| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | isperp.p |
. . . . . . 7
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
| 2 | | isperp.i |
. . . . . . 7
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
| 3 | | isperp.l |
. . . . . . 7
⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺) |
| 4 | | isperp.g |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 5 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 6 | 5 | ad5antr 734 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 7 | 4 | ad5antr 734 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 8 | | isperp.a |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿) |
| 9 | 8 | ad5antr 734 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ ran 𝐿) |
| 10 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) |
| 11 | 10 | elin1d 4204 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 12 | 11 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 13 | 1, 3, 2, 7, 9, 12 | tglnpt 28557 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
| 14 | 13 | adantl4r 755 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
| 15 | | isperp.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿) |
| 16 | 15 | ad5antr 734 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿) |
| 17 | | simplr 769 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵) |
| 18 | 1, 3, 2, 7, 16, 17 | tglnpt 28557 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃) |
| 19 | 18 | adantl4r 755 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃) |
| 20 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴) |
| 21 | 1, 3, 2, 7, 9, 20 | tglnpt 28557 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃) |
| 22 | 21 | adantl4r 755 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃) |
| 23 | | isperp.d |
. . . . . . . . 9
⊢ − =
(dist‘𝐺) |
| 24 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢
(pInvG‘𝐺) =
(pInvG‘𝐺) |
| 25 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴) |
| 26 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵) |
| 27 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) |
| 28 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑦 = 𝑢) |
| 29 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑥 = 𝑥) |
| 30 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑧 = 𝑧) |
| 31 | 28, 29, 30 | s3eqd 14903 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 = 〈“𝑢𝑥𝑧”〉) |
| 32 | 31 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑢 → (〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺) ↔ 〈“𝑢𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺))) |
| 33 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑢 = 𝑢) |
| 34 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑥 = 𝑥) |
| 35 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑧 = 𝑣) |
| 36 | 33, 34, 35 | s3eqd 14903 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = 𝑣 → 〈“𝑢𝑥𝑧”〉 = 〈“𝑢𝑥𝑣”〉) |
| 37 | 36 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 𝑣 → (〈“𝑢𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺) ↔ 〈“𝑢𝑥𝑣”〉 ∈ (∟G‘𝐺))) |
| 38 | 32, 37 | rspc2va 3634 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) → 〈“𝑢𝑥𝑣”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) |
| 39 | 25, 26, 27, 38 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 〈“𝑢𝑥𝑣”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) |
| 40 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑢) |
| 41 | 40 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥) |
| 42 | 41 | adantl4r 755 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥) |
| 43 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑣) |
| 44 | 43 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥) |
| 45 | 44 | adantl4r 755 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥) |
| 46 | 1, 23, 2, 3, 24, 6,
22, 14, 19, 39, 42, 45 | ragncol 28717 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑣 ∈ (𝑢𝐿𝑥) ∨ 𝑢 = 𝑥)) |
| 47 | 1, 3, 2, 6, 22, 14, 19, 46 | ncolrot2 28571 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑣𝐿𝑢) ∨ 𝑣 = 𝑢)) |
| 48 | 1, 2, 3, 6, 14, 19, 22, 14, 47 | tglineneq 28652 |
. . . . . 6
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑥𝐿𝑣) ≠ (𝑢𝐿𝑥)) |
| 49 | 48 | necomd 2996 |
. . . . 5
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑢𝐿𝑥) ≠ (𝑥𝐿𝑣)) |
| 50 | 1, 2, 3, 7, 21, 13, 41, 41, 9, 20, 12 | tglinethru 28644 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥)) |
| 51 | 50 | adantl4r 755 |
. . . . 5
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥)) |
| 52 | 10 | elin2d 4205 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
| 53 | 52 | ad4antr 732 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
| 54 | 1, 2, 3, 7, 13, 18, 43, 43, 16, 53, 17 | tglinethru 28644 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣)) |
| 55 | 54 | adantl4r 755 |
. . . . 5
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣)) |
| 56 | 49, 51, 55 | 3netr4d 3018 |
. . . 4
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 57 | 15 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿) |
| 58 | 1, 2, 3, 5, 57, 52 | tglnpt2 28649 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣) |
| 59 | 58 | ad5ant12 756 |
. . . 4
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣) |
| 60 | 56, 59 | r19.29a 3162 |
. . 3
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 61 | 8 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿) |
| 62 | 1, 2, 3, 5, 61, 11 | tglnpt2 28649 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢) |
| 63 | 62 | adantr 480 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢) |
| 64 | 60, 63 | r19.29a 3162 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 65 | | perpcom.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵) |
| 66 | 1, 23, 2, 3, 4, 8, 15 | isperp 28720 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺))) |
| 67 | 65, 66 | mpbid 232 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 〈“𝑦𝑥𝑧”〉 ∈ (∟G‘𝐺)) |
| 68 | 64, 67 | r19.29a 3162 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) |