MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neipcfilu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neipcfilu 23808
Description: In an uniform space, a neighboring filter is a Cauchy filter base. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
neipcfilu.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
neipcfilu.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
neipcfilu.u π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
neipcfilu ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem neipcfilu
Dummy variables 𝑣 π‘Ž 𝑀 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . . . 5 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ TopSp)
2 neipcfilu.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 neipcfilu.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
42, 3istps 22443 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
51, 4sylib 217 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 simp3 1138 . . . . 5 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
76snssd 4812 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {𝑃} βŠ† 𝑋)
86snn0d 4779 . . . 4 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ {𝑃} β‰  βˆ…)
9 neifil 23391 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ {𝑃} βŠ† 𝑋 ∧ {𝑃} β‰  βˆ…) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
105, 7, 8, 9syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11 filfbas 23359 . . 3 (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
1210, 11syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
13 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑀 β€œ {𝑃})
14 imaeq1 6054 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑀 β†’ (𝑣 β€œ {𝑃}) = (𝑀 β€œ {𝑃}))
1514rspceeqv 3633 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑀 β€œ {𝑃})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑣 β€œ {𝑃}))
1613, 15mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑣 β€œ {𝑃}))
17 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V
1817imaex 7909 . . . . . . . . . 10 (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ V
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})) = (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃}))
2019elrnmpt 5955 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ V β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑣 β€œ {𝑃})))
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ (𝑀 β€œ {𝑃}) = (𝑣 β€œ {𝑃}))
2216, 21sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})))
2322ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})))
24 neipcfilu.u . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š)
252, 24, 3isusp 23773 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ UnifSp ↔ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘ˆ)))
2625simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ UnifSp β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
27263ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
28 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (unifTopβ€˜π‘ˆ) = (unifTopβ€˜π‘ˆ)
2928utopsnneip 23760 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}) = ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})))
3027, 6, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}) = ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃})))
3130eleq2d 2819 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}) ↔ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃}))))
3231ad3antrrr 728 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}) ↔ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑃}))))
3323, 32mpbird 256 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}))
34 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
35343anassrs 1360 . . . . . . . . 9 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
3625simprbi 497 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ UnifSp β†’ 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘ˆ))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘ˆ))
3837fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ (neiβ€˜π½) = (neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ)))
3938fveq1d 6893 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) = ((neiβ€˜(unifTopβ€˜π‘ˆ))β€˜{𝑃}))
4033, 39eleqtrrd 2836 . . . . 5 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ (𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}))
41 simpr 485 . . . . 5 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
42 id 22 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑃}) β†’ π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑃}))
4342sqxpeqd 5708 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑃}) β†’ (π‘Ž Γ— π‘Ž) = ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})))
4443sseq1d 4013 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑀 β€œ {𝑃}) β†’ ((π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣 ↔ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣))
4544rspcev 3612 . . . . 5 (((𝑀 β€œ {𝑃}) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
4640, 41, 45syl2anc 584 . . . 4 (((((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
4727adantr 481 . . . . 5 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
486adantr 481 . . . . 5 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
49 simpr 485 . . . . 5 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑣 ∈ π‘ˆ)
50 simpll1 1212 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
51 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
52 ustexsym 23727 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
5350, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))
5450ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
55 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
56 ustssxp 23716 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
5754, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
58 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ ((𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣 ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
59583anassrs 1360 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
60 ustneism 23735 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† (𝑀 ∘ ◑𝑀))
6157, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† (𝑀 ∘ ◑𝑀))
62 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ ◑𝑀 = 𝑀)
6362coeq2d 5862 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑀 ∘ ◑𝑀) = (𝑀 ∘ 𝑀))
64 coss1 5855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 βŠ† 𝑒 β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∘ 𝑀))
65 coss2 5856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 βŠ† 𝑒 β†’ (𝑒 ∘ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∘ 𝑒))
6664, 65sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 βŠ† 𝑒 β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∘ 𝑒))
6766ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† (𝑒 ∘ 𝑒))
68 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣)
6967, 68sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)
7063, 69eqsstrd 4020 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ (𝑀 ∘ ◑𝑀) βŠ† 𝑣)
7161, 70sstrd 3992 . . . . . . . . 9 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒)) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
7271ex 413 . . . . . . . 8 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) β†’ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣))
7372reximdva 3168 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣))
7453, 73mpd 15 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
75 ustexhalf 23722 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣)
76753adant2 1131 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 ∘ 𝑒) βŠ† 𝑣)
7774, 76r19.29a 3162 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
7847, 48, 49, 77syl3anc 1371 . . . 4 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ ((𝑀 β€œ {𝑃}) Γ— (𝑀 β€œ {𝑃})) βŠ† 𝑣)
7946, 78r19.29a 3162 . . 3 (((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
8079ralrimiva 3146 . 2 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)
81 iscfilu 23800 . . 3 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
8227, 81syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃})(π‘Ž Γ— π‘Ž) βŠ† 𝑣)))
8312, 80, 82mpbir2and 711 1 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ π‘Š ∈ TopSp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑃}) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  TopOpenctopn 17369  fBascfbas 20938  TopOnctopon 22419  TopSpctps 22441  neicnei 22608  Filcfil 23356  UnifOncust 23711  unifTopcutop 23742  UnifStcuss 23765  UnifSpcusp 23766  CauFiluccfilu 23798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-fbas 20947  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-nei 22609  df-fil 23357  df-ust 23712  df-utop 23743  df-usp 23769  df-cfilu 23799
This theorem is referenced by:  ucnextcn  23816
  Copyright terms: Public domain W3C validator