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Theorem elwspths2spth 29210
Description: A simple path of length 2 between two vertices as length 3 string in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Feb-2018.) (Revised by AV, 18-May-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
elwwlks2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
elwspths2spth (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (π‘Š ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
Distinct variable groups:   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑝   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑝   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑝

Proof of Theorem elwspths2spth
StepHypRef Expression
1 elwwlks2.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21wspthsnwspthsnon 29159 . . 3 (π‘Š ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (π‘Š ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)))
41elwspths2on 29203 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))))
543expb 1120 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))))
652rexbidva 3217 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))))
7 rexcom 3287 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)))
8 wspthnon 29101 . . . . . . 7 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
9 ancom 461 . . . . . . . . 9 ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ↔ (βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)))
10 19.41v 1953 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘“(𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ (βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)))
119, 10bitr4i 277 . . . . . . . 8 ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)))
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
1412, 13anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
15 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
16 s3cli 14828 . . . . . . . . . . . . . 14 βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ Word V
1715, 16pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ Word V)
181isspthonpth 28995 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ Word V)) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)))
1914, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)))
20 wwlknon 29100 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ↔ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))
21 2nn0 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„•0
22 iswwlksn 29081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ β„•0 β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1))))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1))))
24233anbi1d 1440 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) ↔ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)))
2520, 24bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ↔ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)))
2619, 25anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))))
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))))
2816a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ Word V)
29 simprl1 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©)
30 spthiswlk 28974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©)
31 wlklenvm1 28868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1))
32 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1))
33 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = ((2 + 1) βˆ’ 1))
34 2cn 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ β„‚
35 pncan1 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 ∈ β„‚ β†’ ((2 + 1) βˆ’ 1) = 2)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 + 1) βˆ’ 1) = 2
3733, 36eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = 2)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = 2)
39383ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = 2)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = 2)
4132, 40eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2)
4241ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) β†’ (((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2))
4330, 31, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2))
44433ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) β†’ (((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2))
4544imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2)
47 s3fv0 14838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž)
4847elv 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž
4948eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0)
50 s3fv1 14839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) = 𝑏)
5150elv 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) = 𝑏
5251eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1)
53 s3fv2 14840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)
5453elv 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐
5554eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)
5649, 52, 553pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)))
5829, 46, 573jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))))
59 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ↔ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
60 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (π‘β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0))
6160eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ↔ π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0)))
62 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (π‘β€˜1) = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1))
6362eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (𝑏 = (π‘β€˜1) ↔ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1)))
64 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (π‘β€˜2) = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))
6564eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (𝑐 = (π‘β€˜2) ↔ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)))
6661, 63, 653anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ ((π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)) ↔ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))))
6759, 663anbi13d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)))))
6867ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)))))
6958, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))
7069ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
7128, 70spcimedv 3585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
72 spthiswlk 28974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝)
73 wlklenvp1 28864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ (β™―β€˜π‘) = ((β™―β€˜π‘“) + 1))
74 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ ((β™―β€˜π‘“) + 1) = (2 + 1))
75 2p1e3 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 + 1) = 3
7674, 75eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ ((β™―β€˜π‘“) + 1) = 3)
7776eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ ((β™―β€˜π‘) = ((β™―β€˜π‘“) + 1) ↔ (β™―β€˜π‘) = 3))
7877biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘) = ((β™―β€˜π‘“) + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ (β™―β€˜π‘) = 3))
7972, 73, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ (β™―β€˜π‘) = 3))
8079imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) β†’ (β™―β€˜π‘) = 3)
81803adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ (β™―β€˜π‘) = 3)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ (β™―β€˜π‘) = 3)
83 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = (π‘β€˜0) ↔ (π‘β€˜0) = π‘Ž)
84 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = (π‘β€˜1) ↔ (π‘β€˜1) = 𝑏)
85 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (π‘β€˜2) ↔ (π‘β€˜2) = 𝑐)
8683, 84, 853anbi123i 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)) ↔ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))
8786biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)) β†’ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))
88873ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))
8988adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))
9082, 89jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ ((β™―β€˜π‘) = 3 ∧ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐)))
911wlkpwrd 28863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ Word 𝑉)
9272, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ Word 𝑉)
93923ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ 𝑝 ∈ Word 𝑉)
9412anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
95 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
9694, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
97 eqwrds3 14908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ↔ ((β™―β€˜π‘) = 3 ∧ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))))
9893, 96, 97syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ↔ ((β™―β€˜π‘) = 3 ∧ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))))
9990, 98mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©)
10059biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
1011003ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
103102imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©)
10448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž)
105 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))
106105, 54eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)
1071063ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)
108107ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)
109103, 104, 1083jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐))
110 wlkiswwlks1 29110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
11372, 112syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
1141133ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
115114impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
117 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
118117bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
119118adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
120116, 119mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
121 s3len 14841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = 3
122 df-3 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
123121, 122eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)
124120, 123jctir 521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)))
12554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)
126124, 104, 1253jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))
127109, 126jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)))
12899, 127mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)))
129128ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))))
130129exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))))
13171, 130impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
132131adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
13327, 132bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
134133exbidv 1924 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
13511, 134bitrid 282 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
1368, 135bitrid 282 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
137136pm5.32da 579 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
1381372rexbidva 3217 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
1397, 138bitrid 282 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
140139rexbidva 3176 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
1413, 6, 1403bitrd 304 1 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (π‘Š ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   βˆ’ cmin 11440  2c2 12263  3c3 12264  β„•0cn0 12468  β™―chash 14286  Word cword 14460  βŸ¨β€œcs3 14789  Vtxcvtx 28245  UPGraphcupgr 28329  Walkscwlks 28842  SPathscspths 28959  SPathsOncspthson 28961  WWalkscwwlks 29068   WWalksN cwwlksn 29069   WWalksNOn cwwlksnon 29070   WSPathsN cwwspthsn 29071   WSPathsNOn cwwspthsnon 29072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-edg 28297  df-uhgr 28307  df-upgr 28331  df-wlks 28845  df-wlkson 28846  df-trls 28938  df-trlson 28939  df-pths 28962  df-spths 28963  df-spthson 28965  df-wwlks 29073  df-wwlksn 29074  df-wwlksnon 29075  df-wspthsn 29076  df-wspthsnon 29077
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