Theorem iscld 23051

Description: The predicate "the class 𝑆 is a closed set". (Contributed by NM, 2-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
iscld	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem iscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	cldval 23047	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐽})
3	2	eleq2d 2825	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ 𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐽}))
4		difeq2 4130	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑋 ∖ 𝑥) = (𝑋 ∖ 𝑆))
5	4	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
6	5	elrab 3695	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐽} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
7	3, 6	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
8	1	topopn 22928	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
9		elpw2g 5339	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
11	10	anbi1d 631	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
12	7, 11	bitrd 279	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  Topctop 22915  Clsdccld 23040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-top 22916  df-cld 23043

This theorem is referenced by:  iscld2  23052  cldss  23053  cldopn  23055  topcld  23059  discld  23113  indiscld  23115  restcld  23196  ordtcld1  23221  ordtcld2  23222  hauscmp  23431  txcld  23627  ptcld  23637  qtopcld  23737  opnsubg  24132  sszcld  24853  ist0cld  33794  stoweidlem57  46013