Theorem diag1f1olem 50446

Description: To any functor from a terminal category can an object in the target base be assigned. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag1f1o.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag1f1o.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
termcfuncval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
termcfuncval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
termcfuncval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcfuncval.x	⊢ 𝑋 = ((1st ‘𝐾)‘𝑌)
diag1f1olem.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diag1f1olem	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)))

Proof of Theorem diag1f1olem

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag1f1o.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		diag1f1o.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		termcfuncval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐷 Func 𝐶))
4		termcfuncval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
5		termcfuncval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		termcfuncval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((1st ‘𝐾)‘𝑌)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐷) = (Id‘𝐷)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	termcfuncval 50445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩))
10	9	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11	2, 4, 5	termcbas2 50395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑌})
12	11	xpeq1d 5688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = ({𝑌} × {𝑋}))
13		xpsng 7136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑌} × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
14	5, 10, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑌} × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
15	12, 14	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = {⟨𝑌, 𝑋⟩})
16	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {𝑌})
17	2	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ TermCat)
18		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
19		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
20		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
21	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	17, 4, 18, 19, 20, 8, 21	termchom2 50402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) = {((Id‘𝐷)‘𝑌)})
23	22	xpeq1d 5688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = ({((Id‘𝐷)‘𝑌)} × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))
24		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘𝐷)‘𝑌) ∈ V
25		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((Id‘𝐶)‘𝑋) ∈ V
26	24, 25	xpsn 7137	. . . . . . 7 ⊢ ({((Id‘𝐷)‘𝑌)} × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}
27	23, 26	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}) = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
28	11, 16, 27	mpoeq123dva 7490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) = (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}))
29		snex 5408	. . . . . . 7 ⊢ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V)
31		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
32		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
33		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} = {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩})
34	31, 32, 33	mposn 8103	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩} ∈ V) → (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
35	5, 5, 30, 34	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑌}, 𝑧 ∈ {𝑌} ↦ {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
36	28, 35	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)})) = {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩})
37	15, 36	opeq12d 4844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩)
38		diag1f1olem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
39	3	func1st2nd 49989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐾)(𝐷 Func 𝐶)(2nd ‘𝐾))
40	39	funcrcl3 49993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	2	termccd 50392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
42		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
43	38, 40, 41, 1, 10, 42, 4, 20, 7	diag1a 50218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐷)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
44	9	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨{⟨𝑌, 𝑋⟩}, {⟨⟨𝑌, 𝑌⟩, {⟨((Id‘𝐷)‘𝑌), ((Id‘𝐶)‘𝑋)⟩}⟩}⟩)
45	37, 43, 44	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋))
46	10, 45	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587  ⟨cop 4593   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1^st c1st 7987  2^nd c2nd 7988  Basecbs 17305  Hom chom 17357  Idccid 17757   Func cfunc 17947  Δ_funccdiag 18304  TermCatctermc 50385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-hom 17370  df-cco 17371  df-cat 17760  df-cid 17761  df-func 17951  df-nat 18039  df-fuc 18040  df-xpc 18264  df-1stf 18265  df-curf 18306  df-diag 18308  df-thinc 50331  df-termc 50386

This theorem is used by:  diag1f1o  50447