MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgf 29411
Description: The vertex degree function is a function from vertices to extended nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdgf (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)

Proof of Theorem vtxdgf
Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2726 . . 3 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3 eqid 2726 . . 3 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
41, 2, 3vtxdgfval 29407 . 2 (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}))))
5 eqid 2726 . . . . 5 {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}
6 fvex 6916 . . . . . 6 (iEdg‘𝐺) ∈ V
7 dmexg 7916 . . . . . 6 ((iEdg‘𝐺) ∈ V → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → dom (iEdg‘𝐺) ∈ V)
95, 8rabexd 5342 . . . 4 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V)
10 hashxnn0 14358 . . . 4 ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0*)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0*)
12 eqid 2726 . . . . 5 {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}} = {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}
1312, 8rabexd 5342 . . . 4 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}} ∈ V)
14 hashxnn0 14358 . . . 4 ({𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}} ∈ V → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0*)
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0*)
16 xnn0xaddcl 13270 . . 3 (((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0*) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0*)
1711, 15, 16syl2anc 582 . 2 ((𝐺𝑊𝑢𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑢 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0*)
184, 17fmpt3d 7132 1 (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462  {csn 4633  dom cdm 5684  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  0*cxnn0 12598   +𝑒 cxad 13146  chash 14349  Vtxcvtx 28935  iEdgciedg 28936  VtxDegcvtxdg 29405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12599  df-z 12613  df-uz 12877  df-xadd 13149  df-hash 14350  df-vtxdg 29406
This theorem is referenced by:  vtxdgelxnn0  29412  vtxdgfisf  29416
  Copyright terms: Public domain W3C validator