Theorem xmulasslem2 13232

Description: Lemma for xmulass 13237. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem2	⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝜑)

Proof of Theorem xmulasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5083	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < -∞))
2		0xr 11190	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		nltmnf 13078	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -∞
5	4	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (0 < -∞ → 𝜑)
6	1, 5	biimtrdi 254	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 → 𝜑))
7	6	impcom 408	1 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  0cc0 11036  -∞cmnf 11175  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-addrcl 11097  ax-rnegex 11107  ax-cnre 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182

This theorem is referenced by:  xmulgt0  13233  xmulasslem3  13236