Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | isperp.p |
. . . . . . 7
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
2 | | isperp.i |
. . . . . . 7
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
3 | | isperp.l |
. . . . . . 7
⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺) |
4 | | isperp.g |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
5 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
6 | 5 | ad5antr 731 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
7 | 4 | ad5antr 731 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
8 | | isperp.a |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿) |
9 | 8 | ad5antr 731 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ ran 𝐿) |
10 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) |
11 | 10 | elin1d 4133 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
12 | 11 | ad4antr 729 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
13 | 1, 3, 2, 7, 9, 12 | tglnpt 26908 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
14 | 13 | adantl4r 752 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
15 | | isperp.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿) |
16 | 15 | ad5antr 731 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿) |
17 | | simplr 766 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵) |
18 | 1, 3, 2, 7, 16, 17 | tglnpt 26908 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃) |
19 | 18 | adantl4r 752 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃) |
20 | | simp-4r 781 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴) |
21 | 1, 3, 2, 7, 9, 20 | tglnpt 26908 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃) |
22 | 21 | adantl4r 752 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃) |
23 | | isperp.d |
. . . . . . . . 9
⊢ − =
(dist‘𝐺) |
24 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . 9
⊢
(pInvG‘𝐺) =
(pInvG‘𝐺) |
25 | | simp-4r 781 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴) |
26 | | simplr 766 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵) |
27 | | simp-5r 783 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) |
28 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑦 = 𝑢) |
29 | | eqidd 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑥 = 𝑥) |
30 | | eqidd 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑧 = 𝑧) |
31 | 28, 29, 30 | s3eqd 14575 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 = 〈“𝑢𝑥𝑧”〉) |
32 | 31 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑢 → (〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺) ↔ 〈“𝑢𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺))) |
33 | | eqidd 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑢 = 𝑢) |
34 | | eqidd 2739 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑥 = 𝑥) |
35 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑧 = 𝑣) |
36 | 33, 34, 35 | s3eqd 14575 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = 𝑣 → 〈“𝑢𝑥𝑧”〉 = 〈“𝑢𝑥𝑣”〉) |
37 | 36 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 𝑣 → (〈“𝑢𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺) ↔ 〈“𝑢𝑥𝑣”〉 ∈ (∟G‘𝐺))) |
38 | 32, 37 | rspc2va 3572 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) → 〈“𝑢𝑥𝑣”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) |
39 | 25, 26, 27, 38 | syl21anc 835 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 〈“𝑢𝑥𝑣”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) |
40 | | simpllr 773 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑢) |
41 | 40 | necomd 2999 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥) |
42 | 41 | adantl4r 752 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥) |
43 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑣) |
44 | 43 | necomd 2999 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥) |
45 | 44 | adantl4r 752 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥) |
46 | 1, 23, 2, 3, 24, 6,
22, 14, 19, 39, 42, 45 | ragncol 27068 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑣 ∈ (𝑢𝐿𝑥) ∨ 𝑢 = 𝑥)) |
47 | 1, 3, 2, 6, 22, 14, 19, 46 | ncolrot2 26922 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑣𝐿𝑢) ∨ 𝑣 = 𝑢)) |
48 | 1, 2, 3, 6, 14, 19, 22, 14, 47 | tglineneq 27003 |
. . . . . 6
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑥𝐿𝑣) ≠ (𝑢𝐿𝑥)) |
49 | 48 | necomd 2999 |
. . . . 5
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑢𝐿𝑥) ≠ (𝑥𝐿𝑣)) |
50 | 1, 2, 3, 7, 21, 13, 41, 41, 9, 20, 12 | tglinethru 26995 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥)) |
51 | 50 | adantl4r 752 |
. . . . 5
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥)) |
52 | 10 | elin2d 4134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
53 | 52 | ad4antr 729 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
54 | 1, 2, 3, 7, 13, 18, 43, 43, 16, 53, 17 | tglinethru 26995 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣)) |
55 | 54 | adantl4r 752 |
. . . . 5
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣)) |
56 | 49, 51, 55 | 3netr4d 3021 |
. . . 4
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
57 | 15 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿) |
58 | 1, 2, 3, 5, 57, 52 | tglnpt2 27000 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣) |
59 | 58 | ad5ant12 753 |
. . . 4
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣) |
60 | 56, 59 | r19.29a 3217 |
. . 3
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
61 | 8 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿) |
62 | 1, 2, 3, 5, 61, 11 | tglnpt2 27000 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢) |
63 | 62 | adantr 481 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢) |
64 | 60, 63 | r19.29a 3217 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
65 | | perpcom.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) |
66 | 1, 23, 2, 3, 4, 8, 15 | isperp 27071 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺))) |
67 | 65, 66 | mpbid 231 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) |
68 | 64, 67 | r19.29a 3217 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) |