MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elwspths2on Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elwspths2on 29723
Description: A simple path of length 2 between two vertices (in a graph) as length 3 string. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
elwwlks2on.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
elwspths2on ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐢,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   π‘Š,𝑏

Proof of Theorem elwspths2on
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthnon 29621 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) ↔ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š))
21biimpi 215 . . 3 (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š))
3 elwwlks2on.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43elwwlks2on 29722 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))))
5 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ©)
6 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) ↔ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))
76biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))
85, 7jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))
98ex 412 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
1110com12 32 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
1211reximdv 3164 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
1312a1i13 27 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))))
1413com24 95 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“(𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))))
154, 14sylbid 239 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))))
1615impd 410 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))))
1716com23 86 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ ((π‘Š ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐢) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))))
182, 17mpdi 45 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
196biimpar 477 . . . 4 ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))
2019a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))
2120rexlimdva 3149 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)) β†’ π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢)))
2218, 21impbid 211 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ΄π‘πΆβ€βŸ© ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  2c2 12271  β™―chash 14295  βŸ¨β€œcs3 14799  Vtxcvtx 28764  UPGraphcupgr 28848  Walkscwlks 29362  SPathsOncspthson 29481   WWalksNOn cwwlksnon 29590   WSPathsNOn cwwspthsnon 29592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-wlks 29365  df-wwlks 29593  df-wwlksn 29594  df-wwlksnon 29595  df-wspthsnon 29597
This theorem is referenced by:  usgr2wspthon  29728  elwspths2spth  29730
  Copyright terms: Public domain W3C validator