MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthsnwspthsnon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wspthsnwspthsnon 29714
Description: A simple path of fixed length is a simple path of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Revised by AV, 13-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
wspthsnwspthsnon (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
Distinct variable groups:   𝐺,π‘Ž,𝑏   𝑁,π‘Ž,𝑏   𝑉,π‘Ž,𝑏   π‘Š,π‘Ž,𝑏
Proof of Theorem wspthsnwspthsnon
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswspthn 29647 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
2 wwlksnwwlksnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
32wwlksnwwlksnon 29713 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
43anbi1i 623 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
5 r19.41vv 3219 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
64, 5bitr4i 278 . 2 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
7 3anass 1093 . . . . . . . 8 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
87a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))))
9 vex 3473 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
102isspthonpth 29550 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
119, 10mpanr1 702 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
12 spthiswlk 29529 . . . . . . . . . 10 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š)
13 wlklenvm1 29423 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
14 wwlknon 29655 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏))
15 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
17 wwlknbp1 29642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)))
18 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
19183ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
20 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21 pncan1 11660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
23223ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
2419, 23eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
26253ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2816, 27eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 𝑁)
2928fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = (π‘Šβ€˜π‘))
30 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏)
3129, 30eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)
3215, 31jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))
3332ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3414, 33sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3635com12 32 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3712, 13, 363syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3837com12 32 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3938pm4.71d 561 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))))
408, 11, 393bitr4rd 312 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4140exbidv 1917 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4241pm5.32da 578 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š)))
43 wspthnon 29656 . . . 4 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4442, 43bitr4di 289 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
45442rexbiia 3210 . 2 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
461, 6, 453bitri 297 1 (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   βˆ’ cmin 11466  β„•0cn0 12494  β™―chash 14313  Word cword 14488  Vtxcvtx 28796  Walkscwlks 29397  SPathscspths 29514  SPathsOncspthson 29516   WWalksN cwwlksn 29624   WWalksNOn cwwlksnon 29625   WSPathsN cwwspthsn 29626   WSPathsNOn cwwspthsnon 29627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-wlks 29400  df-wlkson 29401  df-trls 29493  df-trlson 29494  df-pths 29517  df-spths 29518  df-spthson 29520  df-wwlks 29628  df-wwlksn 29629  df-wwlksnon 29630  df-wspthsn 29631  df-wspthsnon 29632
This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  29721  elwspths2spth  29765  fusgr2wsp2nb  30131
  Copyright terms: Public domain W3C validator