Theorem oppperpex 28779

Description: Restating colperpex 28759 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
oppperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
oppperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
oppperpex.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
oppperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
oppperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝐴,𝑝,𝑡   𝐷,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,𝐿   𝐼,𝑝,𝑡   𝐾,𝑝,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡   − ,𝑝,𝑡   𝑡,𝑎,𝑏   𝐿,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
2		hpg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		opphl.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		opphl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		oppperpex.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	2, 4, 3, 6, 8, 10	tglnpt 28575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐷)
13	2, 4, 3, 6, 8, 12	tglnpt 28575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ≠ 𝑥)
15	2, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12	tglinethru 28662	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
17	1, 16	breqtrrd 5194	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
18		oppperpex.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
19	18	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
20		hpg.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
23	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐴 ∈ 𝐷)
24		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
25	2, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17	footne 28749	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝑝 ∈ 𝐷)
26	14	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
27	26	neneqd 2951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
28		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
29	28	orcomd 870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐴 = 𝑥 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
30	29	ord 863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
31	27, 30	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
32	15	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
33	31, 32	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
34		simprrr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
35	33, 34	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
36	35	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → ((𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
37	36	reximdv2 3170	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
38	37	impr 454	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
39	38	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
40	19, 25, 39	jca31 514	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
41		hpg.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
42		oppperpex.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃)
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
45		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
46	2, 20, 3, 41, 44, 45	islnopp 28765	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
47	46	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
48	47	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
49	40, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐶𝑂𝑝)
50	17, 49	jca 511	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))
51		oppperpex.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
52	51	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺DimTarskiG≥2)
53	2, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 43, 14, 52	colperpex 28759	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
54	50, 53	reximddv 3177	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))
55	2, 3, 4, 5, 7, 9	tglnpt2 28667	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑥)
56	54, 55	r19.29a 3168	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973   class class class wbr 5166  {copab 5228  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  2c2 12348  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28457  Itvcitv 28459  LineGclng 28460  hlGchlg 28626  ⟂Gcperpg 28721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkgld 28478  df-trkg 28479  df-cgrg 28537  df-leg 28609  df-mir 28679  df-rag 28720  df-perpg 28722

This theorem is referenced by:  lnperpex  28829