MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpdrag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perpdrag 26501
Description: Deduce a right angle from perpendicular lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
perpdrag.1 (𝜑𝐴𝐷)
perpdrag.2 (𝜑𝐵𝐷)
perpdrag.3 (𝜑𝐶𝑃)
perpdrag.4 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
Assertion
Ref Expression
perpdrag (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem perpdrag
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 colperpex.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 colperpex.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 colperpex.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 colperpex.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 colperpex.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 724 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 perpdrag.4 . . . . . 6 (𝜑𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
87ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
94, 6, 8perpln1 26483 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 perpdrag.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐷)
1110ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝐷)
121, 4, 3, 6, 9, 11tglnpt 26322 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑃)
13 simplr 767 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥𝐷)
141, 4, 3, 6, 9, 13tglnpt 26322 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥𝑃)
15 perpdrag.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
1615ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐵𝐷)
17 simpr 487 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
181, 3, 4, 6, 12, 14, 17, 17, 9, 11, 13tglinethru 26409 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
1916, 18eleqtrd 2913 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
20 perpdrag.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
2120ad2antrr 724 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐶𝑃)
2218, 8eqbrtrrd 5066 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐶))
231, 2, 3, 4, 6, 12, 14, 19, 21, 22perprag 26499 . 2 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
244, 5, 7perpln1 26483 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
251, 3, 4, 5, 24, 10tglnpt2 26414 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 𝐴𝑥)
2623, 25r19.29a 3276 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5042  cfv 6331  (class class class)co 7133  ⟨“cs3 14184  Basecbs 16462  distcds 16553  TarskiGcstrkg 26203  Itvcitv 26209  LineGclng 26210  ∟Gcrag 26466  ⟂Gcperpg 26468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-hash 13676  df-word 13847  df-concat 13903  df-s1 13930  df-s2 14190  df-s3 14191  df-trkgc 26221  df-trkgb 26222  df-trkgcb 26223  df-trkg 26226  df-cgrg 26284  df-mir 26426  df-rag 26467  df-perpg 26469
This theorem is referenced by:  lmiisolem  26569
  Copyright terms: Public domain W3C validator