MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthnon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspthnon 27334
Description: An element of the set of simple paths of a fixed length between two vertices as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Revised by AV, 15-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
wspthnon (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑓,𝑊

Proof of Theorem wspthnon
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4927 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
21exbidv 1880 . 2 (𝑤 = 𝑊 → (∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤 ↔ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
3 eqid 2772 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43iswspthsnon 27332 . 2 (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) = {𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∣ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤}
52, 4elrab2 3593 1 (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2048   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  Vtxcvtx 26474  SPathsOncspthson 27194   WWalksNOn cwwlksnon 27303   WSPathsNOn cwwspthsnon 27305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wwlksnon 27308  df-wspthsnon 27310
This theorem is referenced by:  wspthnonp  27335  wspthsnwspthsnon  27412  elwspths2on  27456  elwspths2spth  27463
  Copyright terms: Public domain W3C validator