Theorem tpsprop2d 21996

Description: A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpsprop2d.1	⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
tpsprop2d.2	⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
tpsprop2d	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐿 ∈ TopSp))

Proof of Theorem tpsprop2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpsprop2d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
2		tpsprop2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐿))
3	1, 2	topnpropd 17064	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐿))
4	1, 3	tpspropd 21995	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐿 ∈ TopSp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  TopSetcts 16894  TopSpctps 21989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-rest 17050  df-topn 17051  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990

This theorem is referenced by: (None)