Theorem tglnpt2 28734

Description: Find a second point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem tglnpt2

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglnpt2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 789	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
7		simpllr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
8		simplrr 783	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
9	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	tglinerflx2 28727	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
10		simplrl 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
11	9, 10	eleqtrrd 2843	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 = 𝑥)
13	12, 8	eqnetrd 3002	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑧)
14		neeq2 2998	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑧))
15	14	rspcev 3567	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
16	11, 13, 15	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
17	4	ad4antr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simp-4r 789	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
19		simpllr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
20		simplrr 783	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
21	1, 2, 3, 17, 18, 19, 20	tglinerflx1 28726	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
22		simplrl 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
23	21, 22	eleqtrrd 2843	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑥)
25		neeq2 2998	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
26	25	rspcev 3567	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
27	23, 24, 26	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
28	16, 27	pm2.61dane 3022	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
29		tglnpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	1, 2, 3, 4, 29	tgisline 28720	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))
31	28, 30	r19.29vva 3200	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064  ran crn 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  TarskiGcstrkg 28520  Itvcitv 28526  LineGclng 28527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-trkgc 28541  df-trkgb 28542  df-trkgcb 28543  df-trkg 28546

This theorem is referenced by:  perpneq  28807  perpdrag  28821  oppperpex  28846  lnperpex  28896