MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppperpex 26105
Description: Restating colperpex 26085 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
oppperpex.1 (𝜑𝐴𝐷)
oppperpex.2 (𝜑𝐶𝑃)
oppperpex.3 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
oppperpex.4 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
oppperpex (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝐴,𝑝,𝑡   𝐷,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,𝐿   𝐼,𝑝,𝑡   𝐾,𝑝,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡   ,𝑝,𝑡   𝑡,𝑎,𝑏   𝐿,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 771 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
2 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 opphl.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 opphl.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
87ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 oppperpex.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
109ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝐷)
112, 4, 3, 6, 8, 10tglnpt 25904 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑃)
12 simplr 759 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥𝐷)
132, 4, 3, 6, 8, 12tglnpt 25904 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥𝑃)
14 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
152, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12tglinethru 25991 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
1615adantr 474 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
171, 16breqtrrd 4916 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
18 oppperpex.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
1918ad3antrrr 720 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝐶𝐷)
20 hpg.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
216adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2310adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐴𝐷)
24 simprl 761 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝑝𝑃)
252, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17footne 26075 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝑝𝐷)
2614ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐴𝑥)
2726neneqd 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
28 simprrl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
2928orcomd 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐴 = 𝑥𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
3029ord 853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (¬ 𝐴 = 𝑥𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
3127, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
3215ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
3331, 32eleqtrrd 2862 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡𝐷)
34 simprrr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
3533, 34jca 507 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
3635ex 403 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → ((𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
3736reximdv2 3195 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
3837imp 397 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
3938anasss 460 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
4039anasss 460 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
4119, 25, 40jca31 510 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
42 hpg.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
43 oppperpex.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑃)
4443ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐶𝑃)
4544ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝐶𝑃)
46 simplr 759 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝑝𝑃)
472, 20, 3, 42, 45, 46islnopp 26091 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4847adantr 474 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4948anasss 460 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
5049anasss 460 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
5141, 50mpbird 249 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐶𝑂𝑝)
5217, 51jca 507 . . 3 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
53 oppperpex.4 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
5453ad2antrr 716 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐺DimTarskiG≥2)
552, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 44, 14, 54colperpex 26085 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
5652, 55reximddv 3199 . 2 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
572, 3, 4, 5, 7, 9tglnpt2 25996 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 𝐴𝑥)
5856, 57r19.29a 3264 1 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wrex 3091  cdif 3789   class class class wbr 4888  {copab 4950  ran crn 5358  cfv 6137  (class class class)co 6924  2c2 11434  Basecbs 16259  distcds 16351  TarskiGcstrkg 25785  DimTarskiGcstrkgld 25789  Itvcitv 25791  LineGclng 25792  hlGchlg 25955  ⟂Gcperpg 26050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-hash 13440  df-word 13604  df-concat 13665  df-s1 13690  df-s2 14003  df-s3 14004  df-trkgc 25803  df-trkgb 25804  df-trkgcb 25805  df-trkgld 25807  df-trkg 25808  df-cgrg 25866  df-leg 25938  df-mir 26008  df-rag 26049  df-perpg 26051
This theorem is referenced by:  lnperpex  26155
  Copyright terms: Public domain W3C validator