Theorem trlontrl 29744

Description: A trail is a trail between its endpoints. (Contributed by AV, 31-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
trlontrl	⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(TrailsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)

Proof of Theorem trlontrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trliswlk 29730	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkonwlk 29695	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	wlkepvtx 29693	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)))
7		wlkv 29645	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
8		3simpc 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
12	5	istrlson 29740	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹((𝑃‘0)(TrailsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹((𝑃‘0)(TrailsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ↔ (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
14	3, 4, 13	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹((𝑃‘0)(TrailsOn‘𝐺)(𝑃‘(♯‘𝐹)))𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29028  Walkscwlks 29629  WalksOncwlkson 29630  Trailsctrls 29723  TrailsOnctrlson 29724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632  df-wlkson 29633  df-trls 29725  df-trlson 29726

This theorem is referenced by:  pthonpth  29781