Theorem xmulass 13266

Description: Associativity of the extended real multiplication operation. Surprisingly, there are no restrictions on the values, unlike xaddass 13228 which has to avoid the "undefined" combinations +∞ +_𝑒 -∞ and -∞ +_𝑒 +∞. The equivalent "undefined" expression here would be 0 ·_e +∞, but since this is defined to equal 0 any zeroes in the expression make the whole thing evaluate to zero (on both sides), thus establishing the identity in this case. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulass	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xmulass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
2	1	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
3		oveq1 7416	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
4	2, 3	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) ↔ ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶))))
5		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐴 → (𝑥 ·e 𝐵) = (-𝑒𝐴 ·e 𝐵))
6	5	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐴 → ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
7		oveq1 7416	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐴 → (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
8	6, 7	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐴 → (((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) ↔ ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶))))
9		xmulcl 13252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
10		xmulcl 13252	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11	9, 10	stoic3 1779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
12		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		xmulcl 13252	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14	13	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
15		xmulcl 13252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
16	12, 14, 15	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
17		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑥 ·e 𝐵))
18	17	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
19		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
20	19	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)) = (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
21	18, 20	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)) ↔ ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶))))
22		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝐵 → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑥 ·e -𝑒𝐵))
23	22	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝐵 → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e -𝑒𝐵) ·e 𝐶))
24		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝐵 → (𝑦 ·e 𝐶) = (-𝑒𝐵 ·e 𝐶))
25	24	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝐵 → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)) = (𝑥 ·e (-𝑒𝐵 ·e 𝐶)))
26	23, 25	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝐵 → (((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)) ↔ ((𝑥 ·e -𝑒𝐵) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (-𝑒𝐵 ·e 𝐶))))
27		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
28		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
29		xmulcl 13252	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
30	27, 28, 29	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑥 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
31		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
32		xmulcl 13252	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
33	30, 31, 32	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
34	14	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
35		xmulcl 13252	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
36	27, 34, 35	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
37		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶))
38		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑦 ·e 𝑧) = (𝑦 ·e 𝐶))
39	38	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)))
40	37, 39	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)) ↔ ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶))))
41		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑒𝐶 → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = ((𝑥 ·e 𝑦) ·e -𝑒𝐶))
42		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑒𝐶 → (𝑦 ·e 𝑧) = (𝑦 ·e -𝑒𝐶))
43	42	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑒𝐶 → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e -𝑒𝐶)))
44	41, 43	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑧 = -𝑒𝐶 → (((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)) ↔ ((𝑥 ·e 𝑦) ·e -𝑒𝐶) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e -𝑒𝐶))))
45	27	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
47		xmulcl 13252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
48	45, 46, 47	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ*)
49	31	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
50		xmulcl 13252	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
51	48, 49, 50	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
52		xmulcl 13252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
53	46, 49, 52	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
54		xmulcl 13252	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑦 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
55	45, 53, 54	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
56		xmulasslem3 13265	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑧)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
57	56	ad4ant234 1176	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑧)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)))
58		xmul01 13246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ* → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 0) = 0)
59	48, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 0) = 0)
60		xmul01 13246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 0) = 0)
61	45, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
62	59, 61	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 0) = (𝑥 ·e 0))
63		xmul01 13246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ·e 0) = 0)
64	63	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑦 ·e 0) = 0)
65	64	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 0)) = (𝑥 ·e 0))
66	62, 65	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 0) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 0)))
67		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 0))
68		oveq2 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑦 ·e 𝑧) = (𝑦 ·e 0))
69	68	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 0)))
70	67, 69	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧)) ↔ ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 0) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 0))))
