MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrtgioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrtgioo 23332
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to . (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
Assertion
Ref Expression
xrtgioo (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 21733 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2 ioof 12825 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6511 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 iooordt 21744 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
65rgen2w 3156 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7 ffnov 7268 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
84, 6, 7mpbir2an 707 . . . . . . . . 9 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9 frn 6517 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11 tgss 21495 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
121, 10, 11mp2an 688 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13 tgtop 21500 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
1512, 14sseqtri 4007 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
1615sseli 3967 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17 retopon 23290 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18 toponss 21454 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
1917, 18mpan 686 . . . . 5 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20 reordt 21745 . . . . . 6 ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21 restopn2 21704 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
221, 20, 21mp2an 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
2316, 19, 22sylanbrc 583 . . . 4 (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
2423ssriv 3975 . . 3 (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25 eqid 2826 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26 eqid 2826 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27 eqid 2826 . . . . . . 7 ran (,) = ran (,)
2825, 26, 27leordtval 21740 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
2928oveq1i 7158 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3028, 1eqeltrri 2915 . . . . . . 7 (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31 tgclb 21497 . . . . . . 7 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
3230, 31mpbir 232 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33 reex 10617 . . . . . 6 ℝ ∈ V
34 tgrest 21686 . . . . . 6 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
3532, 33, 34mp2an 688 . . . . 5 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
3629, 35eqtr4i 2852 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37 retopbas 23287 . . . . 5 ran (,) ∈ TopBases
38 elrest 16691 . . . . . . . 8 ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
3932, 33, 38mp2an 688 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40 elun 4129 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41 elun 4129 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
4342elrnmpt 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
4443elv 3505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
45 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46 pnfxr 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 +∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
48 rexr 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 df-ioc 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐𝑐𝑏)})
5150elixx3g 12741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5251baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
5345, 47, 49, 52syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
54 pnfge 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5549, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
5655biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 ≤ +∞)))
57 ltpnf 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
5958biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6053, 56, 593bitr2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6160pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞))))
62 elin 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
6362biancomi 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
64 3anass 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6561, 63, 643bitr4g 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
66 elioo2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6746, 66mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦𝑦 < +∞)))
6865, 67bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
6968eqrdv 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
70 ioorebas 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
7169, 70syl6eqel 2926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
72 ineq1 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
7372eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7471, 73syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7574rexlimiv 3285 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
7644, 75sylbi 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
77 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
7877elrnmpt 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
7978elv 3505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
80 mnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
82 df-ico 12734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑐𝑐 < 𝑏)})
8382elixx3g 12741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8483baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
8581, 45, 49, 84syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
86 mnfle 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
8749, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
8887biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
89 mnflt 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
9190biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9285, 88, 913bitr2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9392pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥))))
94 elin 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
9594biancomi 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
96 3anass 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9793, 95, 963bitr4g 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
98 elioo2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9980, 98mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
10097, 99bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
101100eqrdv 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
102 ioorebas 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
103101, 102syl6eqel 2926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
104 ineq1 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
105104eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
106103, 105syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
107106rexlimiv 3285 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
10879, 107sylbi 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
10976, 108jaoi 853 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11041, 109sylbi 218 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
111 elssuni 4866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ran (,))
112 unirnioo 12827 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = ran (,)
113111, 112sseqtrrdi 4022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
114 df-ss 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
115113, 114sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
116 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
117115, 116eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
118110, 117jaoi 853 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11940, 118sylbi 218 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
120 eleq1 2905 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
121119, 120syl5ibrcom 248 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
122121rexlimiv 3285 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
12339, 122sylbi 218 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
124123ssriv 3975 . . . . 5 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
125 tgss 21495 . . . . 5 ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
12637, 124, 125mp2an 688 . . . 4 (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
12736, 126eqsstri 4005 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
12824, 127eqssi 3987 . 2 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
129 xrtgioo.1 . 2 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
130128, 129eqtr4i 2852 1 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  cun 3938  cin 3939  wss 3940  𝒫 cpw 4542   cuni 4837   class class class wbr 5063  cmpt 5143   × cxp 5552  ran crn 5555   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  (,)cioo 12728  (,]cioc 12729  [,)cico 12730  t crest 16684  topGenctg 16701  ordTopcordt 16762  Topctop 21420  TopOnctopon 21437  TopBasesctb 21472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-rest 16686  df-topgen 16707  df-ordt 16764  df-ps 17800  df-tsr 17801  df-top 21421  df-topon 21438  df-bases 21473
This theorem is referenced by:  xrrest  23333  xrsmopn  23338  xrge0tsms  23360  metdcn2  23365  xrge0tsmsd  30609  xrtgcntopre  41623  xrtgioo2  41716
  Copyright terms: Public domain W3C validator