Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfival Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfival 27238
 Description: The degree of a vertex for graphs of finite size. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.) (Revised by AV, 8-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgval.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfival ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtxdgfival
StepHypRef Expression
1 vtxdgval.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdgval.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdgval.a . . . 4 𝐴 = dom 𝐼
41, 2, 3vtxdgval 27237 . . 3 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
54adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
6 rabfi 8719 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin)
7 hashcl 13701 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
98nn0red 11934 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ)
10 rabfi 8719 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)
11 hashcl 13701 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
1312nn0red 11934 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ)
149, 13jca 515 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ))
1514adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ))
16 rexadd 12603 . . 3 (((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
1715, 16syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
185, 17eqtrd 2856 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3130  {csn 4540  dom cdm 5528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  ℝcr 10513   + caddc 10517  ℕ0cn0 11875   +𝑒 cxad 12483  ♯chash 13674  Vtxcvtx 26768  iEdgciedg 26769  VtxDegcvtxdg 27234 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-xadd 12486  df-hash 13675  df-vtxdg 27235 This theorem is referenced by:  vtxdg0e  27243  vtxdgfisnn0  27244  finsumvtxdg2ssteplem2  27315
 Copyright terms: Public domain W3C validator