Theorem uniimadom 10503

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
uniimadom.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
uniimadom	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem uniimadom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniimadom.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	funimaex 6611	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
4		fvelima 6934	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
5	4	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
6		breq1 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 ↔ 𝑦 ≼ 𝐵))
7	6	biimpd 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
8	7	reximi 3102	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
9		r19.36v 3192	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
11	5, 10	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵)))
12	11	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ≼ 𝐵)))
13	12	imp 410	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ≼ 𝐵))
14	13	ralrimiv 3155	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)𝑦 ≼ 𝐵)
15		unidom 10502	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)𝑦 ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵))
16	3, 14, 15	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵))
17		imadomg 10493	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19		uniimadom.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	xpdom1 9050	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴 → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
22	21	adantr 484	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23		domtr 8990	. 2 ⊢ ((∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ∧ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
24	16, 22, 23	syl2anc 593	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3456  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   × cxp 5647   “ cima 5652  Fun wfun 6517  ‘cfv 6523   ≼ cdom 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-ac2 10422

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10074

This theorem is referenced by:  uniimadomf  10504