Theorem tglineintmo 28663

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglineintmo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem tglineintmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineintmo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		elssuni 4892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐿 → 𝐴 ⊆ ∪ ran 𝐿)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ran 𝐿)
9	1, 3, 2	tglnunirn 28569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → ∪ ran 𝐿 ⊆ 𝑃)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐿 ⊆ 𝑃)
11	8, 10	sstrd 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑃)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝑃)
13		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	12, 14	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
17	16	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18	12, 17	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
20	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
21	1, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 20, 14, 17	tglinethru 28657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
22		tglineintmo.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
24	13	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25	16	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	1, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 23, 24, 25	tglinethru 28657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
27	21, 26	eqtr4d 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
28		tglineintmo.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	29	neneqd 2935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
31	27, 30	pm2.65da 816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → ¬ 𝑥 ≠ 𝑦)
32		nne 2934	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
33	31, 32	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → 𝑥 = 𝑦)
34	33	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
35	34	alrimivv 1929	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
36		eleq1w 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
37		eleq1w 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
38	36, 37	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
39	38	mo4 2564	. 2 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
40	35, 39	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2535   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4861  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  TarskiGcstrkg 28448  Itvcitv 28454  LineGclng 28455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-s1 14518  df-s2 14769  df-s3 14770  df-trkgc 28469  df-trkgb 28470  df-trkgcb 28471  df-trkg 28474  df-cgrg 28532

This theorem is referenced by:  tglineineq  28664  tglineinteq  28666