Theorem xmulm1 13293

Description: Extended real version of mulm1 11686. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulm1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-1 ·e 𝐴) = -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xmulm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11245	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		rexneg 13223	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → -𝑒1 = -1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -𝑒1 = -1
4	3	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ (-𝑒1 ·e 𝐴) = (-1 ·e 𝐴)
5		1xr 11304	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
6		xmulneg1 13281	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒1 ·e 𝐴) = -𝑒(1 ·e 𝐴))
7	5, 6	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-𝑒1 ·e 𝐴) = -𝑒(1 ·e 𝐴))
8	4, 7	eqtr3id 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-1 ·e 𝐴) = -𝑒(1 ·e 𝐴))
9		xmullid 13292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
10		xnegeq 13219	. . 3 ⊢ ((1 ·e 𝐴) = 𝐴 → -𝑒(1 ·e 𝐴) = -𝑒𝐴)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒(1 ·e 𝐴) = -𝑒𝐴)
12	8, 11	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-1 ·e 𝐴) = -𝑒𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  1c1 11140  ℝ^*cxr 11278  -cneg 11476  -_𝑒cxne 13122   ·_e cxmu 13124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-xneg 13125  df-xmul 13127

This theorem is referenced by: (None)