Theorem cmpfiiin 42709

Description: In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmpfiiin.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cmpfiiin.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
cmpfiiin.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
cmpfiiin.z	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
cmpfiiin	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝐼,𝑙   𝑘,𝐽,𝑙   𝑆,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem cmpfiiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpfiiin.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
2		cmptop 23303	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
4		cmpfiiin.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	topcld 22943	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
7		cmpfiiin.s	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
8	4	cldss 22937	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
10	9	ralrimiva 3122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋)
11		riinint 5908	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) = ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) = ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))
13	6	snssd 4759	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Clsd‘𝐽))
14	7	fmpttd 7043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆):𝐼⟶(Clsd‘𝐽))
15	14	frnd 6655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆) ⊆ (Clsd‘𝐽))
16	13, 15	unssd 4140	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽))
17		elin 3916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
18		elpwi 4555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑙 ⊆ 𝐼)
19	18	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝒫 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin) → (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
20	17, 19	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) → (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin))
21		cmpfiiin.z	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅)
22		nesym 2982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑙 ∈ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
24	20, 23	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → ¬ ∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
25	24	nrexdv 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆))
26		elrfirn2 42708	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 𝑆 ⊆ 𝑋) → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆)))
27	6, 10, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)∅ = (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝑙 𝑆)))
28	25, 27	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆))))
29		cmpfii 23317	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ ¬ ∅ ∈ (fi‘({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)))) → ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ≠ ∅)
30	1, 16, 28, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ ({𝑋} ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ 𝑆)) ≠ ∅)
31	12, 30	eqnetrd 2993	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ 𝑘 ∈ 𝐼 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4548  {csn 4574  ∪ cuni 4857  ∩ cint 4895  ∩ ciin 4940   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615  ‘cfv 6477  Fincfn 8864  ficfi 9289  Topctop 22801  Clsdccld 22924  Compccmp 23294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-om 7792  df-1o 8380  df-en 8865  df-dom 8866  df-fin 8868  df-fi 9290  df-top 22802  df-cld 22927  df-cmp 23295

This theorem is referenced by:  kelac1  43075