MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tx2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tx2ndc 23025
Description: The topological product of two second-countable spaces is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx2ndc ((𝑅 ∈ 2ndΟ‰ ∧ 𝑆 ∈ 2ndΟ‰) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰)

Proof of Theorem tx2ndc
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 22820 . 2 (𝑅 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅))
2 is2ndc 22820 . 2 (𝑆 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘  ∈ TopBases (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆))
3 reeanv 3216 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases βˆƒπ‘  ∈ TopBases ((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ βˆƒπ‘  ∈ TopBases (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)))
4 an4 655 . . . . 5 (((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) ↔ ((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰) ∧ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)))
5 txbasval 22980 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) = (π‘Ÿ Γ—t 𝑠))
6 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
76txval 22938 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ (π‘Ÿ Γ—t 𝑠) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
85, 7eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
98adantr 482 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) = (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
106txbas 22941 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ TopBases)
1110adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ TopBases)
12 omelon 9590 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ ∈ On
13 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑠 ∈ V
1413xpdom1 9021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— 𝑠))
15 omex 9587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο‰ ∈ V
1615xpdom2 9017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 β‰Ό Ο‰ β†’ (Ο‰ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
17 domtr 8953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— 𝑠) ∧ (Ο‰ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
1814, 16, 17syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰))
20 xpomen 9959 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰
21 domentr 8959 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό (Ο‰ Γ— Ο‰) ∧ (Ο‰ Γ— Ο‰) β‰ˆ Ο‰) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό Ο‰)
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό Ο‰)
23 ondomen 9981 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο‰ ∈ On ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό Ο‰) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ dom card)
2412, 22, 23sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ dom card)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
26 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘₯ ∈ V
27 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
2826, 27xpex 7691 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ V
2925, 28fnmpoi 8006 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (π‘Ÿ Γ— 𝑠)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
31 dffn4 6766 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(π‘Ÿ Γ— 𝑠)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
3230, 31sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(π‘Ÿ Γ— 𝑠)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
33 fodomnum 10001 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(π‘Ÿ Γ— 𝑠)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
3424, 32, 33sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
35 domtr 8953 . . . . . . . . . 10 ((ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∧ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό Ο‰)
3634, 22, 35syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό Ο‰)
37 2ndci 22822 . . . . . . . . 9 ((ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ∈ TopBases ∧ ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ 2ndΟ‰)
3811, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ π‘Ÿ, 𝑦 ∈ 𝑠 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ 2ndΟ‰)
399, 38eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) ∈ 2ndΟ‰)
40 oveq12 7370 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆) β†’ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4140eleq1d 2819 . . . . . . 7 (((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆) β†’ (((topGenβ€˜π‘Ÿ) Γ—t (topGenβ€˜π‘ )) ∈ 2ndΟ‰ ↔ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰))
4239, 41syl5ibcom 244 . . . . . 6 (((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) ∧ (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰)) β†’ (((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰))
4342expimpd 455 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ (((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ 𝑠 β‰Ό Ο‰) ∧ ((topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅 ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰))
444, 43biimtrid 241 . . . 4 ((π‘Ÿ ∈ TopBases ∧ 𝑠 ∈ TopBases) β†’ (((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰))
4544rexlimivv 3193 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases βˆƒπ‘  ∈ TopBases ((π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰)
463, 45sylbir 234 . 2 ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ TopBases (π‘Ÿ β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘Ÿ) = 𝑅) ∧ βˆƒπ‘  ∈ TopBases (𝑠 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘ ) = 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰)
471, 2, 46syl2anb 599 1 ((𝑅 ∈ 2ndΟ‰ ∧ 𝑆 ∈ 2ndΟ‰) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638  Oncon0 6321   Fn wfn 6495  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Ο‰com 7806   β‰ˆ cen 8886   β‰Ό cdom 8887  cardccrd 9879  topGenctg 17327  TopBasesctb 22318  2ndΟ‰c2ndc 22812   Γ—t ctx 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-topgen 17333  df-bases 22319  df-2ndc 22814  df-tx 22936
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator