.x	⊢ 𝑋 = ((1st ‘𝐾)‘𝑌)
diag1f1olem.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1olem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)))

Proof of Theorem diag1f1olem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1o.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		diag1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		termcfuncval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
4		termcfuncval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
5		termcfuncval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		termcfuncval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((1st ‘𝐾)‘𝑌)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	termcfuncval 49965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩))
10	9	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11	2, 4, 5	termcbas2 49915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑌})
12	11	xpeq1d 5651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = ({𝑌} × {𝑋}))
13		xpsng 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑌} × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
14	5, 10, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑌} × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
15	12, 14	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
16	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {𝑌})
17	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ TermCat)
18		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
19		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
20		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
21	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	17, 4, 18, 19, 20, 8, 21	termchom2 49922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) = {((Id‘𝐷)‘𝑌)})
23	22	xpeq1d 5651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = ({((Id‘𝐷)‘𝑌)} × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))
24		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ V
25		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ V
26	24, 25	xpsn 7086	. . . . . . 7 ⊢ ({((Id‘𝐷)‘𝑌)} × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}
27	23, 26	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
28	11, 16, 27	mpoeq123dva 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) = (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}))
29		snex 5374	. . . . . . 7 ⊢ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V)
31		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
32		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
33		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
34	31, 32, 33	mposn 8044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V) → (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
35	5, 5, 30, 34	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
36	28, 35	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
37	15, 36	opeq12d 4825	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩)
38		diag1f1olem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
39	3	func1st2nd 49509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
40	39	funcrcl3 49513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	2	termccd 49912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
42		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
43	38, 40, 41, 1, 10, 42, 4, 20, 7	diag1a 49738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
44	9	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩)
45	37, 43, 44	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋))
46	10, 45	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568  ⟨cop 4574   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  Basecbs 17137  Hom chom 17189  Idccid 17589   Func cfunc 17779  Δ_funccdiag 18136  TermCatctermc 49905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-hom 17202  df-cco 17203  df-cat 17592  df-cid 17593  df-func 17783  df-nat 17871  df-fuc 17872  df-xpc 18096  df-1stf 18097  df-curf 18138  df-diag 18140  df-thinc 49851  df-termc 49906

This theorem is referenced by:  diag1f1o  49967