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Theorem ubthlem1 30110
Description: Lemma for ubth 30113. The function 𝐴 exhibits a countable collection of sets that are closed, being the inverse image under 𝑑 of the closed ball of radius π‘˜, and by assumption they cover 𝑋. Thus, by the Baire Category theorem bcth2 24838, for some 𝑛 the set π΄β€˜π‘› has an interior, meaning that there is a closed ball {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ubth.2 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
ubthlem.3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
ubthlem.4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
ubthlem.5 π‘ˆ ∈ CBan
ubthlem.6 π‘Š ∈ NrmCVec
ubthlem.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
ubthlem.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐)
ubthlem.9 𝐴 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
Assertion
Ref Expression
ubthlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝑑,𝑐,𝐷,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝐽,𝑛   𝑦,𝑑,𝐽,π‘₯   𝑁,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑑)   𝐷(𝑦)   π‘ˆ(π‘˜)   𝐽(𝑧,π‘Ÿ,𝑐)   π‘Š(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem ubthlem1
StepHypRef Expression
1 rzal 4507 . . . . . . . . 9 (𝑇 = βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
21ralrimivw 3150 . . . . . . . 8 (𝑇 = βˆ… β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
3 rabid2 3464 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
42, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑇 = βˆ… β†’ 𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
54eqcomd 2738 . . . . . 6 (𝑇 = βˆ… β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = 𝑋)
65eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑇 = βˆ… β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
7 iinrab 5071 . . . . . . 7 (𝑇 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
87adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
9 id 22 . . . . . . 7 (𝑇 β‰  βˆ… β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
10 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
1110sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
12 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
13 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (IndMetβ€˜π‘Š) = (IndMetβ€˜π‘Š)
14 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ BLnOp π‘Š) = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
17 ubthlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π‘ˆ ∈ CBan
18 bnnv 30106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘ˆ ∈ NrmCVec
20 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘Š ∈ NrmCVec
2112, 13, 14, 15, 16, 19, 20blocn2 30048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ 𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
22 ubth.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2322, 12cbncms 30105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2417, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)
25 cmetmet 24794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
26 metxmet 23831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)
2814mopntopon 23936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3130, 13imsxmet 29932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
3220, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
3315mopntopon 23936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
35 iscncl 22764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))) ↔ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
3629, 34, 35mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))) ↔ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3721, 36sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3811, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3938simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
4039adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
4140ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
4241biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
43 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘‘β€˜π‘₯) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
4443breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘‘β€˜π‘₯) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜ ↔ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
4544elrab 3682 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ↔ ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
4642, 45bitr4di 288 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
4746pm5.32da 579 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
48 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) = (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
4948breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
5049elrab 3682 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
52 ffn 6714 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ 𝑑 Fn 𝑋)
53 elpreima 7056 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 Fn 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5440, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5547, 51, 543bitr4d 310 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5655eqrdv 2730 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
57 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} β†’ (◑𝑑 β€œ π‘₯) = (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
5857eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} β†’ ((◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
5938simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
6059adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
61 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6261ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6362rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
64 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
6530, 64nvzcl 29874 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
6620, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)
67 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
6830, 64, 67, 13nvnd 29928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
6920, 68mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
70 xmetsym 23844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
7132, 66, 70mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
7269, 71eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦))
7372breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜ ↔ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) ≀ π‘˜))
7473rabbiia 3436 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) ≀ π‘˜}
7515, 74blcld 24005 . . . . . . . . . . . 12 (((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ ℝ*) β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7632, 66, 75mp3an12 1451 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ℝ* β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7763, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7858, 60, 77rspcdva 3613 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
7956, 78eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
8079ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
81 iincld 22534 . . . . . . 7 ((𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
829, 80, 81syl2anr 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
838, 82eqeltrrd 2834 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
8414mopntop 23937 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
8527, 84ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
8629toponunii 22409 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
8786topcld 22530 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
8885, 87ax-mp 5 . . . . . 6 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½)
8988a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
906, 83, 89pm2.61ne 3027 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
91 ubthlem.9 . . . 4 𝐴 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
9290, 91fmptd 7110 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
9392frnd 6722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 βŠ† (Clsdβ€˜π½))
9486cldss2 22525 . . . . . 6 (Clsdβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋
9593, 94sstrdi 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑋)
96 sspwuni 5102 . . . . 5 (ran 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ ran 𝐴 βŠ† 𝑋)
9795, 96sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 βŠ† 𝑋)
98 ubthlem.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐)
99 arch 12465 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜)
