Theorem xrtgioo 24712

Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrtgioo.1	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xrtgioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letop 23110	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2		ioof 13369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		iooordt 23121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
6	5	rgen2w 3049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7		ffnov 7479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
8	4, 6, 7	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9		frn 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11		tgss 22872	. . . . . . . 8 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
12	1, 10, 11	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13		tgtop 22877	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
15	12, 14	sseqtri 3986	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
16	15	sseli 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17		retopon 24668	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18		toponss 22831	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20		reordt 23122	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21		restopn2 23081	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
22	1, 20, 21	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
23	16, 19, 22	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
24	23	ssriv 3941	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) = ran (,)
28	25, 26, 27	leordtval 23117	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
29	28	oveq1i 7363	. . . . 5 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
30	28, 1	eqeltrri 2825	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31		tgclb 22874	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
32	30, 31	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33		reex 11119	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
34		tgrest 23063	. . . . . 6 ⊢ ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
36	29, 35	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37		retopbas 24665	. . . . 5 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
38		elrest 17350	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
39	32, 33, 38	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40		elun 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41		elun 4106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43	42	elrnmpt 5904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
44	43	elv 3443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
45		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		pnfxr 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
48		rexr 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50		df-ioc 13272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑏)})
51	50	elixx3g 13280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
52	51	baib 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
53	45, 47, 49, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
54		pnfge 13051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
55	49, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
56	55	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
57		ltpnf 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
59	58	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
60	53, 56, 59	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
61	60	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))))
62		elin 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
63	62	biancomi 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
64		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
65	61, 63, 64	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
66		elioo2 13308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
67	46, 66	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
68	65, 67	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
69	68	eqrdv 2727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
70		ioorebas 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
71	69, 70	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
72		ineq1 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
73	72	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
74	71, 73	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
75	74	rexlimiv 3123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
76	44, 75	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
77		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
78	77	elrnmpt 5904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
79	78	elv 3443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
80		mnfxr 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
82		df-ico 13273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 < 𝑏)})
83	82	elixx3g 13280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
84	83	baib 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
85	81, 45, 49, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
86		mnfle 13056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
87	49, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
88	87	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
89		mnflt 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
91	90	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
92	85, 88, 91	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
93	92	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))))
94		elin 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
95	94	biancomi 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
96		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
97	93, 95, 96	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
98		elioo2 13308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
99	80, 98	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
100	97, 99	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
101	100	eqrdv 2727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
102		ioorebas 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
103	101, 102	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
104		ineq1 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
105	104	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
106	103, 105	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
107	106	rexlimiv 3123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
108	79, 107	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
109	76, 108	jaoi 857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
110	41, 109	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
111		elssuni 4891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ∪ ran (,))
112		unirnioo 13371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
113	111, 112	sseqtrrdi 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
114		dfss2 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
115	113, 114	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
116		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
117	115, 116	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
118	110, 117	jaoi 857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
119	40, 118	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
120		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
121	119, 120	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
122	121	rexlimiv 3123	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
123	39, 122	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
124	123	ssriv 3941	. . . . 5 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
125		tgss 22872	. . . . 5 ⊢ ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
126	37, 124, 125	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
127	36, 126	eqsstri 3984	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
128	24, 127	eqssi 3954	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
129		xrtgioo.1	. 2 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
130	128, 129	eqtr4i 2755	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ran crn 5624   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13267  (,]cioc 13268  [,)cico 13269   ↾_t crest 17343  topGenctg 17360  ordTopcordt 17422  Topctop 22797  TopOnctopon 22814  TopBasesctb 22849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-q 12869  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-rest 17345  df-topgen 17366  df-ordt 17424  df-ps 18491  df-tsr 18492  df-top 22798  df-topon 22815  df-bases 22850

This theorem is referenced by:  xrrest  24713  xrsmopn  24718  xrge0tsms  24740  metdcn2  24745  xrge0tsmsd  33034  xrtgcntopre  45477  xrtgioo2  45571