71	66, 70	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑧 = 0 → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝑧) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝑧))))
72		xmulneg2 13249	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·e 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e -𝑒𝐶) = -𝑒((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶))
73	48, 49, 72	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e -𝑒𝐶) = -𝑒((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶))
74		xmulneg2 13249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑦 ·e -𝑒𝐶) = -𝑒(𝑦 ·e 𝐶))
75	46, 49, 74	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑦 ·e -𝑒𝐶) = -𝑒(𝑦 ·e 𝐶))
76	75	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑥 ·e (𝑦 ·e -𝑒𝐶)) = (𝑥 ·e -𝑒(𝑦 ·e 𝐶)))
77		xmulneg2 13249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑦 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e -𝑒(𝑦 ·e 𝐶)) = -𝑒(𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)))
78	45, 53, 77	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑥 ·e -𝑒(𝑦 ·e 𝐶)) = -𝑒(𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)))
79	76, 78	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → (𝑥 ·e (𝑦 ·e -𝑒𝐶)) = -𝑒(𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)))
80	40, 44, 51, 55, 49, 57, 71, 73, 79	xmulasslem 13264	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑦)) → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)))
81		xmul02 13247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
82	81	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ·e 𝐶) = 0)
83	82	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (0 ·e 𝐶) = 0)
84	60	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
85	83, 84	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (0 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 0))
86	84	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → ((𝑥 ·e 0) ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
87	83	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑥 ·e (0 ·e 𝐶)) = (𝑥 ·e 0))
88	85, 86, 87	3eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → ((𝑥 ·e 0) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (0 ·e 𝐶)))
89		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 ·e 𝑦) = (𝑥 ·e 0))
90	89	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 0) ·e 𝐶))
91		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
92	91	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)) = (𝑥 ·e (0 ·e 𝐶)))
93	90, 92	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶)) ↔ ((𝑥 ·e 0) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (0 ·e 𝐶))))
94	88, 93	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑦 = 0 → ((𝑥 ·e 𝑦) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝑦 ·e 𝐶))))
95		xmulneg2 13249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e -𝑒𝐵) = -𝑒(𝑥 ·e 𝐵))
96	27, 28, 95	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑥 ·e -𝑒𝐵) = -𝑒(𝑥 ·e 𝐵))
97	96	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → ((𝑥 ·e -𝑒𝐵) ·e 𝐶) = (-𝑒(𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
98		xmulneg1 13248	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = -𝑒((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
99	30, 31, 98	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (-𝑒(𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = -𝑒((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
100	97, 99	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → ((𝑥 ·e -𝑒𝐵) ·e 𝐶) = -𝑒((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
101		xmulneg1 13248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐵 ·e 𝐶))
102	28, 31, 101	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (-𝑒𝐵 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐵 ·e 𝐶))
103	102	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑥 ·e (-𝑒𝐵 ·e 𝐶)) = (𝑥 ·e -𝑒(𝐵 ·e 𝐶)))
104		xmulneg2 13249	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e -𝑒(𝐵 ·e 𝐶)) = -𝑒(𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
105	27, 34, 104	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑥 ·e -𝑒(𝐵 ·e 𝐶)) = -𝑒(𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
106	103, 105	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑥 ·e (-𝑒𝐵 ·e 𝐶)) = -𝑒(𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
107	21, 26, 33, 36, 28, 80, 94, 100, 106	xmulasslem 13264	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
108		xmul02 13247	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
109	108	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ·e 𝐵) = 0)
110	109	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((0 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
111		xmul02 13247	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (0 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = 0)
112	14, 111	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (0 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = 0)
113	82, 110, 112	3eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((0 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (0 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
114		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
115	114	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = ((0 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
116		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = (0 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
117	115, 116	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) ↔ ((0 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (0 ·e (𝐵 ·e 𝐶))))
118	113, 117	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 0 → ((𝑥 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝑥 ·e (𝐵 ·e 𝐶))))
119		xmulneg1 13248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
120	119	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
121	120	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
122		xmulneg1 13248	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
123	9, 122	stoic3 1779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
124	121, 123	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶))
125		xmulneg1 13248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
126	12, 14, 125	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))
127	4, 8, 11, 16, 12, 107, 118, 124, 126	xmulasslem 13264	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐴 ·e (𝐵 ·e 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  -_𝑒cxne 13089   ·_e cxmu 13091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-xneg 13092  df-xmul 13094

This theorem is referenced by:  xlemul1  13269  xrsmcmn  20968  nmoi2  24247  xmulcand  32087  xreceu  32088  xdivrec  32093  xrge0slmod  32463