Theorem vtxdgfival 28715

Description: The degree of a vertex for graphs of finite size. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.) (Revised by AV, 8-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgval.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgval.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgval.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfival	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtxdgfival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdgval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdgval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
4	1, 2, 3	vtxdgval 28714	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
5	4	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
6		rabfi 9265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
7		hashcl 14312	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 12529	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ)
10		rabfi 9265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)
11		hashcl 14312	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 12529	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ)
14	9, 13	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ))
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ))
16		rexadd 13207	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
18	5, 17	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  {csn 4627  dom cdm 5675  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  ℝcr 11105   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12468   +_𝑒 cxad 13086  ♯chash 14286  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  VtxDegcvtxdg 28711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-xadd 13089  df-hash 14287  df-vtxdg 28712

This theorem is referenced by:  vtxdg0e  28720  vtxdgfisnn0  28721  finsumvtxdg2ssteplem2  28792