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Theorem perpneq 28232
Description: Two perpendicular lines are different. Theorem 8.14 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
isperp.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
isperp.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
isperp.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
isperp.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1 (πœ‘ β†’ 𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡)
Assertion
Ref Expression
perpneq (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
Proof of Theorem perpneq
Dummy variables 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 isperp.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 isperp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 isperp.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad5antr 730 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
74ad5antr 730 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 isperp.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
98ad5antr 730 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
10 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
1110elin1d 4197 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1211ad4antr 728 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
131, 3, 2, 7, 9, 12tglnpt 28067 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
1413adantl4r 751 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
15 isperp.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
1615ad5antr 730 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
17 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
181, 3, 2, 7, 16, 17tglnpt 28067 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
1918adantl4r 751 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
20 simp-4r 780 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
211, 3, 2, 7, 9, 20tglnpt 28067 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
2221adantl4r 751 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
23 isperp.d . . . . . . . . 9 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
24 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
25 simp-4r 780 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
26 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
27 simp-5r 782 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑒 β†’ 𝑦 = 𝑒)
29 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑒 β†’ π‘₯ = π‘₯)
30 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑒 β†’ 𝑧 = 𝑧)
3128, 29, 30s3eqd 14819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑒 β†’ βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘’π‘₯π‘§β€βŸ©)
3231eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑒 β†’ (βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ βŸ¨β€œπ‘’π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)))
33 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣 β†’ 𝑒 = 𝑒)
34 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣 β†’ π‘₯ = π‘₯)
35 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣 β†’ 𝑧 = 𝑣)
3633, 34, 35s3eqd 14819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑣 β†’ βŸ¨β€œπ‘’π‘₯π‘§β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘’π‘₯π‘£β€βŸ©)
3736eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑣 β†’ (βŸ¨β€œπ‘’π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ) ↔ βŸ¨β€œπ‘’π‘₯π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)))
3832, 37rspc2va 3622 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) β†’ βŸ¨β€œπ‘’π‘₯π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
3925, 26, 27, 38syl21anc 834 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ βŸ¨β€œπ‘’π‘₯π‘£β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
40 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ π‘₯ β‰  𝑒)
4140necomd 2994 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑒 β‰  π‘₯)
4241adantl4r 751 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑒 β‰  π‘₯)
43 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ π‘₯ β‰  𝑣)
4443necomd 2994 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑣 β‰  π‘₯)
4544adantl4r 751 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝑣 β‰  π‘₯)
461, 23, 2, 3, 24, 6, 22, 14, 19, 39, 42, 45ragncol 28227 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ Β¬ (𝑣 ∈ (𝑒𝐿π‘₯) ∨ 𝑒 = π‘₯))
471, 3, 2, 6, 22, 14, 19, 46ncolrot2 28081 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ (𝑣𝐿𝑒) ∨ 𝑣 = 𝑒))
481, 2, 3, 6, 14, 19, 22, 14, 47tglineneq 28162 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ (π‘₯𝐿𝑣) β‰  (𝑒𝐿π‘₯))
4948necomd 2994 . . . . 5 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ (𝑒𝐿π‘₯) β‰  (π‘₯𝐿𝑣))
501, 2, 3, 7, 21, 13, 41, 41, 9, 20, 12tglinethru 28154 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐴 = (𝑒𝐿π‘₯))
5150adantl4r 751 . . . . 5 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐴 = (𝑒𝐿π‘₯))
5210elin2d 4198 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5352ad4antr 728 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
541, 2, 3, 7, 13, 18, 43, 43, 16, 53, 17tglinethru 28154 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐡 = (π‘₯𝐿𝑣))
5554adantl4r 751 . . . . 5 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐡 = (π‘₯𝐿𝑣))
5649, 51, 553netr4d 3016 . . . 4 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  𝑣) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
5715adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ran 𝐿)
581, 2, 3, 5, 57, 52tglnpt2 28159 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 π‘₯ β‰  𝑣)
5958ad5ant12 752 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 π‘₯ β‰  𝑣)
6056, 59r19.29a 3160 . . 3 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ β‰  𝑒) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
618adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
621, 2, 3, 5, 61, 11tglnpt2 28159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  𝑒)
6362adantr 479 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰  𝑒)
6460, 63r19.29a 3160 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
65 perpcom.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡)
661, 23, 2, 3, 4, 8, 15isperp 28230 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐡 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ)))
6765, 66mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βŸ¨β€œπ‘¦π‘₯π‘§β€βŸ© ∈ (∟Gβ€˜πΊ))
6864, 67r19.29a 3160 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  βŸ¨β€œcs3 14797  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Itvcitv 27951  LineGclng 27952  pInvGcmir 28170  βˆŸGcrag 28211  βŸ‚Gcperpg 28213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkg 27971  df-cgrg 28029  df-mir 28171  df-rag 28212  df-perpg 28214
This theorem is referenced by:  isperp2  28233  footne  28241  lmieu  28302
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