Theorem tglnpt2 29154

Description: Find a second point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem tglnpt2

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq2 3022	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑧))
2		tglnpt2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tglnpt2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		tglnpt2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
8		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
9		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
10	2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	tglinerflx2 29135	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
11		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
12	10, 11	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐴)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 = 𝑥)
14	13, 9	eqnetrd 3026	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑧)
15	1, 12, 14	rspcedvdw 3583	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
16		neeq2 3022	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
17	5	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
19		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
20		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
21	2, 3, 4, 17, 18, 19, 20	tglinerflx1 29134	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
22		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
23	21, 22	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑥)
25	16, 23, 24	rspcedvdw 3583	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
26	15, 25	pm2.61dane 3046	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
27		tglnpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	2, 3, 4, 5, 27	tgisline 29128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))
29	26, 28	r19.29vva 3226	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  ran crn 5657  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  TarskiGcstrkg 28922  Itvcitv 28928  LineGclng 28929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-trkgc 28943  df-trkgb 28944  df-trkgcb 28945  df-trkg 28948

This theorem is used by:  tglnpt3  29155  tglnpt4  29156  perpneq  29222  perpdrag  29237  oppperpex  29262  lnperpex  29342  prlngex  29462