Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simprrl 771 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) |
2 | | hpg.p |
. . . . . . 7
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
3 | | hpg.i |
. . . . . . 7
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
4 | | opphl.l |
. . . . . . 7
⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺) |
5 | | opphl.g |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
6 | 5 | ad2antrr 716 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
7 | | opphl.d |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿) |
8 | 7 | ad2antrr 716 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿) |
9 | | oppperpex.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷) |
10 | 9 | ad2antrr 716 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝐷) |
11 | 2, 4, 3, 6, 8, 10 | tglnpt 25904 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
12 | | simplr 759 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
13 | 2, 4, 3, 6, 8, 12 | tglnpt 25904 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
14 | | simpr 479 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ≠ 𝑥) |
15 | 2, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12 | tglinethru 25991 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥)) |
16 | 15 | adantr 474 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥)) |
17 | 1, 16 | breqtrrd 4916 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷) |
18 | | oppperpex.3 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) |
19 | 18 | ad3antrrr 720 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) |
20 | | hpg.d |
. . . . . . 7
⊢ − =
(dist‘𝐺) |
21 | 6 | adantr 474 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
22 | 8 | adantr 474 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿) |
23 | 10 | adantr 474 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐴 ∈ 𝐷) |
24 | | simprl 761 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝑝 ∈ 𝑃) |
25 | 2, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17 | footne 26075 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) |
26 | 14 | ad3antrrr 720 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐴 ≠ 𝑥) |
27 | 26 | neneqd 2974 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ¬ 𝐴 = 𝑥) |
28 | | simprrl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥)) |
29 | 28 | orcomd 860 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐴 = 𝑥 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))) |
30 | 29 | ord 853 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))) |
31 | 27, 30 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)) |
32 | 15 | ad3antrrr 720 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥)) |
33 | 31, 32 | eleqtrrd 2862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ 𝐷) |
34 | | simprrr 772 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) |
35 | 33, 34 | jca 507 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) |
36 | 35 | ex 403 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → ((𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
37 | 36 | reximdv2 3195 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) |
38 | 37 | imp 397 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) |
39 | 38 | anasss 460 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) |
40 | 39 | anasss 460 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) |
41 | 19, 25, 40 | jca31 510 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) |
42 | | hpg.o |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑂 = {〈𝑎, 𝑏〉 ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))} |
43 | | oppperpex.2 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃) |
44 | 43 | ad2antrr 716 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
45 | 44 | ad2antrr 716 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
46 | | simplr 759 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝑝 ∈ 𝑃) |
47 | 2, 20, 3, 42, 45, 46 | islnopp 26091 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
48 | 47 | adantr 474 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
49 | 48 | anasss 460 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
50 | 49 | anasss 460 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
51 | 41, 50 | mpbird 249 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐶𝑂𝑝) |
52 | 17, 51 | jca 507 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝)) |
53 | | oppperpex.4 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2) |
54 | 53 | ad2antrr 716 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺DimTarskiG≥2) |
55 | 2, 20, 3, 4, 6, 11,
13, 44, 14, 54 | colperpex 26085 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) |
56 | 52, 55 | reximddv 3199 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝)) |
57 | 2, 3, 4, 5, 7, 9 | tglnpt2 25996 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑥) |
58 | 56, 57 | r19.29a 3264 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝)) |