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Theorem ubthlem1 30123
Description: Lemma for ubth 30126. The function 𝐴 exhibits a countable collection of sets that are closed, being the inverse image under 𝑑 of the closed ball of radius π‘˜, and by assumption they cover 𝑋. Thus, by the Baire Category theorem bcth2 24847, for some 𝑛 the set π΄β€˜π‘› has an interior, meaning that there is a closed ball {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ubth.2 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
ubthlem.3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
ubthlem.4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
ubthlem.5 π‘ˆ ∈ CBan
ubthlem.6 π‘Š ∈ NrmCVec
ubthlem.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
ubthlem.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐)
ubthlem.9 𝐴 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
Assertion
Ref Expression
ubthlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝑑,𝑐,𝐷,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝐽,𝑛   𝑦,𝑑,𝐽,π‘₯   𝑁,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑑)   𝐷(𝑦)   π‘ˆ(π‘˜)   𝐽(𝑧,π‘Ÿ,𝑐)   π‘Š(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem ubthlem1
StepHypRef Expression
1 rzal 4509 . . . . . . . . 9 (𝑇 = βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
21ralrimivw 3151 . . . . . . . 8 (𝑇 = βˆ… β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
3 rabid2 3465 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
42, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑇 = βˆ… β†’ 𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
54eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝑇 = βˆ… β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = 𝑋)
65eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑇 = βˆ… β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
7 iinrab 5073 . . . . . . 7 (𝑇 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
87adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
9 id 22 . . . . . . 7 (𝑇 β‰  βˆ… β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
10 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
1110sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
12 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (IndMetβ€˜π‘Š) = (IndMetβ€˜π‘Š)
14 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ BLnOp π‘Š) = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
17 ubthlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π‘ˆ ∈ CBan
18 bnnv 30119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘ˆ ∈ NrmCVec
20 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘Š ∈ NrmCVec
2112, 13, 14, 15, 16, 19, 20blocn2 30061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ 𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
22 ubth.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2322, 12cbncms 30118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2417, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)
25 cmetmet 24803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
26 metxmet 23840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)
2814mopntopon 23945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3130, 13imsxmet 29945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
3220, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
3315mopntopon 23945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
35 iscncl 22773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))) ↔ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
3629, 34, 35mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))) ↔ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3721, 36sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3811, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3938simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
4039adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
4140ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
4241biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
43 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘‘β€˜π‘₯) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
4443breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘‘β€˜π‘₯) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜ ↔ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
4544elrab 3684 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ↔ ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
4642, 45bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
4746pm5.32da 580 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
48 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) = (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
4948breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
5049elrab 3684 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
52 ffn 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ 𝑑 Fn 𝑋)
53 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 Fn 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5440, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5547, 51, 543bitr4d 311 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5655eqrdv 2731 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
57 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} β†’ (◑𝑑 β€œ π‘₯) = (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
5857eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} β†’ ((◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
5938simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
6059adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
61 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6362rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
64 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
6530, 64nvzcl 29887 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
6620, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)
67 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
6830, 64, 67, 13nvnd 29941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
6920, 68mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
70 xmetsym 23853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
7132, 66, 70mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
7269, 71eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦))
7372breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜ ↔ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) ≀ π‘˜))
7473rabbiia 3437 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) ≀ π‘˜}
7515, 74blcld 24014 . . . . . . . . . . . 12 (((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ ℝ*) β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7632, 66, 75mp3an12 1452 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ℝ* β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7763, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7858, 60, 77rspcdva 3614 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
7956, 78eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
8079ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
81 iincld 22543 . . . . . . 7 ((𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
829, 80, 81syl2anr 598 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
838, 82eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
8414mopntop 23946 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
8527, 84ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
8629toponunii 22418 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
8786topcld 22539 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
8885, 87ax-mp 5 . . . . . 6 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½)
8988a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
906, 83, 89pm2.61ne 3028 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
91 ubthlem.9 . . . 4 𝐴 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
9290, 91fmptd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
9392frnd 6726 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 βŠ† (Clsdβ€˜π½))
9486cldss2 22534 . . . . . 6 (Clsdβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋
9593, 94sstrdi 3995 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑋)
96 sspwuni 5104 . . . . 5 (ran 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ ran 𝐴 βŠ† 𝑋)
9795, 96sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 βŠ† 𝑋)
98 ubthlem.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐)