10099adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜)
101 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
102 ltle 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ 𝑐 ≀ π‘˜))
103101, 61, 102syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ 𝑐 ≀ π‘˜))
104103impr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) β†’ 𝑐 ≀ π‘˜)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑐 ≀ π‘˜)
10639ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
107106an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
10830, 67nvcl 29901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
10920, 107, 108sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
110109adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
111110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
112 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
113 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
114113, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
115 letr 11304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ∧ 𝑐 ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
116111, 112, 114, 115syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ∧ 𝑐 ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
117105, 116mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
118117ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
119118expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
12022fvexi 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 ∈ V
121120rabex 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ V
12291fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ V) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
123121, 122mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π΄β€˜π‘˜) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
124123eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜}))
12549ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜ ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
126125elrab 3682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
127124, 126bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
128 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
129128biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
130129bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
131127, 130sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
13292ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 Fn β„•)
134 fnfvelrn 7079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ran 𝐴)
135 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ ran 𝐴 β†’ (π΄β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
137136sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
138133, 137sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
139131, 138sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
140139adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
141119, 140syl6d 75 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)))
142141rexlimdva 3155 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)))
143100, 142mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
144143rexlimdva 3155 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
145144ralimdva 3167 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
14698, 145mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)
147 dfss3 3969 . . . . 5 (𝑋 βŠ† βˆͺ ran 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)
148146, 147sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
14997, 148eqssd 3998 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋)
150 eqid 2732 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
15122, 150nvzcl 29874 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
152 ne0i 4333 . . . . 5 ((0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋 β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
15319, 151, 152mp2b 10 . . . 4 𝑋 β‰  βˆ…
15414bcth2 24838 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
15524, 153, 154mpanl12 700 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
15692, 149, 155syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
157 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜π½))
15894, 157sselid 3979 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋)
159158elpwid 4610 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
16092, 159sylan 580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
16186ntrss3 22555 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
16285, 160, 161sylancr 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
163162sseld 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋))
16486ntropn 22544 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽)
16585, 160, 164sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽)
16614mopni2 23993 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
16727, 166mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
168165, 167sylan 580 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
169 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . 12 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ 𝐽)
170169, 86sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
171165, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
172171sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
17386ntrss2 22552 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›))
17485, 160, 173sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›))
175 sstr2 3988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
176174, 175syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
177176ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
178 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
179178, 27jctil 520 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
180 rphalfcl 12997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
181180rpxrd 13013 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ*)
182 rpxr 12979 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
183 rphalflt 12999 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) < π‘₯)
184181, 182, 1833jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / 2) < π‘₯))
185 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)}
18614, 185blsscls2 24004 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / 2) < π‘₯)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯))
187179, 184, 186syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯))
188 sstr2 3988 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
190180adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
191 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ ((𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ ↔ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)))
192191rabbidv 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)})
193192sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›) ↔ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
194193rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
195194ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
196190, 195syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
197177, 189, 1963syld 60 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
198197rexlimdva 3155 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
199172, 198syldan 591 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
200168, 199mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
201200ex 413 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
202163, 201jcad 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))))
203202eximdv 1920 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))))
204 n0 4345 . . . 4 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
205 df-rex 3071 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
206203, 204, 2053imtr4g 295 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
207206reximdva 3168 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
208156, 207mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  ballcbl 20923  MetOpencmopn 20926  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  Clsdccld 22511  intcnt 22512   Cn ccn 22719  CMetccmet 24762  NrmCVeccnv 29824  BaseSetcba 29826  0veccn0v 29828  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831   BLnOp cblo 29982  CBanccbn 30102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-dc 10437  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-lno 29984  df-nmoo 29985  df-blo 29986  df-0o 29987  df-cbn 30103
This theorem is referenced by:  ubthlem3  30112
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