Theorem xmulasslem3 13313

Description: Lemma for xmulass 13314. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xmulasslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recn 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mulass 11189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
6	5	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
7		remulcl 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
8		rexmul 13298	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶))
9	7, 8	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶))
10		remulcl 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
11		rexmul 13298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
12	10, 11	sylan2 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
13	12	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
14	6, 9, 13	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)))
15		rexmul 13298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
16	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
17	16	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 · 𝐵) ·e 𝐶))
18		rexmul 13298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
19	18	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
20	19	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 · 𝐶)))
21	14, 17, 20	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
22	21	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
23		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐵) ·e +∞))
24		simp1l 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		simp2l 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26		xmulcl 13300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
27	24, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
28		xmulgt0 13310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
29	28	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
30		xmulpnf1 13301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e +∞) = +∞)
31	27, 29, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e +∞) = +∞)
32	23, 31	sylan9eqr 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = +∞)
33		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴))
34		xmulpnf1 13301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
36	32, 35	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
37		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e +∞))
38		xmulpnf1 13301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 ·e +∞) = +∞)
40	37, 39	sylan9eqr 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = +∞)
41	40	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
42	36, 41	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
43	42	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
44		simpl3r 1248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < 𝐶)
45		xmulasslem2 13309	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐶 ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
46	44, 45	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
47		simp3l 1220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
48		elxr 13142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
49	47, 48	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
50	49	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
51	22, 43, 46, 50	mpjao3dan 1459	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
52	51	anassrs 472	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
53		xmulpnf2 13302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
54	53	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
55	34	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
56	54, 55	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
57	56	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = (𝐴 ·e +∞))
58		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
59	58, 55	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
60	59	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
61		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
62	61, 54	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ·e 𝐶) = +∞)
63	62	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e +∞))
64	57, 60, 63	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
65	64	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
66		simpl2r 1246	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝐵)
67		xmulasslem2 13309	. . . 4 ⊢ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
68	66, 67	sylan 591	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
69		elxr 13142	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
70	25, 69	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
71	70	adantr 485	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
72	52, 65, 68, 71	mpjao3dan 1459	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
73		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶))
74	73, 53	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) = +∞)
75		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
76		xmulpnf2 13302	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
77	76	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
78	75, 77	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
79	78	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
80		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (+∞ ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
81		xmulcl 13300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
82	25, 47, 81	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
83		xmulgt0 13310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (𝐵 ·e 𝐶))
84	83	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (𝐵 ·e 𝐶))
85		xmulpnf2 13302	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐵 ·e 𝐶)) → (+∞ ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
86	82, 84, 85	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (+∞ ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
87	80, 86	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = +∞)
88	74, 79, 87	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
89		simp1r 1217	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐴)
90		xmulasslem2 13309	. . 3 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
91	89, 90	sylan 591	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
92		elxr 13142	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
93	24, 92	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
94	72, 88, 91, 93	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ·_e cxmu 13137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-xmul 13140

This theorem is referenced by:  xmulass  13314