MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tx2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tx2ndc 23154
Description: The topological product of two second-countable spaces is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx2ndc ((𝑅 ∈ 2ndΟ‰ ∧ 𝑆 ∈ 2ndΟ‰) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰)

Proof of Theorem tx2ndc
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 22949 . 2 (𝑅 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅))
2 is2ndc 22949 . 2 (𝑆 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘  ∈ TopBases (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆))
3 reeanv 3226 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases βˆƒπ‘  ∈ TopBases ((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ βˆƒπ‘  ∈ TopBases (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)))
4 an4 654 . . . . 5 (((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) ↔ ((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰) ∧ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)))
5 txbasval 23109 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) = (π‘Ÿ Γ—t 𝑠))
6 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
76txval 23067 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ (π‘Ÿ Γ—t 𝑠) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
85, 7eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
98adantr 481 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
106txbas 23070 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ TopBases)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ TopBases)
12 omelon 9640 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ ∈ On
13 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑠 ∈ V
1413xpdom1 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— 𝑠))
15 omex 9637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο‰ ∈ V
1615xpdom2 9066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 β‰Ό Ο‰ β†’ (Ο‰ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
17 domtr 9002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— 𝑠) ∧ (Ο‰ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
1814, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
20 xpomen 10009 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
21 domentr 9008 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰) ∧ (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό Ο‰)
2219, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό Ο‰)
23 ondomen 10031 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο‰ ∈ On ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ dom card)
2412, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ dom card)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
26 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘₯ ∈ V
27 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
2826, 27xpex 7739 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ V
2925, 28fnmpoi 8055 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (π‘Ÿ Γ— 𝑠)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
31 dffn4 6811 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(π‘Ÿ Γ— 𝑠)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
3230, 31sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(π‘Ÿ Γ— 𝑠)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
33 fodomnum 10051 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(π‘Ÿ Γ— 𝑠)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
3424, 32, 33sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
35 domtr 9002 . . . . . . . . . 10 ((ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό Ο‰)
3634, 22, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό Ο‰)
37 2ndci 22951 . . . . . . . . 9 ((ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ TopBases ∧ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ 2ndΟ‰)
3811, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ 2ndΟ‰)
399, 38eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) ∈ 2ndΟ‰)
40 oveq12 7417 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4140eleq1d 2818 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆) β†’ (((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) ∈ 2ndΟ‰ ↔ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰))
4239, 41syl5ibcom 244 . . . . . 6 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰))
4342expimpd 454 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ (((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰) ∧ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰))
444, 43biimtrid 241 . . . 4 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ (((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰))
4544rexlimivv 3199 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases βˆƒπ‘  ∈ TopBases ((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰)
463, 45sylbir 234 . 2 ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ βˆƒπ‘  ∈ TopBases (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰)
471, 2, 46syl2anb 598 1 ((𝑅 ∈ 2ndΟ‰ ∧ 𝑆 ∈ 2ndΟ‰) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Ο‰com 7854   β‰ˆ cen 8935   β‰Ό cdom 8936  cardccrd 9929  topGenctg 17382  TopBasesctb 22447  2ndΟ‰c2ndc 22941   Γ—t ctx 23063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-topgen 17388  df-bases 22448  df-2ndc 22943  df-tx 23065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator