MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrtgioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrtgioo 24329
Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrtgioo.1 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
Assertion
Ref Expression
xrtgioo (topGenβ€˜ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letop 22717 . . . . . . . 8 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
2 ioof 13426 . . . . . . . . . . 11 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
3 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
5 iooordt 22728 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯(,)𝑦) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
65rgen2w 3066 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
7 ffnov 7537 . . . . . . . . . 10 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(ordTopβ€˜ ≀ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )))
84, 6, 7mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(ordTopβ€˜ ≀ )
9 frn 6724 . . . . . . . . 9 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(ordTopβ€˜ ≀ ) β†’ ran (,) βŠ† (ordTopβ€˜ ≀ ))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) βŠ† (ordTopβ€˜ ≀ )
11 tgss 22478 . . . . . . . 8 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ ran (,) βŠ† (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜(ordTopβ€˜ ≀ )))
121, 10, 11mp2an 690 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
13 tgtop 22483 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top β†’ (topGenβ€˜(ordTopβ€˜ ≀ )) = (ordTopβ€˜ ≀ ))
141, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 (topGenβ€˜(ordTopβ€˜ ≀ )) = (ordTopβ€˜ ≀ )
1512, 14sseqtri 4018 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (ordTopβ€˜ ≀ )
1615sseli 3978 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ π‘₯ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
17 retopon 24287 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
18 toponss 22436 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
1917, 18mpan 688 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ π‘₯ βŠ† ℝ)
20 reordt 22729 . . . . . 6 ℝ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
21 restopn2 22688 . . . . . 6 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (π‘₯ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ π‘₯ βŠ† ℝ)))
221, 20, 21mp2an 690 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ π‘₯ βŠ† ℝ))
2316, 19, 22sylanbrc 583 . . . 4 (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ π‘₯ ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ))
2423ssriv 3986 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
25 eqid 2732 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
26 eqid 2732 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
27 eqid 2732 . . . . . . 7 ran (,) = ran (,)
2825, 26, 27leordtval 22724 . . . . . 6 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)))
2928oveq1i 7421 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ) = ((topGenβ€˜((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,))) β†Ύt ℝ)
3028, 1eqeltrri 2830 . . . . . . 7 (topGenβ€˜((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,))) ∈ Top
31 tgclb 22480 . . . . . . 7 (((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,))) ∈ Top)
3230, 31mpbir 230 . . . . . 6 ((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) ∈ TopBases
33 reex 11203 . . . . . 6 ℝ ∈ V
34 tgrest 22670 . . . . . 6 ((((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) β†’ (topGenβ€˜(((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ)) = ((topGenβ€˜((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,))) β†Ύt ℝ))
3532, 33, 34mp2an 690 . . . . 5 (topGenβ€˜(((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ)) = ((topGenβ€˜((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,))) β†Ύt ℝ)
3629, 35eqtr4i 2763 . . . 4 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ) = (topGenβ€˜(((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ))
37 retopbas 24284 . . . . 5 ran (,) ∈ TopBases
38 elrest 17375 . . . . . . . 8 ((((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) β†’ (𝑒 ∈ (((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,))𝑒 = (𝑣 ∩ ℝ)))
3932, 33, 38mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ ((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,))𝑒 = (𝑣 ∩ ℝ))
40 elun 4148 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41 elun 4148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) ↔ (𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))))
42 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) = (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
4342elrnmpt 5955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V β†’ (𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* 𝑣 = (π‘₯(,]+∞)))
4443elv 3480 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* 𝑣 = (π‘₯(,]+∞))
45 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
46 pnfxr 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 +∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
48 rexr 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
50 df-ioc 13331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (,] = (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑐 ∧ 𝑐 ≀ 𝑏)})
5150elixx3g 13339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ +∞)))
5251baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ +∞)))
5345, 47, 49, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ +∞)))
54 pnfge 13112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ +∞)
5549, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ≀ +∞)
5655biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ +∞)))
57 ltpnf 13102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 < +∞)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 < +∞)
5958biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
6053, 56, 593bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
6160pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))))
62 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
6362biancomi 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (π‘₯(,]+∞)))
64 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
6561, 63, 643bitr4g 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝑦 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
66 elioo2 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
6746, 66mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
6865, 67bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝑦 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (π‘₯(,)+∞)))
6968eqrdv 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((π‘₯(,]+∞) ∩ ℝ) = (π‘₯(,)+∞))
70 ioorebas 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯(,)+∞) ∈ ran (,)
7169, 70eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((π‘₯(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
