Theorem perpneq 28740

Description: Two perpendicular lines are different. Theorem 8.14 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
perpneq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem perpneq

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad5antr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	4	ad5antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		isperp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9	8	ad5antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
10		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
11	10	elin1d 4227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	11	ad4antr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	1, 3, 2, 7, 9, 12	tglnpt 28575	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃)
14	13	adantl4r 754	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃)
15		isperp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
16	15	ad5antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵)
18	1, 3, 2, 7, 16, 17	tglnpt 28575	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
19	18	adantl4r 754	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
20		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴)
21	1, 3, 2, 7, 9, 20	tglnpt 28575	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
22	21	adantl4r 754	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
23		isperp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
24		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
25		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴)
26		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵)
27		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑦 = 𝑢)
29		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑥 = 𝑥)
30		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑧 = 𝑧)
31	28, 29, 30	s3eqd 14913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩)
32	31	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
33		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑢 = 𝑢)
34		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑥 = 𝑥)
35		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑧 = 𝑣)
36	33, 34, 35	s3eqd 14913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩)
37	36	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
38	32, 37	rspc2va 3647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
39	25, 26, 27, 38	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
40		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑢)
41	40	necomd 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥)
42	41	adantl4r 754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑣)
44	43	necomd 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥)
45	44	adantl4r 754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥)
46	1, 23, 2, 3, 24, 6, 22, 14, 19, 39, 42, 45	ragncol 28735	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑣 ∈ (𝑢𝐿𝑥) ∨ 𝑢 = 𝑥))
47	1, 3, 2, 6, 22, 14, 19, 46	ncolrot2 28589	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑣𝐿𝑢) ∨ 𝑣 = 𝑢))
48	1, 2, 3, 6, 14, 19, 22, 14, 47	tglineneq 28670	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑥𝐿𝑣) ≠ (𝑢𝐿𝑥))
49	48	necomd 3002	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑢𝐿𝑥) ≠ (𝑥𝐿𝑣))
50	1, 2, 3, 7, 21, 13, 41, 41, 9, 20, 12	tglinethru 28662	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
51	50	adantl4r 754	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
52	10	elin2d 4228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
53	52	ad4antr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐵)
54	1, 2, 3, 7, 13, 18, 43, 43, 16, 53, 17	tglinethru 28662	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
55	54	adantl4r 754	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
56	49, 51, 55	3netr4d 3024	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ≠ 𝐵)
57	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
58	1, 2, 3, 5, 57, 52	tglnpt2 28667	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣)
59	58	ad5ant12 755	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣)
60	56, 59	r19.29a 3168	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → 𝐴 ≠ 𝐵)
61	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
62	1, 2, 3, 5, 61, 11	tglnpt2 28667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢)
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢)
64	60, 63	r19.29a 3168	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
65		perpcom.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
66	1, 23, 2, 3, 4, 8, 15	isperp 28738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
67	65, 66	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
68	64, 67	r19.29a 3168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   class class class wbr 5166  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ⟨“cs3 14891  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  LineGclng 28460  pInvGcmir 28678  ∟Gcrag 28719  ⟂Gcperpg 28721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-cgrg 28537  df-mir 28679  df-rag 28720  df-perpg 28722

This theorem is referenced by:  isperp2  28741  footne  28749  lmieu  28810