MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpopc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpopc 24451
Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpopc.r 𝑅 = (topGenβ€˜ran (,))
cnmpopc.m 𝑀 = (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
cnmpopc.n 𝑁 = (𝑅 β†Ύt (𝐡[,]𝐢))
cnmpopc.o 𝑂 = (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢))
cnmpopc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cnmpopc.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
cnmpopc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐢))
cnmpopc.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpopc.q ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 = 𝐸)
cnmpopc.d (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ ((𝑀 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
cnmpopc.e (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 𝐸) ∈ ((𝑁 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnmpopc (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) ∈ ((𝑂 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝑀(π‘₯,𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)   𝑂(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpopc
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 βˆͺ (𝑂 Γ—t 𝐽) = βˆͺ (𝑂 Γ—t 𝐽)
2 eqid 2732 . 2 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
3 cnmpopc.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 cnmpopc.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5 iccssre 13408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐢) βŠ† ℝ)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐢) βŠ† ℝ)
7 cnmpopc.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐢))
86, 7sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9 icccld 24290 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
103, 8, 9syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
11 cnmpopc.r . . . . . . 7 𝑅 = (topGenβ€˜ran (,))
1211fveq2i 6894 . . . . . 6 (Clsdβ€˜π‘…) = (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
1310, 12eleqtrrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜π‘…))
14 ssun1 4172 . . . . . 6 (𝐴[,]𝐡) βŠ† ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢))
15 iccsplit 13464 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐢)) β†’ (𝐴[,]𝐢) = ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢)))
163, 4, 7, 15syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐢) = ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢)))
1714, 16sseqtrrid 4035 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐢))
18 uniretop 24286 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1911unieqi 4921 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2018, 19eqtr4i 2763 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝑅
2120restcldi 22684 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐢) βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜π‘…) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐢)) β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜(𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢))))
226, 13, 17, 21syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜(𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢))))
23 cnmpopc.o . . . . 5 𝑂 = (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢))
2423fveq2i 6894 . . . 4 (Clsdβ€˜π‘‚) = (Clsdβ€˜(𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)))
2522, 24eleqtrrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜π‘‚))
26 cnmpopc.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
27 toponuni 22423 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2826, 27syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
29 topontop 22422 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
30 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3130topcld 22546 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (Clsdβ€˜π½))
3226, 29, 313syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ (Clsdβ€˜π½))
3328, 32eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
34 txcld 23114 . . 3 (((𝐴[,]𝐡) ∈ (Clsdβ€˜π‘‚) ∧ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋) ∈ (Clsdβ€˜(𝑂 Γ—t 𝐽)))
3525, 33, 34syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋) ∈ (Clsdβ€˜(𝑂 Γ—t 𝐽)))
36 icccld 24290 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (𝐡[,]𝐢) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
378, 4, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
3837, 12eleqtrrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) ∈ (Clsdβ€˜π‘…))
39 ssun2 4173 . . . . . 6 (𝐡[,]𝐢) βŠ† ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢))
4039, 16sseqtrrid 4035 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† (𝐴[,]𝐢))
4120restcldi 22684 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐢) βŠ† ℝ ∧ (𝐡[,]𝐢) ∈ (Clsdβ€˜π‘…) ∧ (𝐡[,]𝐢) βŠ† (𝐴[,]𝐢)) β†’ (𝐡[,]𝐢) ∈ (Clsdβ€˜(𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢))))
426, 38, 40, 41syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) ∈ (Clsdβ€˜(𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢))))
4342, 24eleqtrrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) ∈ (Clsdβ€˜π‘‚))
44 txcld 23114 . . 3 (((𝐡[,]𝐢) ∈ (Clsdβ€˜π‘‚) ∧ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋) ∈ (Clsdβ€˜(𝑂 Γ—t 𝐽)))
4543, 33, 44syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋) ∈ (Clsdβ€˜(𝑂 Γ—t 𝐽)))
4616xpeq1d 5705 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋) = (((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢)) Γ— 𝑋))
47 xpundir 5745 . . . 4 (((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢)) Γ— 𝑋) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋) βˆͺ ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋))
4846, 47eqtrdi 2788 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋) βˆͺ ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)))
49 retopon 24287 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
5011, 49eqeltri 2829 . . . . . . 7 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„)
51 resttopon 22672 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (𝐴[,]𝐢) βŠ† ℝ) β†’ (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐢)))
