MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neipcfilu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neipcfilu 23801
Description: In an uniform space, a neighboring filter is a Cauchy filter base. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neipcfilu.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
neipcfilu.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
neipcfilu.u π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
neipcfilu ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem neipcfilu
Dummy variables 𝑣 π‘Ž 𝑀 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1138 . . . . 5 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ TopSp)
2 neipcfilu.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 neipcfilu.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
42, 3istps 22436 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
51, 4sylib 217 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 simp3 1139 . . . . 5 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
76snssd 4813 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {𝑃} βŠ† 𝑋)
86snn0d 4780 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {𝑃} β‰  βˆ…)
9 neifil 23384 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ {𝑃} βŠ† 𝑋 ∧ {𝑃} β‰  βˆ…) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
105, 7, 8, 9syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11 filfbas 23352 . . 3 (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
1210, 11syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑀 β€œ {𝑃})
14 imaeq1 6055 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑀 β†’ (𝑣 β€œ {𝑃}) = (𝑀 β€œ {𝑃}))
1514rspceeqv 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑀 β€œ {𝑃})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑣 β€œ {𝑃}))
1613, 15mpan2 690 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑣 β€œ {𝑃}))
17 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V
1817imaex 7907 . . . . . . . . . 10 (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ V
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})) = (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃}))
2019elrnmpt 5956 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ V β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑣 β€œ {𝑃})))
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑣 β€œ {𝑃}))
2216, 21sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})))
2322ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})))
24 neipcfilu.u . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š)
252, 24, 3isusp 23766 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ UnifSp ↔ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘ˆ)))
2625simplbi 499 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ UnifSp β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
27263ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (unifTopβ€˜π‘ˆ) = (unifTopβ€˜π‘ˆ)
2928utopsnneip 23753 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}) = ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})))
3027, 6, 29syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}) = ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})))
3130eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}) ↔ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃}))))
3231ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}) ↔ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃}))))
3323, 32mpbird 257 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}))
34 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
35343anassrs 1361 . . . . . . . . 9 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
3625simprbi 498 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ UnifSp β†’ 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘ˆ))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘ˆ))
3837fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ (neiβ€˜π½) = (neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ)))
3938fveq1d 6894 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) = ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}))
4033, 39eleqtrrd 2837 . . . . 5 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}))
41 simpr 486 . . . . 5 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
42 id 22 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑃}) β†’ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑃}))
4342sqxpeqd 5709 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑃}) β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) = ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})))
4443sseq1d 4014 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑃}) β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣))
4544rspcev 3613 . . . . 5 (((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
4640, 41, 45syl2anc 585 . . . 4 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
4727adantr 482 . . . . 5 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
486adantr 482 . . . . 5 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
49 simpr 486 . . . . 5 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑣 ∈ π‘ˆ)
50 simpll1 1213 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
51 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
52 ustexsym 23720 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
5350, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
5450ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
55 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
56 ustssxp 23709 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
5754, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
58 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣 ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
59583anassrs 1361 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
60 ustneism 23728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† (𝑀 ∘ ◑𝑀))
6157, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† (𝑀 ∘ ◑𝑀))
62 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ ◑𝑀 = 𝑀)
6362coeq2d 5863 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑀 ∘ ◑𝑀) = (𝑀 ∘ 𝑀))
64 coss1 5856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 βŠ† 𝑒 β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∘ 𝑀))
65 coss2 5857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 βŠ† 𝑒 β†’ (𝑒 ∘ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∘ 𝑒))
6664, 65sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 βŠ† 𝑒 β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∘ 𝑒))
6766ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∘ 𝑒))
68 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣)
6967, 68sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
7063, 69eqsstrd 4021 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑀 ∘ ◑𝑀) βŠ† 𝑣)
7161, 70sstrd 3993 . . . . . . . . 9 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
7271ex 414 . . . . . . . 8 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣))
7372reximdva 3169 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣))
7453, 73mpd 15 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
75 ustexhalf 23715 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣)
76753adant2 1132 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣)
7774, 76r19.29a 3163 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
7847, 48, 49, 77syl3anc 1372 . . . 4 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
7946, 78r19.29a 3163 . . 3 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
8079ralrimiva 3147 . 2 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
81 iscfilu 23793 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
8227, 81syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
8312, 80, 82mpbir2and 712 1 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  TopOpenctopn 17367  fBascfbas 20932  TopOnctopon 22412  TopSpctps 22434  neicnei 22601  Filcfil 23349  UnifOncust 23704  unifTopcutop 23735  UnifStcuss 23758  UnifSpcusp 23759  CauFiluccfilu 23791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-fbas 20941  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-nei 22602  df-fil 23350  df-ust 23705  df-utop 23736  df-usp 23762  df-cfilu 23792
This theorem is referenced by:  ucnextcn  23809
  Copyright terms: Public domain W3C validator