Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perpneq 26511
 Description: Two perpendicular lines are different. Theorem 8.14 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
Assertion
Ref Expression
perpneq (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem perpneq
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 isperp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 isperp.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad5antr 733 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
74ad5antr 733 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 isperp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
98ad5antr 733 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
10 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
1110elin1d 4128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥𝐴)
1211ad4antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝐴)
131, 3, 2, 7, 9, 12tglnpt 26346 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑃)
1413adantl4r 754 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑃)
15 isperp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
1615ad5antr 733 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
17 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝐵)
181, 3, 2, 7, 16, 17tglnpt 26346 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑃)
1918adantl4r 754 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑃)
20 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝐴)
211, 3, 2, 7, 9, 20tglnpt 26346 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑃)
2221adantl4r 754 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑃)
23 isperp.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
24 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
25 simp-4r 783 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝐴)
26 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝐵)
27 simp-5r 785 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑦 = 𝑢)
29 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑥 = 𝑥)
30 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑧 = 𝑧)
3128, 29, 30s3eqd 14221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑢 → ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩)
3231eleq1d 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑢 → (⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
33 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑢 = 𝑢)
34 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑥 = 𝑥)
35 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑧 = 𝑣)
3633, 34, 35s3eqd 14221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑣 → ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩)
3736eleq1d 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑣 → (⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
3832, 37rspc2va 3585 . . . . . . . . . 10 (((𝑢𝐴𝑣𝐵) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3925, 26, 27, 38syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
40 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑢)
4140necomd 3045 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑥)
4241adantl4r 754 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑥)
43 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑣)
4443necomd 3045 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑥)
4544adantl4r 754 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑥)
461, 23, 2, 3, 24, 6, 22, 14, 19, 39, 42, 45ragncol 26506 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ¬ (𝑣 ∈ (𝑢𝐿𝑥) ∨ 𝑢 = 𝑥))
471, 3, 2, 6, 22, 14, 19, 46ncolrot2 26360 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑣𝐿𝑢) ∨ 𝑣 = 𝑢))
481, 2, 3, 6, 14, 19, 22, 14, 47tglineneq 26441 . . . . . 6 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑥𝐿𝑣) ≠ (𝑢𝐿𝑥))
4948necomd 3045 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑢𝐿𝑥) ≠ (𝑥𝐿𝑣))
501, 2, 3, 7, 21, 13, 41, 41, 9, 20, 12tglinethru 26433 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
5150adantl4r 754 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
5210elin2d 4129 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥𝐵)
5352ad4antr 731 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝐵)
541, 2, 3, 7, 13, 18, 43, 43, 16, 53, 17tglinethru 26433 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
5554adantl4r 754 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
5649, 51, 553netr4d 3067 . . . 4 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴𝐵)
5715adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
581, 2, 3, 5, 57, 52tglnpt2 26438 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ∃𝑣𝐵 𝑥𝑣)
5958ad5ant12 755 . . . 4 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑣𝐵 𝑥𝑣)
6056, 59r19.29a 3251 . . 3 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) → 𝐴𝐵)
618adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
621, 2, 3, 5, 61, 11tglnpt2 26438 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ∃𝑢𝐴 𝑥𝑢)
6362adantr 484 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑢𝐴 𝑥𝑢)
6460, 63r19.29a 3251 . 2 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴𝐵)
65 perpcom.1 . . 3 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
661, 23, 2, 3, 4, 8, 15isperp 26509 . . 3 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
6765, 66mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
6864, 67r19.29a 3251 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ∩ cin 3883   class class class wbr 5033  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ⟨“cs3 14199  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26227  Itvcitv 26233  LineGclng 26234  pInvGcmir 26449  ∟Gcrag 26490  ⟂Gcperpg 26492 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26245  df-trkgb 26246  df-trkgcb 26247  df-trkg 26250  df-cgrg 26308  df-mir 26450  df-rag 26491  df-perpg 26493 This theorem is referenced by:  isperp2  26512  footne  26520  lmieu  26581
 Copyright terms: Public domain W3C validator