MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulm1 13261
Description: Extended real version of mulm1 11654. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulm1 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-1 ยทe ๐ด) = -๐‘’๐ด)

Proof of Theorem xmulm1
StepHypRef Expression
1 1re 11213 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
2 rexneg 13191 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘’1 = -1)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 -๐‘’1 = -1
43oveq1i 7412 . . 3 (-๐‘’1 ยทe ๐ด) = (-1 ยทe ๐ด)
5 1xr 11272 . . . 4 1 โˆˆ โ„*
6 xmulneg1 13249 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„*) โ†’ (-๐‘’1 ยทe ๐ด) = -๐‘’(1 ยทe ๐ด))
75, 6mpan 687 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-๐‘’1 ยทe ๐ด) = -๐‘’(1 ยทe ๐ด))
84, 7eqtr3id 2778 . 2 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-1 ยทe ๐ด) = -๐‘’(1 ยทe ๐ด))
9 xmullid 13260 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (1 ยทe ๐ด) = ๐ด)
10 xnegeq 13187 . . 3 ((1 ยทe ๐ด) = ๐ด โ†’ -๐‘’(1 ยทe ๐ด) = -๐‘’๐ด)
119, 10syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ -๐‘’(1 ยทe ๐ด) = -๐‘’๐ด)
128, 11eqtrd 2764 1 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (-1 ยทe ๐ด) = -๐‘’๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  โ„cr 11106  1c1 11108  โ„*cxr 11246  -cneg 11444  -๐‘’cxne 13090   ยทe cxmu 13092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-xneg 13093  df-xmul 13095
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator