Theorem wspthsnwspthsnon 29949

Description: A simple path of fixed length is a simple path of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (Revised by AV, 13-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlksnwwlksnon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspthsnwspthsnon	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wspthsnwspthsnon

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswspthn 29882	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
2		wwlksnwwlksnon.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wwlksnwwlksnon 29948	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))
4	3	anbi1i 623	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
5		r19.41vv 3233	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
6	4, 5	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
7		3anass 1095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
9		vex 3492	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
10	2	isspthonpth 29785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
11	9, 10	mpanr1 702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
12		spthiswlk 29764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑊)
13		wlklenvm1 29658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
14		wwlknon 29890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏))
15		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘0) = 𝑎)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
17		wwlknbp1 29877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
18		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
19	18	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
20		nn0cn 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
21		pncan1 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	19, 23	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
28	16, 27	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
29	28	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = (𝑊‘𝑁))
30		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘𝑁) = 𝑏)
31	29, 30	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)
32	15, 31	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
34	14, 33	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
37	12, 13, 36	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
38	37	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
39	38	pm4.71d 561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
40	8, 11, 39	3bitr4rd 312	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
41	40	exbidv 1920	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
42	41	pm5.32da 578	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
43		wspthnon 29891	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
44	42, 43	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
45	44	2rexbiia 3224	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
46	1, 6, 45	3bitri 297	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ♯chash 14379  Word cword 14562  Vtxcvtx 29031  Walkscwlks 29632  SPathscspths 29749  SPathsOncspthson 29751   WWalksN cwwlksn 29859   WWalksNOn cwwlksnon 29860   WSPathsN cwwspthsn 29861   WSPathsNOn cwwspthsnon 29862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-wlks 29635  df-wlkson 29636  df-trls 29728  df-trlson 29729  df-pths 29752  df-spths 29753  df-spthson 29755  df-wwlks 29863  df-wwlksn 29864  df-wwlksnon 29865  df-wspthsn 29866  df-wspthsnon 29867

This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  29956  elwspths2spth  30000  fusgr2wsp2nb  30366