Theorem xmulasslem2 13304

Description: Lemma for xmulass 13309. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem2	⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝜑)

Proof of Theorem xmulasslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5114	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < -∞))
2		0xr 11252	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		nltmnf 13150	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < -∞
5	4	pm2.21i 120	. . 3 ⊢ (0 < -∞ → 𝜑)
6	1, 5	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝐴 = -∞ → (0 < 𝐴 → 𝜑))
7	6	impcom 412	1 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  0cc0 11096  -∞cmnf 11237  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-addrcl 11157  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244

This theorem is referenced by:  xmulgt0  13305  xmulasslem3  13308