Theorem oppperpex 29015

Description: Restating colperpex 28995 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
oppperpex.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
oppperpex.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
oppperpex.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
oppperpex.4	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
oppperpex	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝐴,𝑝,𝑡   𝐷,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,𝐿   𝐼,𝑝,𝑡   𝐾,𝑝,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡   − ,𝑝,𝑡   𝑡,𝑎,𝑏   𝐿,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 792	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
2		hpg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		opphl.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		opphl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8	7	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		oppperpex.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝐷)
11	2, 4, 3, 6, 8, 10	tglnpt 28799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ 𝑃)
12		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐷)
13	2, 4, 3, 6, 8, 12	tglnpt 28799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
14		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐴 ≠ 𝑥)
15	2, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12	tglinethru 28890	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
16	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
17	1, 16	breqtrrd 5140	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
18		oppperpex.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
19	18	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
20		hpg.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
21	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
23	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐴 ∈ 𝐷)
24		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
25	2, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17	footne 28984	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝑝 ∈ 𝐷)
26	14	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐴 ≠ 𝑥)
27	26	neneqd 2963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
28		simprrl 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
29	28	orcomd 884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐴 = 𝑥 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
30	29	ord 877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
31	27, 30	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
32	15	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
33	31, 32	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
34		simprrr 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
35	33, 34	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
36	35	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → ((𝑡 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
37	36	reximdv2 3175	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
38	37	impr 459	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
39	38	anasss 471	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
40	19, 25, 39	jca31 523	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
41		hpg.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
42		oppperpex.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
43	42	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ 𝑃)
44	43	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
45		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
46	2, 20, 3, 41, 44, 45	islnopp 29001	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
47	46	adantrr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
48	47	anasss 471	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
49	40, 48	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐶𝑂𝑝)
50	17, 49	jca 520	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))
51		oppperpex.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
52	51	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → 𝐺DimTarskiG≥2)
53	2, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 43, 14, 52	colperpex 28995	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
54	50, 53	reximddv 3181	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))
55	2, 3, 4, 5, 7, 9	tglnpt2 28907	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐷 𝐴 ≠ 𝑥)
56	54, 55	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷 ∧ 𝐶𝑂𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5110  {copab 5174  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  2c2 12296  Basecbs 17270  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28677  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28681  Itvcitv 28683  LineGclng 28684  hlGchlg 28850  ⟂Gcperpg 28956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28698  df-trkgb 28699  df-trkgcb 28700  df-trkgld 28702  df-trkg 28703  df-cgrg 28761  df-leg 28833  df-mir 28911  df-rag 28955  df-perpg 28957

This theorem is referenced by:  lnperpex  29094