Theorem tpsprop2d 22808

Description: A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpsprop2d.1	⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
tpsprop2d.2	⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
tpsprop2d	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐿 ∈ TopSp))

Proof of Theorem tpsprop2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpsprop2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
2		tpsprop2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐿))
3	1, 2	topnpropd 17327	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
4	1, 3	tpspropd 22807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐿 ∈ TopSp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  TopSetcts 17154  TopSpctps 22801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-rest 17313  df-topn 17314  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802

This theorem is referenced by: (None)