MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfival Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfival 29327
Description: The degree of a vertex for graphs of finite size. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.) (Revised by AV, 8-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgval.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdgval.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxdgval.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfival ((𝐴 ∈ Fin ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) + (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem vtxdgfival
StepHypRef Expression
1 vtxdgval.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 vtxdgval.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 vtxdgval.a . . . 4 𝐴 = dom 𝐼
41, 2, 3vtxdgval 29326 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
54adantl 480 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
6 rabfi 9292 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ Fin)
7 hashcl 14347 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)} ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ β„•0)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ β„•0)
98nn0red 12563 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ ℝ)
10 rabfi 9292 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}} ∈ Fin)
11 hashcl 14347 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}} ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0)
1312nn0red 12563 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}}) ∈ ℝ)
149, 13jca 510 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}}) ∈ ℝ))
1514adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}}) ∈ ℝ))
16 rexadd 13243 . . 3 (((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}}) ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) + (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) +𝑒 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) + (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
185, 17eqtrd 2765 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘₯)}) + (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΌβ€˜π‘₯) = {π‘ˆ}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  {csn 4624  dom cdm 5672  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  β„cr 11137   + caddc 11141  β„•0cn0 12502   +𝑒 cxad 13122  β™―chash 14321  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  VtxDegcvtxdg 29323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-xadd 13125  df-hash 14322  df-vtxdg 29324
This theorem is referenced by:  vtxdg0e  29332  vtxdgfisnn0  29333  finsumvtxdg2ssteplem2  29404
  Copyright terms: Public domain W3C validator