MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppperpex 28601
Description: Restating colperpex 28581 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
oppperpex.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
oppperpex.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
oppperpex.3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
oppperpex.4 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
Assertion
Ref Expression
oppperpex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝐴,𝑝,𝑑   𝐷,𝑝,𝑑   𝐢,𝑝,𝑑   𝐺,𝑝,𝑑   𝑑,𝐿   𝐼,𝑝,𝑑   𝐾,𝑝,𝑑   𝑑,𝑂   𝑃,𝑝,𝑑   πœ‘,𝑝,𝑑   βˆ’ ,𝑝,𝑑   𝑑,π‘Ž,𝑏   𝐿,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐾(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(𝑝,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 779 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯))
2 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 opphl.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 opphl.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
87ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 oppperpex.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
109ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
112, 4, 3, 6, 8, 10tglnpt 28397 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
12 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
132, 4, 3, 6, 8, 12tglnpt 28397 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
14 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 β‰  π‘₯)
152, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12tglinethru 28484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
1615adantr 479 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
171, 16breqtrrd 5171 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
18 oppperpex.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
1918ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
20 hpg.d . . . . . . 7 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
216adantr 479 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 479 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2310adantr 479 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
24 simprl 769 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
252, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17footne 28571 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷)
2614ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝐴 β‰  π‘₯)
2726neneqd 2935 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ Β¬ 𝐴 = π‘₯)
28 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯))
2928orcomd 869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝐴 = π‘₯ ∨ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯)))
3029ord 862 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (Β¬ 𝐴 = π‘₯ β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯)))
3127, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯))
3215ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
3331, 32eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
34 simprrr 780 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
3533, 34jca 510 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
3635ex 411 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
3736reximdv2 3154 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
3837impr 453 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
3938anasss 465 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
4019, 25, 39jca31 513 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
41 hpg.o . . . . . . . 8 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
42 oppperpex.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4342ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
45 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
462, 20, 3, 41, 44, 45islnopp 28587 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4746adantrr 715 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4847anasss 465 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4940, 48mpbird 256 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐢𝑂𝑝)
5017, 49jca 510 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
51 oppperpex.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
5251ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
532, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 43, 14, 52colperpex 28581 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
5450, 53reximddv 3161 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
552, 3, 4, 5, 7, 9tglnpt2 28489 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝐴 β‰  π‘₯)
5654, 55r19.29a 3152 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936   class class class wbr 5143  {copab 5205  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  2c2 12297  Basecbs 17179  distcds 17241  TarskiGcstrkg 28275  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28279  Itvcitv 28281  LineGclng 28282  hlGchlg 28448  βŸ‚Gcperpg 28543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832  df-trkgc 28296  df-trkgb 28297  df-trkgcb 28298  df-trkgld 28300  df-trkg 28301  df-cgrg 28359  df-leg 28431  df-mir 28501  df-rag 28542  df-perpg 28544
This theorem is referenced by:  lnperpex  28651
  Copyright terms: Public domain W3C validator