5250, 6, 51sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐢)))
5323, 52eqeltrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐢)))
54 txtopon 23102 . . . . 5 ((𝑂 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐢)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑂 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋)))
5553, 26, 54syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋)))
56 toponuni 22423 . . . 4 ((𝑂 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋)) β†’ ((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋) = βˆͺ (𝑂 Γ—t 𝐽))
5755, 56syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋) = βˆͺ (𝑂 Γ—t 𝐽))
5848, 57eqtr3d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋) βˆͺ ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) = βˆͺ (𝑂 Γ—t 𝐽))
59 cnmpopc.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
6017, 6sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
61 resttopon 22672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
6250, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
6359, 62eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
64 txtopon 23102 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑀 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)))
6563, 26, 64syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)))
66 cnmpopc.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ ((𝑀 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
67 cntop2 22752 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷) ∈ ((𝑀 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
69 toptopon2 22427 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
7068, 69sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
71 elicc2 13391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
723, 8, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
7372biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
7473simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
75743adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
7675iftrued 4536 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) = 𝐷)
7776mpoeq3dva 7488 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 𝐷))
7877, 66eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) ∈ ((𝑀 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
79 cnf2 22760 . . . . . . . 8 (((𝑀 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) ∈ ((𝑀 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾)
8065, 70, 78, 79syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾)
81 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸))
8281fmpo 8056 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾)
8380, 82sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾)
84 cnmpopc.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (𝑅 β†Ύt (𝐡[,]𝐢))
8540, 6sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† ℝ)
86 resttopon 22672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ (𝐡[,]𝐢) βŠ† ℝ) β†’ (𝑅 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡[,]𝐢)))
8750, 85, 86sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡[,]𝐢)))
8884, 87eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜(𝐡[,]𝐢)))
89 txtopon 23102 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (TopOnβ€˜(𝐡[,]𝐢)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑁 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)))
9088, 26, 89syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)))
91 elicc2 13391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐢)))
928, 4, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐢)))
9392biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐢))
9493simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ 𝐡 ≀ π‘₯)
9594biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ (π‘₯ ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘₯)))
9693simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9896, 97letri3d 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (π‘₯ = 𝐡 ↔ (π‘₯ ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ π‘₯)))
9995, 98bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ π‘₯ = 𝐡))
100993adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐡 ↔ π‘₯ = 𝐡))
101 cnmpopc.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ = 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 = 𝐸)
102101ancom2s 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝐡)) β†’ 𝐷 = 𝐸)
103102ifeq1d 4547 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝐡)) β†’ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) = if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐸, 𝐸))
104 ifid 4568 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐸, 𝐸) = 𝐸
105103, 104eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝐡)) β†’ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) = 𝐸)
106105expr 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) = 𝐸))
1071063adant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) = 𝐸))
108100, 107sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) = 𝐸))
109 iffalse 4537 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡 β†’ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) = 𝐸)
110108, 109pm2.61d1 180 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) = 𝐸)
111110mpoeq3dva 7488 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 𝐸))
112 cnmpopc.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ 𝐸) ∈ ((𝑁 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
113111, 112eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) ∈ ((𝑁 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
114 cnf2 22760 . . . . . . . 8 (((𝑁 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) ∈ ((𝑁 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾)
11590, 70, 113, 114syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾)
116 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸))
117116fmpo 8056 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾)
118115, 117sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾)
119 ralun 4192 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾)
12083, 118, 119syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾)
