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Theorem ubthlem1 29854
Description: Lemma for ubth 29857. The function 𝐴 exhibits a countable collection of sets that are closed, being the inverse image under 𝑑 of the closed ball of radius π‘˜, and by assumption they cover 𝑋. Thus, by the Baire Category theorem bcth2 24710, for some 𝑛 the set π΄β€˜π‘› has an interior, meaning that there is a closed ball {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ubth.2 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
ubthlem.3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
ubthlem.4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
ubthlem.5 π‘ˆ ∈ CBan
ubthlem.6 π‘Š ∈ NrmCVec
ubthlem.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
ubthlem.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐)
ubthlem.9 𝐴 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
Assertion
Ref Expression
ubthlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝑑,𝑐,𝐷,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝐽,𝑛   𝑦,𝑑,𝐽,π‘₯   𝑁,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑐,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,𝑐,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑑)   𝐷(𝑦)   π‘ˆ(π‘˜)   𝐽(𝑧,π‘Ÿ,𝑐)   π‘Š(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem ubthlem1
StepHypRef Expression
1 rzal 4471 . . . . . . . . 9 (𝑇 = βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
21ralrimivw 3148 . . . . . . . 8 (𝑇 = βˆ… β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
3 rabid2 3439 . . . . . . . 8 (𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜)
42, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑇 = βˆ… β†’ 𝑋 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
54eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝑇 = βˆ… β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = 𝑋)
65eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑇 = βˆ… β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
7 iinrab 5034 . . . . . . 7 (𝑇 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
87adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
9 id 22 . . . . . . 7 (𝑇 β‰  βˆ… β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
10 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
1110sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š))
12 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (IndMetβ€˜π‘Š) = (IndMetβ€˜π‘Š)
14 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
15 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) = (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘ˆ BLnOp π‘Š) = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
17 ubthlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π‘ˆ ∈ CBan
18 bnnv 29850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘ˆ ∈ NrmCVec
20 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘Š ∈ NrmCVec
2112, 13, 14, 15, 16, 19, 20blocn2 29792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ 𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
22 ubth.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2322, 12cbncms 29849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ˆ ∈ CBan β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2417, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)
25 cmetmet 24666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
26 metxmet 23703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)
2814mopntopon 23808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)
30 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
3130, 13imsxmet 29676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
3220, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
3315mopntopon 23808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
35 iscncl 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)) ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))) ↔ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
3629, 34, 35mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ (𝐽 Cn (MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))) ↔ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3721, 36sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ (π‘ˆ BLnOp π‘Š) β†’ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3811, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
3938simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
4039adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
4140ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
4241biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
43 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘‘β€˜π‘₯) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
4443breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘‘β€˜π‘₯) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜ ↔ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
4544elrab 3650 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ↔ ((π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
4642, 45bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
4746pm5.32da 580 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
48 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘₯ β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) = (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)))
4948breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
5049elrab 3650 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
52 ffn 6673 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ 𝑑 Fn 𝑋)
53 elpreima 7013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 Fn 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5440, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5547, 51, 543bitr4d 311 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ π‘₯ ∈ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜})))
5655eqrdv 2735 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} = (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
57 imaeq2 6014 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} β†’ (◑𝑑 β€œ π‘₯) = (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}))
5857eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} β†’ ((◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ∈ (Clsdβ€˜π½)))
5938simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
6059adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š)))(◑𝑑 β€œ π‘₯) ∈ (Clsdβ€˜π½))
61 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6362rexrd 11212 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
64 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
6530, 64nvzcl 29618 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
6620, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)
67 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCVβ€˜π‘Š)
6830, 64, 67, 13nvnd 29672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
6920, 68mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
70 xmetsym 23716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
7132, 66, 70mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑦(IndMetβ€˜π‘Š)(0vecβ€˜π‘Š)))
7269, 71eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦))
7372breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜ ↔ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) ≀ π‘˜))
7473rabbiia 3414 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} = {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ ((0vecβ€˜π‘Š)(IndMetβ€˜π‘Š)𝑦) ≀ π‘˜}
7515, 74blcld 23877 . . . . . . . . . . . 12 (((IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ ℝ*) β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7632, 66, 75mp3an12 1452 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ℝ* β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7763, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜(IndMetβ€˜π‘Š))))
7858, 60, 77rspcdva 3585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (◑𝑑 β€œ {𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∣ (π‘β€˜π‘¦) ≀ π‘˜}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
7956, 78eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
8079ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
81 iincld 22406 . . . . . . 7 ((𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
829, 80, 81syl2anr 598 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑑 ∈ 𝑇 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
838, 82eqeltrrd 2839 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
8414mopntop 23809 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
8527, 84ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
8629toponunii 22281 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
8786topcld 22402 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
8885, 87ax-mp 5 . . . . . 6 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½)
8988a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
906, 83, 89pm2.61ne 3031 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ (Clsdβ€˜π½))
91 ubthlem.9 . . . 4 𝐴 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
9290, 91fmptd 7067 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
9392frnd 6681 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 βŠ† (Clsdβ€˜π½))
9486cldss2 22397 . . . . . 6 (Clsdβ€˜π½) βŠ† 𝒫 𝑋
9593, 94sstrdi 3961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑋)
96 sspwuni 5065 . . . . 5 (ran 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ ran 𝐴 βŠ† 𝑋)
9795, 96sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 βŠ† 𝑋)
98 ubthlem.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐)
99 arch 12417 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜)
10099adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜)
