Theorem wwlknon 27895

Description: An element of the set of walks of a fixed length between two vertices as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Revised by AV, 14-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wwlknon	⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝐵))

Proof of Theorem wwlknon

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6694	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘0) = (𝑊‘0))
2	1	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘0) = 𝐴 ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
3		fveq1 6694	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘𝑁) = (𝑊‘𝑁))
4	3	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘𝑁) = 𝐵 ↔ (𝑊‘𝑁) = 𝐵))
5	2, 4	anbi12d 634	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝐵) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝐵)))
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7	6	iswwlksnon 27891	. . 3 ⊢ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝐵)}
8	5, 7	elrab2 3594	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝐵)))
9		3anass 1097	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝐵)))
10	8, 9	bitr4i 281	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  0cc0 10694  Vtxcvtx 27041   WWalksN cwwlksn 27864   WWalksNOn cwwlksnon 27865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-hash 13862  df-word 14035  df-wwlks 27868  df-wwlksn 27869  df-wwlksnon 27870

This theorem is referenced by:  wwlksnwwlksnon  27953  wspthsnwspthsnon  27954  wspthsnonn0vne  27955  wwlks2onv  27991  elwwlks2ons3im  27992  s3wwlks2on  27994  wpthswwlks2on  27999  elwspths2spth  28005  clwwlknonwwlknonb  28143