MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perpneq 27073
Description: Two perpendicular lines are different. Theorem 8.14 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
Assertion
Ref Expression
perpneq (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem perpneq
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 isperp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 isperp.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad5antr 731 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
74ad5antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 isperp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
98ad5antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
10 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
1110elin1d 4133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥𝐴)
1211ad4antr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝐴)
131, 3, 2, 7, 9, 12tglnpt 26908 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑃)
1413adantl4r 752 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑃)
15 isperp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
1615ad5antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
17 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝐵)
181, 3, 2, 7, 16, 17tglnpt 26908 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑃)
1918adantl4r 752 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑃)
20 simp-4r 781 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝐴)
211, 3, 2, 7, 9, 20tglnpt 26908 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑃)
2221adantl4r 752 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑃)
23 isperp.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
24 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
25 simp-4r 781 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝐴)
26 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝐵)
27 simp-5r 783 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑦 = 𝑢)
29 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑥 = 𝑥)
30 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑧 = 𝑧)
3128, 29, 30s3eqd 14575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑢 → ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩)
3231eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑢 → (⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
33 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑢 = 𝑢)
34 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑥 = 𝑥)
35 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑧 = 𝑣)
3633, 34, 35s3eqd 14575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑣 → ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩)
3736eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑣 → (⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
3832, 37rspc2va 3572 . . . . . . . . . 10 (((𝑢𝐴𝑣𝐵) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
3925, 26, 27, 38syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
40 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑢)
4140necomd 2999 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑥)
4241adantl4r 752 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑥)
43 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑣)
4443necomd 2999 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑥)
4544adantl4r 752 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑥)
461, 23, 2, 3, 24, 6, 22, 14, 19, 39, 42, 45ragncol 27068 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ¬ (𝑣 ∈ (𝑢𝐿𝑥) ∨ 𝑢 = 𝑥))
471, 3, 2, 6, 22, 14, 19, 46ncolrot2 26922 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑣𝐿𝑢) ∨ 𝑣 = 𝑢))
481, 2, 3, 6, 14, 19, 22, 14, 47tglineneq 27003 . . . . . 6 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑥𝐿𝑣) ≠ (𝑢𝐿𝑥))
4948necomd 2999 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑢𝐿𝑥) ≠ (𝑥𝐿𝑣))
501, 2, 3, 7, 21, 13, 41, 41, 9, 20, 12tglinethru 26995 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
5150adantl4r 752 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
5210elin2d 4134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥𝐵)
5352ad4antr 729 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝐵)
541, 2, 3, 7, 13, 18, 43, 43, 16, 53, 17tglinethru 26995 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
5554adantl4r 752 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
5649, 51, 553netr4d 3021 . . . 4 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴𝐵)
5715adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
581, 2, 3, 5, 57, 52tglnpt2 27000 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ∃𝑣𝐵 𝑥𝑣)
5958ad5ant12 753 . . . 4 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑣𝐵 𝑥𝑣)
6056, 59r19.29a 3217 . . 3 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) → 𝐴𝐵)
618adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
621, 2, 3, 5, 61, 11tglnpt2 27000 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ∃𝑢𝐴 𝑥𝑢)
6362adantr 481 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑢𝐴 𝑥𝑢)
6460, 63r19.29a 3217 . 2 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴𝐵)
65 perpcom.1 . . 3 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
661, 23, 2, 3, 4, 8, 15isperp 27071 . . 3 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
6765, 66mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
6864, 67r19.29a 3217 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  cin 3887   class class class wbr 5076  ran crn 5592  cfv 6435  (class class class)co 7277  ⟨“cs3 14553  Basecbs 16910  distcds 16969  TarskiGcstrkg 26786  Itvcitv 26792  LineGclng 26793  pInvGcmir 27011  ∟Gcrag 27052  ⟂Gcperpg 27054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-oadd 8299  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-dju 9657  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-hash 14043  df-word 14216  df-concat 14272  df-s1 14299  df-s2 14559  df-s3 14560  df-trkgc 26807  df-trkgb 26808  df-trkgcb 26809  df-trkg 26812  df-cgrg 26870  df-mir 27012  df-rag 27053  df-perpg 27055
This theorem is referenced by:  isperp2  27074  footne  27082  lmieu  27143
  Copyright terms: Public domain W3C validator