Theorem tglnpt2 27583

Description: Find a second point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt2	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem tglnpt2

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglnpt2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simp-4r 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
7		simpllr 774	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
8		simplrr 776	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
9	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	tglinerflx2 27576	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
10		simplrl 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
11	9, 10	eleqtrrd 2841	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 = 𝑥)
13	12, 8	eqnetrd 3011	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑧)
14		neeq2 3007	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑧))
15	14	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
16	11, 13, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
17	4	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		simp-4r 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
19		simpllr 774	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
20		simplrr 776	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
21	1, 2, 3, 17, 18, 19, 20	tglinerflx1 27575	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑧))
22		simplrl 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
23	21, 22	eleqtrrd 2841	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
24		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → 𝑋 ≠ 𝑥)
25		neeq2 3007	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ 𝑋 ≠ 𝑥))
26	25	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
27	23, 24, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
28	16, 27	pm2.61dane 3032	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)
29		tglnpt2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
30	1, 2, 3, 4, 29	tgisline 27569	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑧) ∧ 𝑥 ≠ 𝑧))
31	28, 30	r19.29vva 3207	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  ran crn 5634  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  TarskiGcstrkg 27369  Itvcitv 27375  LineGclng 27376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkg 27395

This theorem is referenced by:  perpneq  27656  perpdrag  27670  oppperpex  27695  lnperpex  27745