Theorem xmulasslem3 13213

Description: Lemma for xmulass 13214. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xmulasslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recn 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mulass 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
6	5	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
7		remulcl 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
8		rexmul 13198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶))
9	7, 8	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶))
10		remulcl 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
11		rexmul 13198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
12	10, 11	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
13	12	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
14	6, 9, 13	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)))
15		rexmul 13198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
17	16	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) ·e 𝐶))
18		rexmul 13198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
19	18	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
20	19	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)))
21	14, 17, 20	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
22	21	adantll 715	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
23		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐵) ·e +∞))
24		simp1l 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		simp2l 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26		xmulcl 13200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
27	24, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
28		xmulgt0 13210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
29	28	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
30		xmulpnf1 13201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e +∞) = +∞)
31	27, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e +∞) = +∞)
32	23, 31	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = +∞)
33		simpl1 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴))
34		xmulpnf1 13201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
36	32, 35	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
37		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e +∞))
38		xmulpnf1 13201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
39	38	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
40	37, 39	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = +∞)
41	40	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
42	36, 41	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
43	42	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
44		simpl3r 1231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < 𝐶)
45		xmulasslem2 13209	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
46	44, 45	sylan 581	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
47		simp3l 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
48		elxr 13042	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
49	47, 48	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
50	49	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
51	22, 43, 46, 50	mpjao3dan 1435	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
52	51	anassrs 467	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
53		xmulpnf2 13202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
54	53	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
55	34	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
56	54, 55	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
57	56	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
58		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
59	58, 55	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
60	59	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
61		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
62	61, 54	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = +∞)
63	62	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
64	57, 60, 63	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
65	64	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
66		simpl2r 1229	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝐵)
67		xmulasslem2 13209	. . . 4 ⊢ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
68	66, 67	sylan 581	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
69		elxr 13042	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
70	25, 69	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
71	70	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
72	52, 65, 68, 71	mpjao3dan 1435	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
73		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶))
74	73, 53	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
75		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
76		xmulpnf2 13202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
77	76	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
78	75, 77	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
79	78	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
80		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (+∞ ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
81		xmulcl 13200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
82	25, 47, 81	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
83		xmulgt0 13210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (𝐵 ·e 𝐶))
84	83	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (𝐵 ·e 𝐶))
85		xmulpnf2 13202	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐵 ·e 𝐶)) → (+∞ ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
86	82, 84, 85	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (+∞ ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
87	80, 86	sylan9eqr 2794	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
88	74, 79, 87	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
89		simp1r 1200	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐴)
90		xmulasslem2 13209	. . 3 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
91	89, 90	sylan 581	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
92		elxr 13042	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
93	24, 92	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
94	72, 88, 91, 93	mpjao3dan 1435	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ·_e cxmu 13037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-xmul 13040

This theorem is referenced by:  xmulass  13214