MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppperpex 28004
Description: Restating colperpex 27984 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
oppperpex.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
oppperpex.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
oppperpex.3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
oppperpex.4 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
Assertion
Ref Expression
oppperpex (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝐴,𝑝,𝑑   𝐷,𝑝,𝑑   𝐢,𝑝,𝑑   𝐺,𝑝,𝑑   𝑑,𝐿   𝐼,𝑝,𝑑   𝐾,𝑝,𝑑   𝑑,𝑂   𝑃,𝑝,𝑑   πœ‘,𝑝,𝑑   βˆ’ ,𝑝,𝑑   𝑑,π‘Ž,𝑏   𝐿,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐾(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(𝑝,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 780 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯))
2 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 opphl.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 opphl.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
87ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 oppperpex.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
109ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
112, 4, 3, 6, 8, 10tglnpt 27800 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
12 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
132, 4, 3, 6, 8, 12tglnpt 27800 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
14 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐴 β‰  π‘₯)
152, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12tglinethru 27887 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
1615adantr 482 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
171, 16breqtrrd 5177 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
18 oppperpex.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
1918ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
20 hpg.d . . . . . . 7 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
216adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2310adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
24 simprl 770 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
252, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17footne 27974 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷)
2614ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝐴 β‰  π‘₯)
2726neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ Β¬ 𝐴 = π‘₯)
28 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯))
2928orcomd 870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝐴 = π‘₯ ∨ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯)))
3029ord 863 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (Β¬ 𝐴 = π‘₯ β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯)))
3127, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯))
3215ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿π‘₯))
3331, 32eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
34 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
3533, 34jca 513 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
3635ex 414 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
3736reximdv2 3165 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
3837impr 456 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
3938anasss 468 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))
4019, 25, 39jca31 516 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))
41 hpg.o . . . . . . . 8 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
42 oppperpex.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
45 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
462, 20, 3, 41, 44, 45islnopp 27990 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯)) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4746adantrr 716 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝)))) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4847anasss 468 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ (𝐢𝑂𝑝 ↔ ((Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
4940, 48mpbird 257 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ 𝐢𝑂𝑝)
5017, 49jca 513 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))) β†’ ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
51 oppperpex.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
5251ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
532, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 43, 14, 52colperpex 27984 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 ((𝑑 ∈ (𝐴𝐿π‘₯) ∨ 𝐴 = π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ (𝐢𝐼𝑝))))
5450, 53reximddv 3172 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
552, 3, 4, 5, 7, 9tglnpt2 27892 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 𝐴 β‰  π‘₯)
5654, 55r19.29a 3163 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ∧ 𝐢𝑂𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149  {copab 5211  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2c2 12267  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27682  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  hlGchlg 27851  βŸ‚Gcperpg 27946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkgld 27703  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-leg 27834  df-mir 27904  df-rag 27945  df-perpg 27947
This theorem is referenced by:  lnperpex  28054
  Copyright terms: Public domain W3C validator