MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulasslem2 13210
Description: Lemma for xmulass 13215. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulasslem2 ((0 < 𝐴𝐴 = -∞) → 𝜑)

Proof of Theorem xmulasslem2
StepHypRef Expression
1 breq2 5113 . . 3 (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < -∞))
2 0xr 11210 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
3 nltmnf 13058 . . . . 5 (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 ¬ 0 < -∞
54pm2.21i 119 . . 3 (0 < -∞ → 𝜑)
61, 5syl6bi 253 . 2 (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴𝜑))
76impcom 409 1 ((0 < 𝐴𝐴 = -∞) → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5109  0cc0 11059  -∞cmnf 11195  *cxr 11196   < clt 11197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-addrcl 11120  ax-rnegex 11130  ax-cnre 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202
This theorem is referenced by:  xmulgt0  13211  xmulasslem3  13214
  Copyright terms: Public domain W3C validator