MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthsnwspthsnon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wspthsnwspthsnon 29783
Description: A simple path of fixed length is a simple path of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Revised by AV, 13-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
wspthsnwspthsnon (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
Distinct variable groups:   𝐺,π‘Ž,𝑏   𝑁,π‘Ž,𝑏   𝑉,π‘Ž,𝑏   π‘Š,π‘Ž,𝑏
Proof of Theorem wspthsnwspthsnon
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswspthn 29716 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
2 wwlksnwwlksnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
32wwlksnwwlksnon 29782 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
43anbi1i 622 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
5 r19.41vv 3215 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
64, 5bitr4i 277 . 2 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
7 3anass 1092 . . . . . . . 8 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
87a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))))
9 vex 3467 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
102isspthonpth 29619 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
119, 10mpanr1 701 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
12 spthiswlk 29598 . . . . . . . . . 10 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š)
13 wlklenvm1 29492 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
14 wwlknon 29724 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏))
15 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž)
16 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
17 wwlknbp1 29711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)))
18 oveq1 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
19183ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
20 nn0cn 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21 pncan1 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
23223ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
2419, 23eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
26253ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2816, 27eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 𝑁)
2928fveq2d 6898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = (π‘Šβ€˜π‘))
30 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏)
3129, 30eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)
3215, 31jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))
3332ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3414, 33sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3534adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3635com12 32 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3712, 13, 363syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3837com12 32 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3938pm4.71d 560 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))))
408, 11, 393bitr4rd 311 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4140exbidv 1916 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4241pm5.32da 577 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š)))
43 wspthnon 29725 . . . 4 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4442, 43bitr4di 288 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
45442rexbiia 3206 . 2 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
461, 6, 453bitri 296 1 (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   βˆ’ cmin 11474  β„•0cn0 12502  β™―chash 14321  Word cword 14496  Vtxcvtx 28865  Walkscwlks 29466  SPathscspths 29583  SPathsOncspthson 29585   WWalksN cwwlksn 29693   WWalksNOn cwwlksnon 29694   WSPathsN cwwspthsn 29695   WSPathsNOn cwwspthsnon 29696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-wlks 29469  df-wlkson 29470  df-trls 29562  df-trlson 29563  df-pths 29586  df-spths 29587  df-spthson 29589  df-wwlks 29697  df-wwlksn 29698  df-wwlksnon 29699  df-wspthsn 29700  df-wspthsnon 29701
This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  29790  elwspths2spth  29834  fusgr2wsp2nb  30200
  Copyright terms: Public domain W3C validator