Theorem tpnei 22846

Description: The underlying set of a topology is a neighborhood of any of its subsets. Special case of opnneiss 22843. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpnei.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
tpnei	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem tpnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpnei.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 22629	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
3		opnneiss 22843	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
4	3	3exp 1118	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ 𝐽 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
5	2, 4	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6		ssnei 22835	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
7	6	ex 412	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋))
8	5, 7	impbid 211	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 ↔ 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  ‘cfv 6543  Topctop 22616  neicnei 22822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 22617  df-nei 22823

This theorem is referenced by:  neiuni  22847  neifil  23605  gneispa  43184