99 arch 12469 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜)
10099adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜)
101 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
102 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ 𝑐 ≀ π‘˜))
103101, 61, 102syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ 𝑐 ≀ π‘˜))
104103impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) β†’ 𝑐 ≀ π‘˜)
105104adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑐 ≀ π‘˜)
10639ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
107106an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
10830, 67nvcl 29914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
10920, 107, 108sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
111110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
112 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
113 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
114113, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
115 letr 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ∧ 𝑐 ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
116111, 112, 114, 115syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ∧ 𝑐 ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
117105, 116mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
118117ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
119118expr 458 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
12022fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 ∈ V
121120rabex 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ V
12291fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ V) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
123121, 122mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π΄β€˜π‘˜) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
124123eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜}))
12549ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜ ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
126125elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
127124, 126bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
128 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
129128biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
130129bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
131127, 130sylan9bbr 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
13292ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•)
133132adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 Fn β„•)
134 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ran 𝐴)
135 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ ran 𝐴 β†’ (π΄β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
137136sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
138133, 137sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
139131, 138sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
140139adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
141119, 140syl6d 75 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)))
142141rexlimdva 3156 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)))
143100, 142mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
144143rexlimdva 3156 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
145144ralimdva 3168 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
14698, 145mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)
147 dfss3 3971 . . . . 5 (𝑋 βŠ† βˆͺ ran 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)
148146, 147sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
14997, 148eqssd 4000 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋)
150 eqid 2733 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
15122, 150nvzcl 29887 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
152 ne0i 4335 . . . . 5 ((0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋 β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
15319, 151, 152mp2b 10 . . . 4 𝑋 β‰  βˆ…
15414bcth2 24847 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
15524, 153, 154mpanl12 701 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
15692, 149, 155syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
157 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜π½))
15894, 157sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋)
159158elpwid 4612 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
16092, 159sylan 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
16186ntrss3 22564 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
16285, 160, 161sylancr 588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
163162sseld 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋))
16486ntropn 22553 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽)
16585, 160, 164sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽)
16614mopni2 24002 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
16727, 166mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
168165, 167sylan 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
169 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . 12 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ 𝐽)
170169, 86sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
171165, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
172171sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
17386ntrss2 22561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›))
17485, 160, 173sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›))
175 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
176174, 175syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
177176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
178 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
179178, 27jctil 521 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
180 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
181180rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ*)
182 rpxr 12983 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
183 rphalflt 13003 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) < π‘₯)
184181, 182, 1833jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / 2) < π‘₯))
185 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)}
18614, 185blsscls2 24013 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / 2) < π‘₯)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯))
187179, 184, 186syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯))
188 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
190180adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
191 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ ((𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ ↔ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)))
192191rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)})
193192sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›) ↔ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
194193rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
195194ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
196190, 195syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
197177, 189, 1963syld 60 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
198197rexlimdva 3156 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
199172, 198syldan 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
200168, 199mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
201200ex 414 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
202163, 201jcad 514 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))))
203202eximdv 1921 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))))
204 n0 4347 . . . 4 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
205 df-rex 3072 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
206203, 204, 2053imtr4g 296 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
207206reximdva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
208156, 207mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  Clsdccld 22520  intcnt 22521   Cn ccn 22728  CMetccmet 24771  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839  0veccn0v 29841  normCVcnmcv 29843  IndMetcims 29844   BLnOp cblo 29995  CBanccbn 30115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-dc 10441  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-blo 29999  df-0o 30000  df-cbn 30116
This theorem is referenced by:  ubthlem3  30125
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