Theorem topontopn 22901

Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsettps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
tsettps.j	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
topontopn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem topontopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22875	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = ∪ 𝐽)
2		eqimss2 3995	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝐽 → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
4		sspwuni 5057	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝐴)
5	3, 4	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
6		tsettps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
7		tsettps.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝐾)
8	6, 7	topnid 17369	. 2 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴 → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))
9	5, 8	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopOpen‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6502  Basecbs 17150  TopSetcts 17197  TopOpenctopn 17355  TopOnctopon 22871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-rest 17356  df-topn 17357  df-topon 22872

This theorem is referenced by:  tsettps  22902  xrstopn  23169  cnfldms  24736  cnfldtopn  24742