101 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
102 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ 𝑐 ≀ π‘˜))
103101, 61, 102syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ 𝑐 ≀ π‘˜))
104103impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) β†’ 𝑐 ≀ π‘˜)
105104adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑐 ≀ π‘˜)
10639ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
107106an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
10830, 67nvcl 29645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‘β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
10920, 107, 108sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
110109adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
111110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
112 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
113 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
114113, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
115 letr 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ∧ 𝑐 ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
116111, 112, 114, 115syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 ∧ 𝑐 ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
117105, 116mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
118117ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑐 < π‘˜)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
119118expr 458 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
12022fvexi 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 ∈ V
121120rabex 5294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ V
12291fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ∈ V) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
123121, 122mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π΄β€˜π‘˜) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜})
124123eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜}))
12549ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜ ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
126125elrab 3650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘§)) ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
127124, 126bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
128 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
129128biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜)))
130129bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
131127, 130sylan9bbr 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜))
13292ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•)
133132adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 Fn β„•)
134 fnfvelrn 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ran 𝐴)
135 elssuni 4903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ ran 𝐴 β†’ (π΄β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
137136sseld 3948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
138133, 137sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
139131, 138sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
140139adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
141119, 140syl6d 75 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)))
142141rexlimdva 3153 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑐 < π‘˜ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)))
143100, 142mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
144143rexlimdva 3153 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
145144ralimdva 3165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (π‘β€˜(π‘‘β€˜π‘₯)) ≀ 𝑐 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴))
14698, 145mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)
147 dfss3 3937 . . . . 5 (𝑋 βŠ† βˆͺ ran 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ ∈ βˆͺ ran 𝐴)
148146, 147sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ ran 𝐴)
14997, 148eqssd 3966 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋)
150 eqid 2737 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
15122, 150nvzcl 29618 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋)
152 ne0i 4299 . . . . 5 ((0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑋 β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
15319, 151, 152mp2b 10 . . . 4 𝑋 β‰  βˆ…
15414bcth2 24710 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
15524, 153, 154mpanl12 701 . . 3 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝐴 = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
15692, 149, 155syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ…)
157 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ (Clsdβ€˜π½))
15894, 157sselid 3947 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋)
159158elpwid 4574 . . . . . . . . 9 ((𝐴:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
16092, 159sylan 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
16186ntrss3 22427 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
16285, 160, 161sylancr 588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
163162sseld 3948 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋))
16486ntropn 22416 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽)
16585, 160, 164sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽)
16614mopni2 23865 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
16727, 166mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
168165, 167sylan 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
169 elssuni 4903 . . . . . . . . . . . 12 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† βˆͺ 𝐽)
170169, 86sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
171165, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† 𝑋)
172171sselda 3949 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
17386ntrss2 22424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π΄β€˜π‘›) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›))
17485, 160, 173sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›))
175 sstr2 3956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
176174, 175syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
177176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
178 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
179178, 27jctil 521 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋))
180 rphalfcl 12949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
181180rpxrd 12965 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ*)
182 rpxr 12931 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
183 rphalflt 12951 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) < π‘₯)
184181, 182, 1833jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / 2) < π‘₯))
185 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)}
18614, 185blsscls2 23876 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ / 2) < π‘₯)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯))
187179, 184, 186syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯))
188 sstr2 3956 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
189187, 188syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
190180adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
191 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ ((𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ ↔ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)))
192191rabbidv 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)})
193192sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = (π‘₯ / 2) β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›) ↔ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
194193rspcev 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ ∧ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
195194ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ / 2) ∈ ℝ+ β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
196190, 195syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ (π‘₯ / 2)} βŠ† (π΄β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
197177, 189, 1963syld 60 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
198197rexlimdva 3153 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
199172, 198syldan 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘₯) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
200168, 199mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
201200ex 414 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
202163, 201jcad 514 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))))
203202eximdv 1921 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))))
204 n0 4311 . . . 4 (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)))
205 df-rex 3075 . . . 4 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
206203, 204, 2053imtr4g 296 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
207206reximdva 3166 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π΄β€˜π‘›)) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›)))
208156, 207mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≀ π‘Ÿ} βŠ† (π΄β€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆ© ciin 4960   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„+crp 12922  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  Clsdccld 22383  intcnt 22384   Cn ccn 22591  CMetccmet 24634  NrmCVeccnv 29568  BaseSetcba 29570  0veccn0v 29572  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575   BLnOp cblo 29726  CBanccbn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-dc 10389  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13277  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-lno 29728  df-nmoo 29729  df-blo 29730  df-0o 29731  df-cbn 29847
This theorem is referenced by:  ubthlem3  29856
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