MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppperpex 28512
Description: Restating colperpex 28492 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
oppperpex.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
oppperpex.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
oppperpex.3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
oppperpex.4 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
Assertion
Ref Expression
oppperpex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝐴,𝑝,𝑑   𝐷,𝑝,𝑑   𝐢,𝑝,𝑑   𝐺,𝑝,𝑑   𝑑,𝐿   𝐼,𝑝,𝑑   𝐾,𝑝,𝑑   𝑑,𝑂   𝑃,𝑝,𝑑   πœ‘,𝑝,𝑑   βˆ’ ,𝑝,𝑑   𝑑,π‘Ž,𝑏   𝐿,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐾(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(𝑝,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 778 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯))
2 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 opphl.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 opphl.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
87ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 oppperpex.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
109ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
112, 4, 3, 6, 8, 10tglnpt 28308 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
12 simplr 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
132, 4, 3, 6, 8, 12tglnpt 28308 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
14 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 β‰  π‘₯)
152, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12tglinethru 28395 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
1615adantr 480 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
171, 16breqtrrd 5169 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
18 oppperpex.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
1918ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
20 hpg.d . . . . . . 7 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
216adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2310adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
24 simprl 768 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
252, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17footne 28482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷)
2614ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝐴 β‰  π‘₯)
2726neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ Β¬ 𝐴 = π‘₯)
28 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯))
2928orcomd 868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝐴 = π‘₯ ∨ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯)))
3029ord 861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (Β¬ 𝐴 = π‘₯ β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯)))
3127, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯))
3215ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
3331, 32eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
34 simprrr 779 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
3533, 34jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
3635ex 412 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
3736reximdv2 3158 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
3837impr 454 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
3938anasss 466 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
4019, 25, 39jca31 514 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
41 hpg.o . . . . . . . 8 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
42 oppperpex.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4443ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
45 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
462, 20, 3, 41, 44, 45islnopp 28498 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4746adantrr 714 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4847anasss 466 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4940, 48mpbird 257 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐢𝑂𝑝)
5017, 49jca 511 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
51 oppperpex.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
5251ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
532, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 43, 14, 52colperpex 28492 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
5450, 53reximddv 3165 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
552, 3, 4, 5, 7, 9tglnpt2 28400 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝐴 β‰  π‘₯)
5654, 55r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   class class class wbr 5141  {copab 5203  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  2c2 12271  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28190  Itvcitv 28192  LineGclng 28193  hlGchlg 28359  βŸ‚Gcperpg 28454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28207  df-trkgb 28208  df-trkgcb 28209  df-trkgld 28211  df-trkg 28212  df-cgrg 28270  df-leg 28342  df-mir 28412  df-rag 28453  df-perpg 28455
This theorem is referenced by:  lnperpex  28562
  Copyright terms: Public domain W3C validator