MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elwspths2on Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elwspths2on 29813
Description: A simple path of length 2 between two vertices (in a graph) as length 3 string. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
elwwlks2on.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
elwspths2on ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐢,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   π‘Š,𝑏

Proof of Theorem elwspths2on
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthnon 29711 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) ↔ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š))
21biimpi 215 . . 3 (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š))
3 elwwlks2on.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43elwwlks2on 29812 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))))
5 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ©)
6 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) ↔ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))
76biimpa 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))
85, 7jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))
98ex 411 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
109adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
1110com12 32 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
1211reximdv 3160 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
1312a1i13 27 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))))
1413com24 95 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))))
154, 14sylbid 239 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))))
1615impd 409 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))))
1716com23 86 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ ((π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))))
182, 17mpdi 45 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
196biimpar 476 . . . 4 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))
2019a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))
2120rexlimdva 3145 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))
2218, 21impbid 211 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  2c2 12295  β™―chash 14319  βŸ¨β€œcs3 14823  Vtxcvtx 28851  UPGraphcupgr 28935  Walkscwlks 29452  SPathsOncspthson 29571   WWalksNOn cwwlksnon 29680   WSPathsNOn cwwspthsnon 29682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-s1 14576  df-s2 14829  df-s3 14830  df-edg 28903  df-uhgr 28913  df-upgr 28937  df-wlks 29455  df-wwlks 29683  df-wwlksn 29684  df-wwlksnon 29685  df-wspthsnon 29687
This theorem is referenced by:  usgr2wspthon  29818  elwspths2spth  29820
  Copyright terms: Public domain W3C validator