MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthsnwspthsnon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wspthsnwspthsnon 29159
Description: A simple path of fixed length is a simple path of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Revised by AV, 13-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
wspthsnwspthsnon (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
Distinct variable groups:   𝐺,π‘Ž,𝑏   𝑁,π‘Ž,𝑏   𝑉,π‘Ž,𝑏   π‘Š,π‘Ž,𝑏
Proof of Theorem wspthsnwspthsnon
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswspthn 29092 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
2 wwlksnwwlksnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
32wwlksnwwlksnon 29158 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
43anbi1i 624 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
5 r19.41vv 3224 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
64, 5bitr4i 277 . 2 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š))
7 3anass 1095 . . . . . . . 8 ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
87a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))))
9 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
102isspthonpth 28995 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
119, 10mpanr1 701 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
12 spthiswlk 28974 . . . . . . . . . 10 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š)
13 wlklenvm1 28868 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)π‘Š β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
14 wwlknon 29100 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏))
15 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž)
16 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
17 wwlknbp1 29087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)))
18 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
19183ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
20 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21 pncan1 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
2419, 23eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (𝑁 + 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
26253ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) = 𝑁)
2816, 27eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 𝑁)
2928fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = (π‘Šβ€˜π‘))
30 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏)
3129, 30eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)
3215, 31jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))
3332ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜π‘) = 𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3414, 33sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3635com12 32 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3712, 13, 363syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3837com12 32 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š β†’ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏)))
3938pm4.71d 562 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ∧ ((π‘Šβ€˜0) = π‘Ž ∧ (π‘Šβ€˜(β™―β€˜π‘“)) = 𝑏))))
408, 11, 393bitr4rd 311 . . . . . 6 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4140exbidv 1924 . . . . 5 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4241pm5.32da 579 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š)))
43 wspthnon 29101 . . . 4 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(π‘Ž(SPathsOnβ€˜πΊ)𝑏)π‘Š))
4442, 43bitr4di 288 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
45442rexbiia 3215 . 2 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)π‘Š) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
461, 6, 453bitri 296 1 (π‘Š ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 π‘Š ∈ (π‘Ž(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  β™―chash 14286  Word cword 14460  Vtxcvtx 28245  Walkscwlks 28842  SPathscspths 28959  SPathsOncspthson 28961   WWalksN cwwlksn 29069   WWalksNOn cwwlksnon 29070   WSPathsN cwwspthsn 29071   WSPathsNOn cwwspthsnon 29072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 28845  df-wlkson 28846  df-trls 28938  df-trlson 28939  df-pths 28962  df-spths 28963  df-spthson 28965  df-wwlks 29073  df-wwlksn 29074  df-wwlksnon 29075  df-wspthsn 29076  df-wspthsnon 29077
This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  29166  elwspths2spth  29210  fusgr2wsp2nb  29576
  Copyright terms: Public domain W3C validator