Theorem xrtgioo 24995

Description: The topology on the extended reals coincides with the standard topology on the reals, when restricted to ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrtgioo.1	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xrtgioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

Proof of Theorem xrtgioo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letop 23393	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
2		ioof 13486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5		iooordt 23404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
6	5	rgen2w 3086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )
7		ffnov 7542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (ordTop‘ ≤ )))
8	4, 6, 7	mpbir2an 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ )
9		frn 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(ordTop‘ ≤ ) → ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ ))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
11		tgss 23155	. . . . . . . 8 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ran (,) ⊆ (ordTop‘ ≤ )) → (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )))
12	1, 10, 11	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘(ordTop‘ ≤ ))
13		tgtop 23160	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ ))
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘(ordTop‘ ≤ )) = (ordTop‘ ≤ )
15	12, 14	sseqtri 3986	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
16	15	sseli 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
17		retopon 24951	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18		toponss 23114	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → 𝑥 ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ⊆ ℝ)
20		reordt 23405	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )
21		restopn2 23364	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ)))
22	1, 20, 21	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑥 ⊆ ℝ))
23	16, 19, 22	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝑥 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
24	23	ssriv 3942	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
25		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
26		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
27		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) = ran (,)
28	25, 26, 27	leordtval 23400	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
29	28	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
30	28, 1	eqeltrri 2862	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
31		tgclb 23157	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
32	30, 31	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
33		reex 11202	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
34		tgrest 23346	. . . . . 6 ⊢ ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ))
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) = ((topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ↾t ℝ)
36	29, 35	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ))
37		retopbas 24948	. . . . 5 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
38		elrest 17498	. . . . . . . 8 ⊢ ((((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ∧ ℝ ∈ V) → (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ)))
39	32, 33, 38	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ↔ ∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ))
40		elun 4107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↔ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)))
41		elun 4107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ↔ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
42		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43	42	elrnmpt 5950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞)))
44	43	elv 3462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞))
45		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		pnfxr 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
48		rexr 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
49	48	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50		df-ioc 13389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (,] = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑏)})
51	50	elixx3g 13397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
52	51	baib 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
53	45, 47, 49, 52	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
54		pnfge 13167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
55	49, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ≤ +∞)
56	55	biantrud 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ +∞)))
57		ltpnf 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < +∞)
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 < +∞)
59	58	biantrud 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
60	53, 56, 59	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
61	60	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))))
62		elin 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
63	62	biancomi 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑥(,]+∞)))
64		3anass 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
65	61, 63, 64	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
66		elioo2 13425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
67	46, 66	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
68	65, 67	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)))
69	68	eqrdv 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) = (𝑥(,)+∞))
70		ioorebas 13490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥(,)+∞) ∈ ran (,)
71	69, 70	eqeltrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
72		ineq1 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ))
73	72	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((𝑥(,]+∞) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
74	71, 73	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
75	74	rexlimiv 3161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (𝑥(,]+∞) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
76	44, 75	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
77		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
78	77	elrnmpt 5950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥)))
79	78	elv 3462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥))
80		mnfxr 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
82		df-ico 13390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑐 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 < 𝑏)})
83	82	elixx3g 13397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
84	83	baib 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
85	81, 45, 49, 84	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
86		mnfle 13172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
87	49, 86	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ ≤ 𝑦)
88	87	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
89		mnflt 13160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -∞ < 𝑦)
90	89	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -∞ < 𝑦)
91	90	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
92	85, 88, 91	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
93	92	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))))
94		elin 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
95	94	biancomi 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥)))
96		3anass 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
97	93, 95, 96	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
98		elioo2 13425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
99	80, 98	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
100	97, 99	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ↔ 𝑦 ∈ (-∞(,)𝑥)))
101	100	eqrdv 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝑥))
102		ioorebas 13490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞(,)𝑥) ∈ ran (,)
103	101, 102	eqeltrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,))
104		ineq1 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) = ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ))
105	104	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → ((𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,) ↔ ((-∞[,)𝑥) ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
106	103, 105	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
107	106	rexlimiv 3161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* 𝑣 = (-∞[,)𝑥) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
108	79, 107	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
109	76, 108	jaoi 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∨ 𝑣 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
110	41, 109	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
111		elssuni 4906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ∪ ran (,))
112		unirnioo 13488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
113	111, 112	sseqtrrdi 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ⊆ ℝ)
114		dfss2 3924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ ℝ ↔ (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
115	113, 114	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) = 𝑣)
116		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → 𝑣 ∈ ran (,))
117	115, 116	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ran (,) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
118	110, 117	jaoi 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∨ 𝑣 ∈ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
119	40, 118	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,))
120		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ran (,)))
121	119, 120	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) → (𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,)))
122	121	rexlimiv 3161	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))𝑢 = (𝑣 ∩ ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
123	39, 122	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) → 𝑢 ∈ ran (,))
124	123	ssriv 3942	. . . . 5 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)
125		tgss 23155	. . . . 5 ⊢ ((ran (,) ∈ TopBases ∧ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ) ⊆ ran (,)) → (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,)))
126	37, 124, 125	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (topGen‘(((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ↾t ℝ)) ⊆ (topGen‘ran (,))
127	36, 126	eqsstri 3984	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ⊆ (topGen‘ran (,))
128	24, 127	eqssi 3954	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
129		xrtgioo.1	. 2 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
130	128, 129	eqtr4i 2791	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  +∞cpnf 11251  -∞cmnf 11252  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  (,)cioo 13384  (,]cioc 13385  [,)cico 13386   ↾_t crest 17491  topGenctg 17508  ordTopcordt 17571  Topctop 23080  TopOnctopon 23097  TopBasesctb 23132

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-rest 17493  df-topgen 17514  df-ordt 17573  df-ps 18640  df-tsr 18641  df-top 23081  df-topon 23098  df-bases 23133

This theorem is used by:  xrrest  24996  xrsmopn  25001  xrge0tsms  25023  metdcn2  25028  xrge0tsmsd  33433  xrtgcntopre  46225  xrtgioo2  46319