Theorem tglineintmo 27293

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglineintmo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem tglineintmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineintmo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		elssuni 4886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐿 → 𝐴 ⊆ ∪ ran 𝐿)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ran 𝐿)
9	1, 3, 2	tglnunirn 27199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → ∪ ran 𝐿 ⊆ 𝑃)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐿 ⊆ 𝑃)
11	8, 10	sstrd 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑃)
12	11	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝑃)
13		simplrl 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	12, 14	sseldd 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
17	16	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18	12, 17	sseldd 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
20	6	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
21	1, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 20, 14, 17	tglinethru 27287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
22		tglineintmo.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
23	22	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
24	13	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25	16	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	1, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 23, 24, 25	tglinethru 27287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
27	21, 26	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
28		tglineintmo.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
29	28	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	29	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
31	27, 30	pm2.65da 814	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → ¬ 𝑥 ≠ 𝑦)
32		nne 2944	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
33	31, 32	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → 𝑥 = 𝑦)
34	33	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
35	34	alrimivv 1930	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
36		eleq1w 2819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
37		eleq1w 2819	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
38	36, 37	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
39	38	mo4 2564	. 2 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
40	35, 39	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃*wmo 2536   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4853  ran crn 5622  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  Basecbs 17010  TarskiGcstrkg 27078  Itvcitv 27084  LineGclng 27085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-oadd 8372  df-er 8570  df-pm 8690  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-dju 9759  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-xnn0 12408  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-hash 14147  df-word 14319  df-concat 14375  df-s1 14401  df-s2 14661  df-s3 14662  df-trkgc 27099  df-trkgb 27100  df-trkgcb 27101  df-trkg 27104  df-cgrg 27162

This theorem is referenced by:  tglineineq  27294  tglineinteq  27296