Theorem xmulasslem2 13325

Description: Lemma for xmulass 13330. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem2	⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝜑)

Proof of Theorem xmulasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5146	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < -∞))
2		0xr 11309	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		nltmnf 13172	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -∞
5	4	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (0 < -∞ → 𝜑)
6	1, 5	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 → 𝜑))
7	6	impcom 407	1 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  0cc0 11156  -∞cmnf 11294  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-addrcl 11217  ax-rnegex 11227  ax-cnre 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301

This theorem is referenced by:  xmulgt0  13326  xmulasslem3  13329