Theorem xrtgioo 23703

Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrtgioo.1	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xrtgioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letop 22103	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2		ioof 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		iooordt 22114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
6	5	rgen2w 3074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7		ffnov 7337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
8	4, 6, 7	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9		frn 6552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11		tgss 21865	. . . . . . . 8 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
12	1, 10, 11	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13		tgtop 21870	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
15	12, 14	sseqtri 3937	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
16	15	sseli 3896	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17		retopon 23661	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18		toponss 21824	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20		reordt 22115	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21		restopn2 22074	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
22	1, 20, 21	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
23	16, 19, 22	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
24	23	ssriv 3905	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) = ran (,)
28	25, 26, 27	leordtval 22110	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
29	28	oveq1i 7223	. . . . 5 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
30	28, 1	eqeltrri 2835	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31		tgclb 21867	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
32	30, 31	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33		reex 10820	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
34		tgrest 22056	. . . . . 6 ⊢ ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
36	29, 35	eqtr4i 2768	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37		retopbas 23658	. . . . 5 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
38		elrest 16932	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
39	32, 33, 38	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40		elun 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41		elun 4063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43	42	elrnmpt 5825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
44	43	elv 3414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
45		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		pnfxr 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
48		rexr 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
49	48	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50		df-ioc 12940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑏)})
51	50	elixx3g 12948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
52	51	baib 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
53	45, 47, 49, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
54		pnfge 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
55	49, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
56	55	biantrud 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
57		ltpnf 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
58	57	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
59	58	biantrud 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
60	53, 56, 59	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
61	60	pm5.32da 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))))
62		elin 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
63	62	biancomi 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
64		3anass 1097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
65	61, 63, 64	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
66		elioo2 12976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
67	46, 66	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
68	65, 67	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
69	68	eqrdv 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
70		ioorebas 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
71	69, 70	eqeltrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
72		ineq1 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
73	72	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
74	71, 73	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
75	74	rexlimiv 3199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
76	44, 75	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
77		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
78	77	elrnmpt 5825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
79	78	elv 3414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
80		mnfxr 10890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
82		df-ico 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 < 𝑏)})
83	82	elixx3g 12948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
84	83	baib 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
85	81, 45, 49, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
86		mnfle 12726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
87	49, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
88	87	biantrurd 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
89		mnflt 12715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
90	89	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
91	90	biantrurd 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
92	85, 88, 91	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
93	92	pm5.32da 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))))
94		elin 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
95	94	biancomi 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
96		3anass 1097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
97	93, 95, 96	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
98		elioo2 12976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
99	80, 98	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
100	97, 99	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
101	100	eqrdv 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
102		ioorebas 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
103	101, 102	eqeltrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
104		ineq1 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
105	104	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
106	103, 105	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
107	106	rexlimiv 3199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
108	79, 107	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
109	76, 108	jaoi 857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
110	41, 109	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
111		elssuni 4851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ∪ ran (,))
112		unirnioo 13037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
113	111, 112	sseqtrrdi 3952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
114		df-ss 3883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
115	113, 114	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
116		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
117	115, 116	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
118	110, 117	jaoi 857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
119	40, 118	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
120		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
121	119, 120	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
122	121	rexlimiv 3199	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
123	39, 122	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
124	123	ssriv 3905	. . . . 5 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
125		tgss 21865	. . . . 5 ⊢ ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
126	37, 124, 125	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
127	36, 126	eqsstri 3935	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
128	24, 127	eqssi 3917	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
129		xrtgioo.1	. 2 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
130	128, 129	eqtr4i 2768	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3408   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549  ran crn 5552   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  +∞cpnf 10864  -∞cmnf 10865  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  (,)cioo 12935  (,]cioc 12936  [,)cico 12937   ↾_t crest 16925  topGenctg 16942  ordTopcordt 17004  Topctop 21790  TopOnctopon 21807  TopBasesctb 21842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-rest 16927  df-topgen 16948  df-ordt 17006  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843

This theorem is referenced by:  xrrest  23704  xrsmopn  23709  xrge0tsms  23731  metdcn2  23736  xrge0tsmsd  31036  xrtgcntopre  42694  xrtgioo2  42785