Theorem wspthsnwspthsnon 29936

Description: A simple path of fixed length is a simple path of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Revised by AV, 13-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlksnwwlksnon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspthsnwspthsnon	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wspthsnwspthsnon

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswspthn 29869	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
2		wwlksnwwlksnon.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wwlksnwwlksnon 29935	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
4	3	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
5		r19.41vv 3227	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
6	4, 5	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
7		3anass 1095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
9		vex 3484	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
10	2	isspthonpth 29769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
11	9, 10	mpanr1 703	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
12		spthiswlk 29746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑊)
13		wlklenvm1 29640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
14		wwlknon 29877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
15		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘0) = 𝑎)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
17		wwlknbp1 29864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
18		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
19	18	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
20		nn0cn 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
21		pncan1 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	22	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	19, 23	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
26	25	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
28	16, 27	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
29	28	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = (𝑊‘𝑁))
30		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘𝑁) = 𝑏)
31	29, 30	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)
32	15, 31	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
34	14, 33	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
37	12, 13, 36	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
38	37	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
39	38	pm4.71d 561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
40	8, 11, 39	3bitr4rd 312	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
41	40	exbidv 1921	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
42	41	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
43		wspthnon 29878	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
44	42, 43	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
45	44	2rexbiia 3218	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
46	1, 6, 45	3bitri 297	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369  Word cword 14552  Vtxcvtx 29013  Walkscwlks 29614  SPathscspths 29731  SPathsOncspthson 29733   WWalksN cwwlksn 29846   WWalksNOn cwwlksnon 29847   WSPathsN cwwspthsn 29848   WSPathsNOn cwwspthsnon 29849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617  df-wlkson 29618  df-trls 29710  df-trlson 29711  df-pths 29734  df-spths 29735  df-spthson 29737  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851  df-wwlksnon 29852  df-wspthsn 29853  df-wspthsnon 29854

This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  29943  elwspths2spth  29987  fusgr2wsp2nb  30353