Theorem tglnpt2 29127

Description: Find a second point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem tglnpt2

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq2 3018	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑧))
2		tglnpt2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tglnpt2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		tglnpt2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
8		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
9		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
10	2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	tglinerflx2 29108	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
11		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
12	10, 11	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐴)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 = 𝑥)
14	13, 9	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑧)
15	1, 12, 14	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
16		neeq2 3018	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
17	5	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
19		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
20		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
21	2, 3, 4, 17, 18, 19, 20	tglinerflx1 29107	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
22		simplrl 789	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
23	21, 22	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑥)
25	16, 23, 24	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
26	15, 25	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
27		tglnpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28	2, 3, 4, 5, 27	tgisline 29101	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))
29	26, 28	r19.29vva 3222	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ran crn 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  TarskiGcstrkg 28895  Itvcitv 28901  LineGclng 28902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-trkgc 28916  df-trkgb 28917  df-trkgcb 28918  df-trkg 28921

This theorem is used by:  tglnpt3  29128  tglnpt4  29129  perpneq  29195  perpdrag  29210  oppperpex  29235  lnperpex  29315  prlngex  29435