Theorem vtxdgop 27558

Description: The vertex degree expressed as operation. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgop	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (VtxDeg‘𝐺) = ((Vtx‘𝐺)VtxDeg(iEdg‘𝐺)))

Proof of Theorem vtxdgop

Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5348	. . 3 ⊢ ⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩ ∈ V
2		fvex 6730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
3		fvex 6730	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
4	2, 3	opvtxfvi 27100	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩) = (Vtx‘𝐺)
5	4	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩)
6	2, 3	opiedgfvi 27101	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩) = (iEdg‘𝐺)
7	6	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
9	5, 7, 8	vtxdgfval 27555	. . 3 ⊢ (⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩ ∈ V → (VtxDeg‘⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩) = (𝑢 ∈ (Vtx‘𝐺) ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}))))
10	1, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (VtxDeg‘⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩) = (𝑢 ∈ (Vtx‘𝐺) ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}))))
11		df-ov 7216	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺)VtxDeg(iEdg‘𝐺)) = (VtxDeg‘⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((Vtx‘𝐺)VtxDeg(iEdg‘𝐺)) = (VtxDeg‘⟨(Vtx‘𝐺), (iEdg‘𝐺)⟩))
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15	13, 14, 8	vtxdgfval 27555	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ (Vtx‘𝐺) ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}))))
16	10, 12, 15	3eqtr4rd 2788	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (VtxDeg‘𝐺) = ((Vtx‘𝐺)VtxDeg(iEdg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408  {csn 4541  ⟨cop 4547   ↦ cmpt 5135  dom cdm 5551  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   +_𝑒 cxad 12702  ♯chash 13896  Vtxcvtx 27087  iEdgciedg 27088  VtxDegcvtxdg 27553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-vtx 27089  df-iedg 27090  df-vtxdg 27554

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2size  27638