Theorem xrtgioo 24847

Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrtgioo.1	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xrtgioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letop 23235	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2		ioof 13507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		iooordt 23246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
6	5	rgen2w 3072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7		ffnov 7576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
8	4, 6, 7	mpbir2an 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9		frn 6754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11		tgss 22996	. . . . . . . 8 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
12	1, 10, 11	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13		tgtop 23001	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
15	12, 14	sseqtri 4045	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
16	15	sseli 4004	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17		retopon 24805	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18		toponss 22954	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20		reordt 23247	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21		restopn2 23206	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
22	1, 20, 21	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
23	16, 19, 22	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
24	23	ssriv 4012	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) = ran (,)
28	25, 26, 27	leordtval 23242	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
29	28	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
30	28, 1	eqeltrri 2841	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31		tgclb 22998	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
32	30, 31	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33		reex 11275	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
34		tgrest 23188	. . . . . 6 ⊢ ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
35	32, 33, 34	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
36	29, 35	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37		retopbas 24802	. . . . 5 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
38		elrest 17487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
39	32, 33, 38	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40		elun 4176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41		elun 4176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43	42	elrnmpt 5981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
44	43	elv 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
45		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		pnfxr 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
48		rexr 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50		df-ioc 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑏)})
51	50	elixx3g 13420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
52	51	baib 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
53	45, 47, 49, 52	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
54		pnfge 13193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
55	49, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
56	55	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
57		ltpnf 13183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
59	58	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
60	53, 56, 59	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
61	60	pm5.32da 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))))
62		elin 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
63	62	biancomi 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
64		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
65	61, 63, 64	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
66		elioo2 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
67	46, 66	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
68	65, 67	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
69	68	eqrdv 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
70		ioorebas 13511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
71	69, 70	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
72		ineq1 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
73	72	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
74	71, 73	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
75	74	rexlimiv 3154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
76	44, 75	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
77		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
78	77	elrnmpt 5981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
79	78	elv 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
80		mnfxr 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
82		df-ico 13413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 < 𝑏)})
83	82	elixx3g 13420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
84	83	baib 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
85	81, 45, 49, 84	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
86		mnfle 13197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
87	49, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
88	87	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
89		mnflt 13186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
91	90	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
92	85, 88, 91	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
93	92	pm5.32da 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))))
94		elin 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
95	94	biancomi 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
96		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
97	93, 95, 96	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
98		elioo2 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
99	80, 98	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
100	97, 99	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
101	100	eqrdv 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
102		ioorebas 13511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
103	101, 102	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
104		ineq1 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
105	104	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
106	103, 105	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
107	106	rexlimiv 3154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
108	79, 107	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
109	76, 108	jaoi 856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
110	41, 109	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
111		elssuni 4961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ∪ ran (,))
112		unirnioo 13509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
113	111, 112	sseqtrrdi 4060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
114		dfss2 3994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
115	113, 114	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
116		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
117	115, 116	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
118	110, 117	jaoi 856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
119	40, 118	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
120		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
121	119, 120	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
122	121	rexlimiv 3154	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
123	39, 122	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
124	123	ssriv 4012	. . . . 5 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
125		tgss 22996	. . . . 5 ⊢ ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
126	37, 124, 125	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
127	36, 126	eqsstri 4043	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
128	24, 127	eqssi 4025	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
129		xrtgioo.1	. 2 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
130	128, 129	eqtr4i 2771	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,)cioo 13407  (,]cioc 13408  [,)cico 13409   ↾_t crest 17480  topGenctg 17497  ordTopcordt 17559  Topctop 22920  TopOnctopon 22937  TopBasesctb 22973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-ordt 17561  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  xrrest  24848  xrsmopn  24853  xrge0tsms  24875  metdcn2  24880  xrge0tsmsd  33041  xrtgcntopre  45394  xrtgioo2  45490