MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustincl 23575
Description: A uniform structure is closed under finite intersection. Condition FII of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustincl ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑉 ∩ π‘Š) ∈ π‘ˆ)

Proof of Theorem ustincl
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6885 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
2 isust 23571 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
43ibi 267 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
54simp3d 1145 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
6 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 ↔ 𝑉 βŠ† 𝑀))
76imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
87ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
9 ineq1 4170 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) = (𝑉 ∩ 𝑀))
109eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ))
1110ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ))
12 sseq2 3975 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ↔ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉))
13 cnveq 5834 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑉 β†’ ◑𝑣 = ◑𝑉)
1413eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ (◑𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ))
15 sseq2 3975 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 ↔ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))
1615rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))
1712, 14, 163anbi123d 1437 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣) ↔ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉)))
188, 11, 173anbi123d 1437 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))))
1918rspcv 3580 . . . . 5 (𝑉 ∈ π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))))
205, 19mpan9 508 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉)))
2120simp2d 1144 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ)
22 ineq2 4171 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑉 ∩ 𝑀) = (𝑉 ∩ π‘Š))
2322eleq1d 2823 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ ((𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑉 ∩ π‘Š) ∈ π‘ˆ))
2423rspcv 3580 . . 3 (π‘Š ∈ π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ β†’ (𝑉 ∩ π‘Š) ∈ π‘ˆ))
2521, 24mpan9 508 . 2 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑉 ∩ π‘Š) ∈ π‘ˆ)
26253impa 1111 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑉 ∩ π‘Š) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565   I cid 5535   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  β€˜cfv 6501  UnifOncust 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-res 5650  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ust 23568
This theorem is referenced by:  ustexsym  23583  trust  23597  utoptop  23602  restutopopn  23606  ustuqtop2  23610
  Copyright terms: Public domain W3C validator