12116raleqdv 3325 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ (𝐡[,]𝐢))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾))
122120, 121mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾)
123 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸))
124123fmpo 8056 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢)βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸) ∈ βˆͺ 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾)
125122, 124sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾)
12657feq2d 6703 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):((𝐴[,]𝐢) Γ— 𝑋)⟢βˆͺ 𝐾 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):βˆͺ (𝑂 Γ—t 𝐽)⟢βˆͺ 𝐾))
127125, 126mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)):βˆͺ (𝑂 Γ—t 𝐽)⟢βˆͺ 𝐾)
128 ssid 4004 . . . 4 𝑋 βŠ† 𝑋
129 resmpo 7530 . . . 4 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐢) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)))
13017, 128, 129sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)))
131 retop 24285 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
13211, 131eqeltri 2829 . . . . . . . . 9 𝑅 ∈ Top
133 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (𝐴[,]𝐢) ∈ V
134 resttop 22671 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐢) ∈ V) β†’ (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) ∈ Top)
135132, 133, 134mp2an 690 . . . . . . . 8 (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) ∈ Top
13623, 135eqeltri 2829 . . . . . . 7 𝑂 ∈ Top
137136a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Top)
138 ovexd 7446 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) ∈ V)
139 txrest 23142 . . . . . 6 (((𝑂 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝐴[,]𝐡) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))) β†’ ((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) = ((𝑂 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Γ—t (𝐽 β†Ύt 𝑋)))
140137, 26, 138, 33, 139syl22anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) = ((𝑂 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Γ—t (𝐽 β†Ύt 𝑋)))
141132a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Top)
142 ovexd 7446 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐢) ∈ V)
143 restabs 22676 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐢) ∧ (𝐴[,]𝐢) ∈ V) β†’ ((𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
144141, 17, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = (𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
14523oveq1i 7421 . . . . . . 7 (𝑂 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
146144, 145, 593eqtr4g 2797 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = 𝑀)
14728oveq2d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽))
14830restid 17381 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽) = 𝐽)
14926, 148syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt βˆͺ 𝐽) = 𝐽)
150147, 149eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑋) = 𝐽)
151146, 150oveq12d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑂 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Γ—t (𝐽 β†Ύt 𝑋)) = (𝑀 Γ—t 𝐽))
152140, 151eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) = (𝑀 Γ—t 𝐽))
153152oveq1d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) Cn 𝐾) = ((𝑀 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
15478, 130, 1533eltr4d 2848 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) ∈ (((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) Γ— 𝑋)) Cn 𝐾))
155 resmpo 7530 . . . 4 (((𝐡[,]𝐢) βŠ† (𝐴[,]𝐢) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) β†Ύ ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) = (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)))
15640, 128, 155sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) β†Ύ ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) = (π‘₯ ∈ (𝐡[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)))
157 ovexd 7446 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) ∈ V)
158 txrest 23142 . . . . . 6 (((𝑂 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ ((𝐡[,]𝐢) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))) β†’ ((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) = ((𝑂 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) Γ—t (𝐽 β†Ύt 𝑋)))
159137, 26, 157, 33, 158syl22anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) = ((𝑂 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) Γ—t (𝐽 β†Ύt 𝑋)))
160 restabs 22676 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ (𝐡[,]𝐢) βŠ† (𝐴[,]𝐢) ∧ (𝐴[,]𝐢) ∈ V) β†’ ((𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) = (𝑅 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)))
161141, 40, 142, 160syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) = (𝑅 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)))
16223oveq1i 7421 . . . . . . 7 (𝑂 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) = ((𝑅 β†Ύt (𝐴[,]𝐢)) β†Ύt (𝐡[,]𝐢))
163161, 162, 843eqtr4g 2797 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) = 𝑁)
164163, 150oveq12d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑂 β†Ύt (𝐡[,]𝐢)) Γ—t (𝐽 β†Ύt 𝑋)) = (𝑁 Γ—t 𝐽))
165159, 164eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) = (𝑁 Γ—t 𝐽))
166165oveq1d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) Cn 𝐾) = ((𝑁 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
167113, 156, 1663eltr4d 2848 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) β†Ύ ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) ∈ (((𝑂 Γ—t 𝐽) β†Ύt ((𝐡[,]𝐢) Γ— 𝑋)) Cn 𝐾))
1681, 2, 35, 45, 58, 127, 154, 167paste 22805 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐢), 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ≀ 𝐡, 𝐷, 𝐸)) ∈ ((𝑂 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111   ≀ cle 11251  (,)cioo 13326  [,]cicc 13329   β†Ύt crest 17368  topGenctg 17385  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  Clsdccld 22527   Cn ccn 22735   Γ—t ctx 23071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cld 22530  df-cn 22738  df-tx 23073
This theorem is referenced by:  htpycc  24503  pcocn  24540  pcohtpylem  24542  pcopt  24545  pcopt2  24546  pcoass  24547  pcorevlem  24549
  Copyright terms: Public domain W3C validator