72 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (π‘₯(,]+∞) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) = ((π‘₯(,]+∞) ∩ ℝ))
7372eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (π‘₯(,]+∞) β†’ ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((π‘₯(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7471, 73syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝑣 = (π‘₯(,]+∞) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
7574rexlimiv 3148 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* 𝑣 = (π‘₯(,]+∞) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
7644, 75sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
77 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
7877elrnmpt 5955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ V β†’ (𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)π‘₯)))
7978elv 3480 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)π‘₯))
80 mnfxr 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 -∞ ∈ ℝ*
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
82 df-ico 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 [,) = (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž ≀ 𝑐 ∧ 𝑐 < 𝑏)})
8382elixx3g 13339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (-∞[,)π‘₯) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
8483baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (-∞[,)π‘₯) ↔ (-∞ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
8581, 45, 49, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (-∞[,)π‘₯) ↔ (-∞ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
86 mnfle 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ 𝑦)
8749, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ -∞ ≀ 𝑦)
8887biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 < π‘₯ ↔ (-∞ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
89 mnflt 13105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -∞ < 𝑦)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ -∞ < 𝑦)
9190biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 < π‘₯ ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
9285, 88, 913bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (-∞[,)π‘₯) ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
9392pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)π‘₯)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯))))
94 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-∞[,)π‘₯) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
9594biancomi 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-∞[,)π‘₯) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)π‘₯)))
96 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
9793, 95, 963bitr4g 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝑦 ∈ ((-∞[,)π‘₯) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
98 elioo2 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
9980, 98mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝑦 ∈ (-∞(,)π‘₯) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < π‘₯)))
10097, 99bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝑦 ∈ ((-∞[,)π‘₯) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)π‘₯)))
101100eqrdv 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((-∞[,)π‘₯) ∩ ℝ) = (-∞(,)π‘₯))
102 ioorebas 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-∞(,)π‘₯) ∈ ran (,)
103101, 102eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((-∞[,)π‘₯) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
104 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (-∞[,)π‘₯) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)π‘₯) ∩ ℝ))
105104eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (-∞[,)π‘₯) β†’ ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)π‘₯) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
106103, 105syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝑣 = (-∞[,)π‘₯) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
107106rexlimiv 3148 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)π‘₯) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
10879, 107sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
10976, 108jaoi 855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11041, 109sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
111 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ ran (,))
112 unirnioo 13428 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = βˆͺ ran (,)
113111, 112sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 βŠ† ℝ)
114 df-ss 3965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 βŠ† ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
115113, 114sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
116 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ 𝑣 ∈ ran (,))
117115, 116eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ ran (,) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
118110, 117jaoi 855 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
11940, 118sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†’ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
120 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑣 ∩ ℝ) β†’ (𝑒 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
121119, 120syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†’ (𝑒 = (𝑣 ∩ ℝ) β†’ 𝑒 ∈ ran (,)))
122121rexlimiv 3148 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ ((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,))𝑒 = (𝑣 ∩ ℝ) β†’ 𝑒 ∈ ran (,))
12339, 122sylbi 216 . . . . . 6 (𝑒 ∈ (((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ) β†’ 𝑒 ∈ ran (,))
124123ssriv 3986 . . . . 5 (((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ) βŠ† ran (,)
125 tgss 22478 . . . . 5 ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ) βŠ† ran (,)) β†’ (topGenβ€˜(((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ)) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
12637, 124, 125mp2an 690 . . . 4 (topGenβ€˜(((ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))) βˆͺ ran (,)) β†Ύt ℝ)) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
12736, 126eqsstri 4016 . . 3 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
12824, 127eqssi 3998 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
129 xrtgioo.1 . 2 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt ℝ)
130128, 129eqtr4i 2763 1 (topGenβ€˜ran (,)) = 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  (,)cioo 13326  (,]cioc 13327  [,)cico 13328   β†Ύt crest 17368  topGenctg 17385  ordTopcordt 17447  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  TopBasesctb 22455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-ordt 17449  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456
This theorem is referenced by:  xrrest  24330  xrsmopn  24335  xrge0tsms  24357  metdcn2  24362  xrge0tsmsd  32250  xrtgcntopre  44268  xrtgioo2  44364
  Copyright terms: Public domain W3C validator