Theorem xpdom1 9004

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by NM, 29-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpdom1.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpdom1	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem xpdom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpdom1.2	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		xpdom1g 9002	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   × cxp 5622   ≼ cdom 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-en 8884  df-dom 8885

This theorem is referenced by:  uniimadom  10454  unirnfdomd  10478  alephreg  10493  inar1  10686  2ndcctbss  23399  tx2ndc  23595  mbfimaopnlem  25612