Theorem perpneq 29189

Description: Two perpendicular lines are different. Theorem 8.14 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
isperp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
isperp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
perpneq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem perpneq

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		isperp.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		isperp.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		isperp.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad5antr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	4	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		isperp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9	8	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
10		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
11	10	elin1d 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	11	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	1, 3, 2, 7, 9, 12	tglnpt 29012	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃)
14	13	adantl4r 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑃)
15		isperp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
16	15	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
17		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵)
18	1, 3, 2, 7, 16, 17	tglnpt 29012	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
19	18	adantl4r 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
20		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴)
21	1, 3, 2, 7, 9, 20	tglnpt 29012	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
22	21	adantl4r 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
23		isperp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (dist‘𝐺)
24		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
25		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝐴)
26		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝐵)
27		simp-5r 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑦 = 𝑢)
29		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑥 = 𝑥)
30		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → 𝑧 = 𝑧)
31	28, 29, 30	s3eqd 15015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩)
32	31	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
33		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑢 = 𝑢)
34		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑥 = 𝑥)
35		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → 𝑧 = 𝑣)
36	33, 34, 35	s3eqd 15015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩)
37	36	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
38	32, 37	rspc2va 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
39	25, 26, 27, 38	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
40		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑢)
41	40	necomd 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥)
42	41	adantl4r 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑢 ≠ 𝑥)
43		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ≠ 𝑣)
44	43	necomd 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥)
45	44	adantl4r 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑣 ≠ 𝑥)
46	1, 23, 2, 3, 24, 6, 22, 14, 19, 39, 42, 45	ragncol 29184	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑣 ∈ (𝑢𝐿𝑥) ∨ 𝑢 = 𝑥))
47	1, 3, 2, 6, 22, 14, 19, 46	ncolrot2 29026	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑣𝐿𝑢) ∨ 𝑣 = 𝑢))
48	1, 2, 3, 6, 14, 19, 22, 14, 47	tglineneq 29113	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑥𝐿𝑣) ≠ (𝑢𝐿𝑥))
49	48	necomd 3010	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → (𝑢𝐿𝑥) ≠ (𝑥𝐿𝑣))
50	1, 2, 3, 7, 21, 13, 41, 41, 9, 20, 12	tglinethru 29104	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
51	50	adantl4r 768	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
52	10	elin2d 4102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
53	52	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝐵)
54	1, 2, 3, 7, 13, 18, 43, 43, 16, 53, 17	tglinethru 29104	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
55	54	adantl4r 768	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
56	49, 51, 55	3netr4d 3032	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑣) → 𝐴 ≠ 𝐵)
57	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
58	1, 2, 3, 5, 57, 52	tglnpt2 29121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣)
59	58	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑣)
60	56, 59	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑢) → 𝐴 ≠ 𝐵)
61	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
62	1, 2, 3, 5, 61, 11	tglnpt2 29121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢)
63	62	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑢)
64	60, 63	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
65		perpcom.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
66	1, 23, 2, 3, 4, 8, 15	isperp 29187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
67	65, 66	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
68	64, 67	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ⟨“cs3 14993  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  pInvGcmir 29124  ∟Gcrag 29168  ⟂Gcperpg 29170

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171

This theorem is used by:  isperp2  29190  footne  29198  lmieu  29289  perpeqlem  29347  perpprlng  29428  prlngex  29429