Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgf 27259
 Description: The vertex degree function is a function from vertices to extended nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdgf (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)

Proof of Theorem vtxdgf
Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2822 . . 3 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3 eqid 2822 . . 3 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
41, 2, 3vtxdgfval 27255 . 2 (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}))))
5 eqid 2822 . . . . 5 {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}
6 fvex 6665 . . . . . 6 (iEdg‘𝐺) ∈ V
7 dmexg 7599 . . . . . 6 ((iEdg‘𝐺) ∈ V → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
95, 8rabexd 5212 . . . 4 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V)
10 hashxnn0 13695 . . . 4 ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0*)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0*)
12 eqid 2822 . . . . 5 {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}} = {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}
1312, 8rabexd 5212 . . . 4 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}} ∈ V)
14 hashxnn0 13695 . . . 4 ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0*)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0*)
16 xnn0xaddcl 12616 . . 3 (((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0*) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0*)
1711, 15, 16syl2anc 587 . 2 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0*)
184, 17fmpt3d 6862 1 (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  Vcvv 3469  {csn 4539  dom cdm 5532  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℕ0*cxnn0 11955   +𝑒 cxad 12493  ♯chash 13686  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  VtxDegcvtxdg 27253 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-hash 13687  df-vtxdg 27254 This theorem is referenced by:  vtxdgelxnn0  27260  vtxdgfisf  27264
 Copyright terms: Public domain W3C validator