MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulasslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulasslem3 13271
Description: Lemma for xmulass 13272. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulasslem3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))

Proof of Theorem xmulasslem3
StepHypRef Expression
1 recn 11202 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 recn 11202 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 recn 11202 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 mulass 11200 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
51, 2, 3, 4syl3an 1157 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
653expa 1115 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
7 remulcl 11197 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
8 rexmul 13256 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ))
97, 8sylan 579 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ))
10 remulcl 11197 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
11 rexmul 13256 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
1210, 11sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
1312anassrs 467 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
146, 9, 133eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยท ๐ถ)))
15 rexmul 13256 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1716oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทe ๐ถ))
18 rexmul 13256 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
1918adantll 711 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
2019oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)) = (๐ด ยทe (๐ต ยท ๐ถ)))
2114, 17, 203eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
2221adantll 711 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
23 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (๐ถ = +โˆž โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe +โˆž))
24 simp1l 1194 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
25 simp2l 1196 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
26 xmulcl 13258 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*)
2724, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„*)
28 xmulgt0 13268 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
29283adant3 1129 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
30 xmulpnf1 13259 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยทe ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (๐ด ยทe ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe +โˆž) = +โˆž)
3127, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe +โˆž) = +โˆž)
3223, 31sylan9eqr 2788 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = +โˆž)
33 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด))
34 xmulpnf1 13259 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
3632, 35eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe +โˆž))
37 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (๐ถ = +โˆž โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ต ยทe +โˆž))
38 xmulpnf1 13259 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) = +โˆž)
39383ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยทe +โˆž) = +โˆž)
4037, 39sylan9eqr 2788 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = +โˆž)
4140oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)) = (๐ด ยทe +โˆž))
4236, 41eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
4342adantlr 712 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
44 simpl3r 1226 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < ๐ถ)
45 xmulasslem2 13267 . . . . . 6 ((0 < ๐ถ โˆง ๐ถ = -โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
4644, 45sylan 579 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โˆง ๐ถ = -โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
47 simp3l 1198 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
48 elxr 13102 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„* โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž))
4947, 48sylib 217 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž))
5049adantr 480 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆจ ๐ถ = +โˆž โˆจ ๐ถ = -โˆž))
5122, 43, 46, 50mpjao3dan 1428 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
5251anassrs 467 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
53 xmulpnf2 13260 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž)
54533ad2ant3 1132 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž)
55343ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
5654, 55eqtr4d 2769 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe +โˆž))
5756adantr 480 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe +โˆž))
58 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐ต = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe +โˆž))
5958, 55sylan9eqr 2788 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = +โˆž)
6059oveq1d 7420 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (+โˆž ยทe ๐ถ))
61 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐ต = +โˆž โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (+โˆž ยทe ๐ถ))
6261, 54sylan9eqr 2788 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = +โˆž)
6362oveq2d 7421 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)) = (๐ด ยทe +โˆž))
6457, 60, 633eqtr4d 2776 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
6564adantlr 712 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
66 simpl2r 1224 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐ต)
67 xmulasslem2 13267 . . . 4 ((0 < ๐ต โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
6866, 67sylan 579 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
69 elxr 13102 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„* โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
7025, 69sylib 217 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
7170adantr 480 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
7252, 65, 68, 71mpjao3dan 1428 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
73 simpl3 1190 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ))
7473, 53syl 17 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ถ) = +โˆž)
75 oveq1 7412 . . . . 5 (๐ด = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (+โˆž ยทe ๐ต))
76 xmulpnf2 13260 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
77763ad2ant2 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
7875, 77sylan9eqr 2788 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = +โˆž)
7978oveq1d 7420 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (+โˆž ยทe ๐ถ))
80 oveq1 7412 . . . 4 (๐ด = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)) = (+โˆž ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
81 xmulcl 13258 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
8225, 47, 81syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„*)
83 xmulgt0 13268 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < (๐ต ยทe ๐ถ))
84833adant1 1127 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < (๐ต ยทe ๐ถ))
85 xmulpnf2 13260 . . . . 5 (((๐ต ยทe ๐ถ) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (๐ต ยทe ๐ถ)) โ†’ (+โˆž ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)) = +โˆž)
8682, 84, 85syl2anc 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (+โˆž ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)) = +โˆž)
8780, 86sylan9eqr 2788 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)) = +โˆž)
8874, 79, 873eqtr4d 2776 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
89 simp1r 1195 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < ๐ด)
90 xmulasslem2 13267 . . 3 ((0 < ๐ด โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
9189, 90sylan 579 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
92 elxr 13102 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
9324, 92sylib 217 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
9472, 88, 91, 93mpjao3dan 1428 1 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ต) ยทe ๐ถ) = (๐ด ยทe (๐ต ยทe ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ w3o 1083   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  -โˆžcmnf 11250  โ„*cxr 11251   < clt 11252   ยทe cxmu 13097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-xmul 13100
This theorem is referenced by:  xmulass  13272
  Copyright terms: Public domain W3C validator