Theorem perpneq 28685

Description: Two perpendicular lines are different. Theorem 8.14 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
perpneq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem perpneq

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad5antr 734	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	4	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		isperp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9	8	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
10		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
11	10	elin1d 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	11	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	1, 3, 2, 7, 9, 12	tglnpt 28520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃)
14	13	adantl4r 755	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃)
15		isperp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
16	15	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵)
18	1, 3, 2, 7, 16, 17	tglnpt 28520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
19	18	adantl4r 755	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
20		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴)
21	1, 3, 2, 7, 9, 20	tglnpt 28520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
22	21	adantl4r 755	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
23		isperp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
24		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
25		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴)
26		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵)
27		simp-5r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑦 = 𝑢)
29		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑥 = 𝑥)
30		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑧 = 𝑧)
31	28, 29, 30	s3eqd 14763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩)
32	31	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
33		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑢 = 𝑢)
34		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑥 = 𝑥)
35		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑧 = 𝑣)
36	33, 34, 35	s3eqd 14763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩)
37	36	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
38	32, 37	rspc2va 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
39	25, 26, 27, 38	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
40		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑢)
41	40	necomd 2981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥)
42	41	adantl4r 755	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑣)
44	43	necomd 2981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥)
45	44	adantl4r 755	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥)
46	1, 23, 2, 3, 24, 6, 22, 14, 19, 39, 42, 45	ragncol 28680	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑣 ∈ (𝑢𝐿𝑥) ∨ 𝑢 = 𝑥))
47	1, 3, 2, 6, 22, 14, 19, 46	ncolrot2 28534	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑣𝐿𝑢) ∨ 𝑣 = 𝑢))
48	1, 2, 3, 6, 14, 19, 22, 14, 47	tglineneq 28615	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑥𝐿𝑣) ≠ (𝑢𝐿𝑥))
49	48	necomd 2981	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑢𝐿𝑥) ≠ (𝑥𝐿𝑣))
50	1, 2, 3, 7, 21, 13, 41, 41, 9, 20, 12	tglinethru 28607	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
51	50	adantl4r 755	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
52	10	elin2d 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
53	52	ad4antr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐵)
54	1, 2, 3, 7, 13, 18, 43, 43, 16, 53, 17	tglinethru 28607	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
55	54	adantl4r 755	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
56	49, 51, 55	3netr4d 3003	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ≠ 𝐵)
57	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
58	1, 2, 3, 5, 57, 52	tglnpt2 28612	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣)
59	58	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣)
60	56, 59	r19.29a 3138	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → 𝐴 ≠ 𝐵)
61	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
62	1, 2, 3, 5, 61, 11	tglnpt2 28612	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢)
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢)
64	60, 63	r19.29a 3138	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
65		perpcom.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
66	1, 23, 2, 3, 4, 8, 15	isperp 28683	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
67	65, 66	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
68	64, 67	r19.29a 3138	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∩ cin 3899   class class class wbr 5089  ran crn 5615  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ⟨“cs3 14741  Basecbs 17112  distcds 17162  TarskiGcstrkg 28398  Itvcitv 28404  LineGclng 28405  pInvGcmir 28623  ∟Gcrag 28664  ⟂Gcperpg 28666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-xnn0 12447  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-hash 14230  df-word 14413  df-concat 14470  df-s1 14496  df-s2 14747  df-s3 14748  df-trkgc 28419  df-trkgb 28420  df-trkgcb 28421  df-trkg 28424  df-cgrg 28482  df-mir 28624  df-rag 28665  df-perpg 28667

This theorem is referenced by:  isperp2  28686  footne  28694  lmieu  28755