Theorem cmpfiiin 42686

Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmpfiiin.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cmpfiiin.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
cmpfiiin.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
cmpfiiin.z	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
cmpfiiin	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝐼,𝑙   𝑘,𝐽,𝑙   𝑆,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem cmpfiiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpfiiin.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
2		cmptop 23350	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		cmpfiiin.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	topcld 22990	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		cmpfiiin.s	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
8	4	cldss 22984	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
10	9	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋)
11		riinint 5962	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) = ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) = ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))
13	6	snssd 4789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Clsd‘𝐽))
14	7	fmpttd 7115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆):𝐼⟶(Clsd‘𝐽))
15	14	frnd 6724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆) ⊆ (Clsd‘𝐽))
16	13, 15	unssd 4172	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽))
17		elin 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
18		elpwi 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑙 ⊆ 𝐼)
19	18	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin) → (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
20	17, 19	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
21		cmpfiiin.z	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅)
22		nesym 2987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
24	20, 23	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
25	24	nrexdv 3136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
26		elrfirn2 42685	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆)))
27	6, 10, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆)))
28	25, 27	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))))
29		cmpfii 23364	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))) → ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ≠ ∅)
30	1, 16, 28, 29	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ≠ ∅)
31	12, 30	eqnetrd 2998	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  ∪ cuni 4887  ∩ cint 4926  ∩ ciin 4972   ↦ cmpt 5205  ran crn 5666  ‘cfv 6541  Fincfn 8967  ficfi 9432  Topctop 22848  Clsdccld 22971  Compccmp 23341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7870  df-1o 8488  df-en 8968  df-dom 8969  df-fin 8971  df-fi 9433  df-top 22849  df-cld 22974  df-cmp 23342

This theorem is referenced by:  kelac1  43053