MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrtgioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrtgioo 22980
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
Assertion
Ref Expression
xrtgioo (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 21382 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2 ioof 12561 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6279 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 iooordt 21393 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
65rgen2w 3135 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7 ffnov 7025 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
84, 6, 7mpbir2an 704 . . . . . . . . 9 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9 frn 6285 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11 tgss 21144 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
121, 10, 11mp2an 685 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13 tgtop 21149 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
1512, 14sseqtri 3863 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
1615sseli 3824 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17 retopon 22938 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18 toponss 21103 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
1917, 18mpan 683 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20 reordt 21394 . . . . . 6 ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21 restopn2 21353 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
221, 20, 21mp2an 685 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
2316, 19, 22sylanbrc 580 . . . 4 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
2423ssriv 3832 . . 3 (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25 eqid 2826 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26 eqid 2826 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27 eqid 2826 . . . . . . 7 ran (,) = ran (,)
2825, 26, 27leordtval 21389 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
2928oveq1i 6916 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3028, 1eqeltrri 2904 . . . . . . 7 (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31 tgclb 21146 . . . . . . 7 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
3230, 31mpbir 223 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33 reex 10344 . . . . . 6 ℝ ∈ V
34 tgrest 21335 . . . . . 6 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
3532, 33, 34mp2an 685 . . . . 5 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3629, 35eqtr4i 2853 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37 retopbas 22935 . . . . 5 ran (,) ∈ TopBases
38 elrest 16442 . . . . . . . 8 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
3932, 33, 38mp2an 685 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40 elun 3981 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41 elun 3981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42 vex 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑣 ∈ V
43 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
4443elrnmpt 5606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
46 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 pnfxr 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 +∞ ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
49 rexr 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5049adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51 df-ioc 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐𝑐𝑏)})
5251elixx3g 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5352baib 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5446, 48, 50, 53syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
55 pnfge 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
5756biantrud 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
58 ltpnf 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
5958adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
6059biantrud 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6154, 57, 603bitr2d 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6261pm5.32da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞))))
63 elin 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
64 ancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
6563, 64bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
66 3anass 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6762, 65, 663bitr4g 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
68 elioo2 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6947, 68mpan2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
7067, 69bitr4d 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
7170eqrdv 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
72 ioorebas 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
7371, 72syl6eqel 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
74 ineq1 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
7574eleq1d 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7673, 75syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7776rexlimiv 3237 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
7845, 77sylbi 209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
79 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
8079elrnmpt 5606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
8142, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
82 mnfxr 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
84 df-ico 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
8584elixx3g 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8685baib 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8783, 46, 50, 86syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
88 mnfle 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
8950, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
9089biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
91 mnflt 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
9291adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
9392biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9487, 90, 933bitr2d 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9594pm5.32da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥))))
96 elin 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
97 ancom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
9896, 97bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
99 3anass 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
10095, 98, 993bitr4g 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
101 elioo2 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
10282, 101mpan 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
103100, 102bitr4d 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
104103eqrdv 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
105 ioorebas 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
106104, 105syl6eqel 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
107 ineq1 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
108107eleq1d 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
109106, 108syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
110109rexlimiv 3237 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11181, 110sylbi 209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11278, 111jaoi 890 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11341, 112sylbi 209 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
114 elssuni 4690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ran (,))
115 unirnioo 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = ran (,)
116114, 115syl6sseqr 3878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
117 df-ss 3813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
118116, 117sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
119 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
120118, 119eqeltrd 2907 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
121113, 120jaoi 890 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
12240, 121sylbi 209 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
123 eleq1 2895 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
124122, 123syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
125124rexlimiv 3237 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
12639, 125sylbi 209 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
127126ssriv 3832 . . . . 5 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
128 tgss 21144 . . . . 5 ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
12937, 127, 128mp2an 685 . . . 4 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
13036, 129eqsstri 3861 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
13124, 130eqssi 3844 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
132 xrtgioo.1 . 2 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
133131, 132eqtr4i 2853 1 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386  wo 880  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  wrex 3119  Vcvv 3415  cun 3797  cin 3798  wss 3799  𝒫 cpw 4379   cuni 4659   class class class wbr 4874  cmpt 4953   × cxp 5341  ran crn 5344   Fn wfn 6119  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  cr 10252  +∞cpnf 10389  -∞cmnf 10390  *cxr 10391   < clt 10392  cle 10393  (,)cioo 12464  (,]cioc 12465  [,)cico 12466  t crest 16435  topGenctg 16452  ordTopcordt 16513  Topctop 21069  TopOnctopon 21086  TopBasesctb 21121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-rest 16437  df-topgen 16458  df-ordt 16515  df-ps 17554  df-tsr 17555  df-top 21070  df-topon 21087  df-bases 21122
This theorem is referenced by:  xrrest  22981  xrsmopn  22986  xrge0tsms  23008  metdcn2  23013  xrge0tsmsd  30331  xrtgcntopre  40504  xrtgioo2  40595
  Copyright terms: Public domain W3C validator