Theorem trlontrl 29729

Description: A trail is a trail between its endpoints. (Contributed by AV, 31-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
trlontrl	⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(TrailsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)

Proof of Theorem trlontrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trliswlk 29715	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkonwlk 29680	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	wlkepvtx 29678	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
7		wlkv 29630	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
8		3simpc 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
12	5	istrlson 29725	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹((𝑃‘0)(TrailsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(TrailsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
14	3, 4, 13	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(TrailsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  Walkscwlks 29614  WalksOncwlkson 29615  Trailsctrls 29708  TrailsOnctrlson 29709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617  df-wlkson 29618  df-trls 29710  df-trlson 29711

This theorem is referenced by:  pthonpth  29768