Theorem wspthnon 28223

Description: An element of the set of simple paths of a fixed length between two vertices as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Revised by AV, 15-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wspthnon	⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑓,𝑊

Proof of Theorem wspthnon

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5078	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤 ↔ 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
2	1	exbidv 1924	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤 ↔ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	iswspthsnon 28221	. 2 ⊢ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) = {𝑤 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∣ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑤}
5	2, 4	elrab2 3627	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑊))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Vtxcvtx 27366  SPathsOncspthson 28083   WWalksNOn cwwlksnon 28192   WSPathsNOn cwwspthsnon 28194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-wwlksnon 28197  df-wspthsnon 28199

This theorem is referenced by:  wspthnonp  28224  wspthsnwspthsnon  28281  elwspths2on  28325  elwspths2spth  28332