Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmpfiiin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpfiiin 41425
Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmpfiiin.x 𝑋 = 𝐽
cmpfiiin.j (𝜑𝐽 ∈ Comp)
cmpfiiin.s ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
cmpfiiin.z ((𝜑 ∧ (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 𝑘𝑙 𝑆) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
cmpfiiin (𝜑 → (𝑋 𝑘𝐼 𝑆) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝐼,𝑙   𝑘,𝐽,𝑙   𝑆,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem cmpfiiin
StepHypRef Expression
1 cmpfiiin.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2 cmptop 22898 . . . . 5 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 cmpfiiin.x . . . . 5 𝑋 = 𝐽
54topcld 22538 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 cmpfiiin.s . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
84cldss 22532 . . . . 5 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆𝑋)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑆𝑋)
109ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐼 𝑆𝑋)
11 riinint 5967 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘𝐼 𝑆𝑋) → (𝑋 𝑘𝐼 𝑆) = ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)))
126, 10, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑘𝐼 𝑆) = ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)))
136snssd 4812 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Clsd‘𝐽))
147fmpttd 7114 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐼𝑆):𝐼⟶(Clsd‘𝐽))
1514frnd 6725 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑘𝐼𝑆) ⊆ (Clsd‘𝐽))
1613, 15unssd 4186 . . 3 (𝜑 → ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽))
17 elin 3964 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼𝑙 ∈ Fin))
18 elpwi 4609 . . . . . . . 8 (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼𝑙𝐼)
1918anim1i 615 . . . . . . 7 ((𝑙 ∈ 𝒫 𝐼𝑙 ∈ Fin) → (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin))
2017, 19sylbi 216 . . . . . 6 (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin))
21 cmpfiiin.z . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 𝑘𝑙 𝑆) ≠ ∅)
22 nesym 2997 . . . . . . 7 ((𝑋 𝑘𝑙 𝑆) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆))
2321, 22sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐼𝑙 ∈ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆))
2420, 23sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆))
2524nrexdv 3149 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆))
26 elrfirn2 41424 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘𝐼 𝑆𝑋) → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆)))
276, 10, 26syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 𝑘𝑙 𝑆)))
2825, 27mtbird 324 . . 3 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆))))
29 cmpfii 22912 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)))) → ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)) ≠ ∅)
301, 16, 28, 29syl3anc 1371 . 2 (𝜑 ({𝑋} ∪ ran (𝑘𝐼𝑆)) ≠ ∅)
3112, 30eqnetrd 3008 1 (𝜑 → (𝑋 𝑘𝐼 𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   cuni 4908   cint 4950   ciin 4998  cmpt 5231  ran crn 5677  cfv 6543  Fincfn 8938  ficfi 9404  Topctop 22394  Clsdccld 22519  Compccmp 22889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-top 22395  df-cld 22522  df-cmp 22890
This theorem is referenced by:  kelac1  41795
  Copyright terms: Public domain W3C validator