Theorem xmulasslem2 13280

Description: Lemma for xmulass 13285. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem2	⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝜑)

Proof of Theorem xmulasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5103	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < -∞))
2		0xr 11224	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		nltmnf 13126	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -∞
5	4	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (0 < -∞ → 𝜑)
6	1, 5	biimtrdi 255	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 → 𝜑))
7	6	impcom 411	1 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  0cc0 11068  -∞cmnf 11209  ℝ^*cxr 11210   < clt 11211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216

This theorem is referenced by:  xmulgt0  13281  xmulasslem3  13284