Theorem xmulm1 13284

Description: Extended real version of mulm1 11677. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulm1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-1 ·e 𝐴) = -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xmulm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11236	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		rexneg 13214	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → -𝑒1 = -1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ -𝑒1 = -1
4	3	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ (-𝑒1 ·e 𝐴) = (-1 ·e 𝐴)
5		1xr 11295	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
6		xmulneg1 13272	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒1 ·e 𝐴) = -𝑒(1 ·e 𝐴))
7	5, 6	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-𝑒1 ·e 𝐴) = -𝑒(1 ·e 𝐴))
8	4, 7	eqtr3id 2781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-1 ·e 𝐴) = -𝑒(1 ·e 𝐴))
9		xmullid 13283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
10		xnegeq 13210	. . 3 ⊢ ((1 ·e 𝐴) = 𝐴 → -𝑒(1 ·e 𝐴) = -𝑒𝐴)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒(1 ·e 𝐴) = -𝑒𝐴)
12	8, 11	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-1 ·e 𝐴) = -𝑒𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  1c1 11131  ℝ^*cxr 11269  -cneg 11467  -_𝑒cxne 13113   ·_e cxmu 13115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-xneg 13116  df-xmul 13118

This theorem is referenced by: (None)