Theorem oppperpex 28716

Description: Restating colperpex 28696 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
oppperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
oppperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
oppperpex.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
oppperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
oppperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝐴,𝑝,𝑡   𝐷,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,𝐿   𝐼,𝑝,𝑡   𝐾,𝑝,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡   − ,𝑝,𝑡   𝑡,𝑎,𝑏   𝐿,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
2		hpg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		opphl.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		opphl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		oppperpex.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	2, 4, 3, 6, 8, 10	tglnpt 28512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐷)
13	2, 4, 3, 6, 8, 12	tglnpt 28512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ≠ 𝑥)
15	2, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12	tglinethru 28599	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
17	1, 16	breqtrrd 5123	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
18		oppperpex.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
19	18	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
20		hpg.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
23	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐴 ∈ 𝐷)
24		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
25	2, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17	footne 28686	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝑝 ∈ 𝐷)
26	14	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
27	26	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
28		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
29	28	orcomd 871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐴 = 𝑥 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
30	29	ord 864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
31	27, 30	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
32	15	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
33	31, 32	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
34		simprrr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
35	33, 34	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
36	35	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → ((𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
37	36	reximdv2 3139	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
38	37	impr 454	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
39	38	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
40	19, 25, 39	jca31 514	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
41		hpg.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
42		oppperpex.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
45		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
46	2, 20, 3, 41, 44, 45	islnopp 28702	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
47	46	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
48	47	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
49	40, 48	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐶𝑂𝑝)
50	17, 49	jca 511	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))
51		oppperpex.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
52	51	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺DimTarskiG≥2)
53	2, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 43, 14, 52	colperpex 28696	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
54	50, 53	reximddv 3145	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))
55	2, 3, 4, 5, 7, 9	tglnpt2 28604	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑥)
56	54, 55	r19.29a 3137	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902   class class class wbr 5095  {copab 5157  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  2c2 12201  Basecbs 17138  distcds 17188  TarskiGcstrkg 28390  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28394  Itvcitv 28396  LineGclng 28397  hlGchlg 28563  ⟂Gcperpg 28658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774  df-trkgc 28411  df-trkgb 28412  df-trkgcb 28413  df-trkgld 28415  df-trkg 28416  df-cgrg 28474  df-leg 28546  df-mir 28616  df-rag 28657  df-perpg 28659

This theorem is referenced by:  lnperpex  28766