MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elwspths2spth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elwspths2spth 28954
Description: A simple path of length 2 between two vertices as length 3 string in a pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Feb-2018.) (Revised by AV, 18-May-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
elwwlks2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
elwspths2spth (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (π‘Š ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
Distinct variable groups:   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑝   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑝   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑓,𝑝

Proof of Theorem elwspths2spth
StepHypRef Expression
1 elwwlks2.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21wspthsnwspthsnon 28903 . . 3 (π‘Š ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (π‘Š ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)))
41elwspths2on 28947 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))))
543expb 1121 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))))
652rexbidva 3208 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))))
7 rexcom 3272 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)))
8 wspthnon 28845 . . . . . . 7 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
9 ancom 462 . . . . . . . . 9 ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ↔ (βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)))
10 19.41v 1954 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘“(𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ (βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)))
119, 10bitr4i 278 . . . . . . . 8 ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)))
12 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
1412, 13anim12i 614 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
15 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
16 s3cli 14776 . . . . . . . . . . . . . 14 βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ Word V
1715, 16pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ Word V)
181isspthonpth 28739 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ Word V)) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)))
1914, 17, 18sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)))
20 wwlknon 28844 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ↔ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))
21 2nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„•0
22 iswwlksn 28825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ β„•0 β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1))))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (2 WWalksN 𝐺) ↔ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1))))
24233anbi1d 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (2 WWalksN 𝐺) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) ↔ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)))
2520, 24bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ↔ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)))
2619, 25anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))))
2726adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))))
2816a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ Word V)
29 simprl1 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©)
30 spthiswlk 28718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©)
31 wlklenvm1 28612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1))
32 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1))
33 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = ((2 + 1) βˆ’ 1))
34 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ β„‚
35 pncan1 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (2 ∈ β„‚ β†’ ((2 + 1) βˆ’ 1) = 2)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 + 1) βˆ’ 1) = 2
3733, 36eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = 2)
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = 2)
39383ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = 2)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) = 2)
4132, 40eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2)
4241ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) βˆ’ 1) β†’ (((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2))
4330, 31, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2))
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) β†’ (((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2))
4544imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 2)
47 s3fv0 14786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž)
4847elv 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž
4948eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0)
50 s3fv1 14787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) = 𝑏)
5150elv 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) = 𝑏
5251eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1)
53 s3fv2 14788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)
5453elv 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐
5554eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)
5649, 52, 553pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)))
5829, 46, 573jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))))
59 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ↔ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
60 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (π‘β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0))
6160eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ↔ π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0)))
62 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (π‘β€˜1) = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1))
6362eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (𝑏 = (π‘β€˜1) ↔ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1)))
64 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (π‘β€˜2) = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))
6564eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (𝑐 = (π‘β€˜2) ↔ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)))
6661, 63, 653anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ ((π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)) ↔ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))))
6759, 663anbi13d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)))))
6867ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) ∧ 𝑏 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜1) ∧ 𝑐 = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2)))))
6958, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ∧ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))
7069ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
7128, 70spcimedv 3553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
72 spthiswlk 28718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝)
73 wlklenvp1 28608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ (β™―β€˜π‘) = ((β™―β€˜π‘“) + 1))
74 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ ((β™―β€˜π‘“) + 1) = (2 + 1))
75 2p1e3 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 + 1) = 3
7674, 75eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ ((β™―β€˜π‘“) + 1) = 3)
7776eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ ((β™―β€˜π‘) = ((β™―β€˜π‘“) + 1) ↔ (β™―β€˜π‘) = 3))
7877biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘) = ((β™―β€˜π‘“) + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ (β™―β€˜π‘) = 3))
7972, 73, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ (β™―β€˜π‘) = 3))
8079imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) β†’ (β™―β€˜π‘) = 3)
81803adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ (β™―β€˜π‘) = 3)
8281adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ (β™―β€˜π‘) = 3)
83 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = (π‘β€˜0) ↔ (π‘β€˜0) = π‘Ž)
84 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = (π‘β€˜1) ↔ (π‘β€˜1) = 𝑏)
85 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (π‘β€˜2) ↔ (π‘β€˜2) = 𝑐)
8683, 84, 853anbi123i 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)) ↔ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))
8786biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)) β†’ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))
88873ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))
8988adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))
9082, 89jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ ((β™―β€˜π‘) = 3 ∧ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐)))
911wlkpwrd 28607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ Word 𝑉)
9272, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ Word 𝑉)
93923ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ 𝑝 ∈ Word 𝑉)
9412anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
95 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
9694, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
97 eqwrds3 14856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ↔ ((β™―β€˜π‘) = 3 ∧ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))))
9893, 96, 97syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ↔ ((β™―β€˜π‘) = 3 ∧ ((π‘β€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜1) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜2) = 𝑐))))
9990, 98mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©)
10059biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
1011003ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
102101adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©))
103102imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©)
10448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž)
105 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2))
106105, 54eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘“) = 2 β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)
1071063ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)
108107ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐)
109103, 104, 1083jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐))
110 wlkiswwlks1 28854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
111110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
112111adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
11372, 112syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
1141133ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
115114impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
116115adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
117 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
118117bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
119118adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ 𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
120116, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ))
121 s3len 14789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = 3
122 df-3 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
123121, 122eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)
124120, 123jctir 522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)))
12554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)
126124, 104, 1253jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))
127109, 126jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)))
12899, 127mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)))
129128ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))))
130129exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐))))
13171, 130impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
132131adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑐) ∧ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) = (2 + 1)) ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜0) = π‘Ž ∧ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©β€˜2) = 𝑐)) ↔ βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
13327, 132bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
134133exbidv 1925 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
13511, 134bitrid 283 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WWalksNOn 𝐺)𝑐) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑐)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
1368, 135bitrid 283 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2)))))
137136pm5.32da 580 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
1381372rexbidva 3208 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
1397, 138bitrid 283 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
140139rexbidva 3170 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∈ (π‘Ž(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
1413, 6, 1403bitrd 305 1 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (π‘Š ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘β€βŸ© ∧ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2 ∧ (π‘Ž = (π‘β€˜0) ∧ 𝑏 = (π‘β€˜1) ∧ 𝑐 = (π‘β€˜2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  3c3 12214  β„•0cn0 12418  β™―chash 14236  Word cword 14408  βŸ¨β€œcs3 14737  Vtxcvtx 27989  UPGraphcupgr 28073  Walkscwlks 28586  SPathscspths 28703  SPathsOncspthson 28705  WWalkscwwlks 28812   WWalksN cwwlksn 28813   WWalksNOn cwwlksnon 28814   WSPathsN cwwspthsn 28815   WSPathsNOn cwwspthsnon 28816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743  df-s3 14744  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-wlks 28589  df-wlkson 28590  df-trls 28682  df-trlson 28683  df-pths 28706  df-spths 28707  df-spthson 28709  df-wwlks 28817  df-wwlksn 28818  df-wwlksnon 28819  df-wspthsn 28820  df-wspthsnon 28821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator