Theorem cmpfiiin 42685

Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmpfiiin.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cmpfiiin.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
cmpfiiin.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
cmpfiiin.z	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
cmpfiiin	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝐼,𝑙   𝑘,𝐽,𝑙   𝑆,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem cmpfiiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpfiiin.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
2		cmptop 23282	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		cmpfiiin.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	topcld 22922	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		cmpfiiin.s	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
8	4	cldss 22916	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
10	9	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋)
11		riinint 5935	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) = ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) = ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))
13	6	snssd 4773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Clsd‘𝐽))
14	7	fmpttd 7087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆):𝐼⟶(Clsd‘𝐽))
15	14	frnd 6696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆) ⊆ (Clsd‘𝐽))
16	13, 15	unssd 4155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽))
17		elin 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
18		elpwi 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑙 ⊆ 𝐼)
19	18	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin) → (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
20	17, 19	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
21		cmpfiiin.z	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅)
22		nesym 2981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
24	20, 23	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
25	24	nrexdv 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
26		elrfirn2 42684	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆)))
27	6, 10, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆)))
28	25, 27	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))))
29		cmpfii 23296	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))) → ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ≠ ∅)
30	1, 16, 28, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ≠ ∅)
31	12, 30	eqnetrd 2992	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4910  ∩ ciin 4956   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  ficfi 9361  Topctop 22780  Clsdccld 22903  Compccmp 23273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-dom 8920  df-fin 8922  df-fi 9362  df-top 22781  df-cld 22906  df-cmp 23274

This theorem is referenced by:  kelac1  43052