Theorem cmpfiiin 43456

Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmpfiiin.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cmpfiiin.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
cmpfiiin.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
cmpfiiin.z	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
cmpfiiin	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝐼,𝑙   𝑘,𝐽,𝑙   𝑆,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem cmpfiiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpfiiin.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
2		cmptop 23563	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		cmpfiiin.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	topcld 23203	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	3, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		cmpfiiin.s	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
8	4	cldss 23197	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
10	9	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋)
11		riinint 5961	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) = ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))
12	6, 10, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) = ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))
13	6	snssd 4751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Clsd‘𝐽))
14	7	fmpttd 7110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆):𝐼⟶(Clsd‘𝐽))
15	14	frnd 6714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆) ⊆ (Clsd‘𝐽))
16	13, 15	unssd 4144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽))
17		elin 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
18		elpwi 4568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑙 ⊆ 𝐼)
19	18	anim1i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin) → (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
20	17, 19	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
21		cmpfiiin.z	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅)
22		nesym 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
23	21, 22	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
24	20, 23	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
25	24	nrexdv 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
26		elrfirn2 43455	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆)))
27	6, 10, 26	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆)))
28	25, 27	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))))
29		cmpfii 23577	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))) → ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ≠ ∅)
30	1, 16, 28, 29	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ≠ ∅)
31	12, 30	eqnetrd 3024	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  {csn 4588  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4911  ∩ ciin 4956   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661  ‘cfv 6536  Fincfn 8941  ficfi 9368  Topctop 23061  Clsdccld 23184  Compccmp 23554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7861  df-1o 8451  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9369  df-top 23062  df-cld 23187  df-cmp 23555

This theorem is used by:  kelac1  43818