MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrtgioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrtgioo 24169
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
Assertion
Ref Expression
xrtgioo (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 22557 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2 ioof 13364 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6668 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 iooordt 22568 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
65rgen2w 3069 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7 ffnov 7483 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
84, 6, 7mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9 frn 6675 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11 tgss 22318 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
121, 10, 11mp2an 690 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13 tgtop 22323 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
1512, 14sseqtri 3980 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
1615sseli 3940 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17 retopon 24127 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18 toponss 22276 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
1917, 18mpan 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20 reordt 22569 . . . . . 6 ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21 restopn2 22528 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
221, 20, 21mp2an 690 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
2316, 19, 22sylanbrc 583 . . . 4 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
2423ssriv 3948 . . 3 (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25 eqid 2736 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26 eqid 2736 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27 eqid 2736 . . . . . . 7 ran (,) = ran (,)
2825, 26, 27leordtval 22564 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
2928oveq1i 7367 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3028, 1eqeltrri 2835 . . . . . . 7 (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31 tgclb 22320 . . . . . . 7 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
3230, 31mpbir 230 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33 reex 11142 . . . . . 6 ℝ ∈ V
34 tgrest 22510 . . . . . 6 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
3532, 33, 34mp2an 690 . . . . 5 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3629, 35eqtr4i 2767 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37 retopbas 24124 . . . . 5 ran (,) ∈ TopBases
38 elrest 17309 . . . . . . . 8 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
3932, 33, 38mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40 elun 4108 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41 elun 4108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
4342elrnmpt 5911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
4443elv 3451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
45 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 +∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
48 rexr 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 df-ioc 13269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐𝑐𝑏)})
5150elixx3g 13277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5251baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5345, 47, 49, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
54 pnfge 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5549, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
5655biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
57 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
5958biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6053, 56, 593bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6160pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞))))
62 elin 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
6362biancomi 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
64 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6561, 63, 643bitr4g 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
66 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6746, 66mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6865, 67bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
6968eqrdv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
70 ioorebas 13368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
7169, 70eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
72 ineq1 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
7372eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7471, 73syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7574rexlimiv 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
7644, 75sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
7877elrnmpt 5911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
7978elv 3451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
80 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
82 df-ico 13270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
8382elixx3g 13277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8483baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8581, 45, 49, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
86 mnfle 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
8749, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
8887biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
89 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
9190biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9285, 88, 913bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9392pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥))))
94 elin 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
9594biancomi 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
96 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9793, 95, 963bitr4g 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
98 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9980, 98mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
10097, 99bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
101100eqrdv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
102 ioorebas 13368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
103101, 102eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
104 ineq1 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
105104eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
106103, 105syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
107106rexlimiv 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
10879, 107sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
10976, 108jaoi 855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11041, 109sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
111 elssuni 4898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ran (,))
112 unirnioo 13366 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = ran (,)
113111, 112sseqtrrdi 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
114 df-ss 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
115113, 114sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
116 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
117115, 116eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
118110, 117jaoi 855 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11940, 118sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
120 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
121119, 120syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
122121rexlimiv 3145 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
12339, 122sylbi 216 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
124123ssriv 3948 . . . . 5 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
125 tgss 22318 . . . . 5 ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
12637, 124, 125mp2an 690 . . . 4 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
12736, 126eqsstri 3978 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
12824, 127eqssi 3960 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
129 xrtgioo.1 . 2 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
130128, 129eqtr4i 2767 1 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cun 3908  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  [,)cico 13266  t crest 17302  topGenctg 17319  ordTopcordt 17381  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  TopBasesctb 22295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296
This theorem is referenced by:  xrrest  24170  xrsmopn  24175  xrge0tsms  24197  metdcn2  24202  xrge0tsmsd  31899  xrtgcntopre  43704  xrtgioo2  43800
  Copyright terms: Public domain W3C validator