Theorem uniimadom 10628

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
uniimadom.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
uniimadom	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem uniimadom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniimadom.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	funimaex 6627	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
4		fvelima 6950	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
5	4	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
6		breq1 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 ↔ 𝑦 ≼ 𝐵))
7	6	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
8	7	reximi 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
9		r19.36v 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
11	5, 10	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵)))
12	11	com23 87	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ≼ 𝐵)))
13	12	imp 412	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ≼ 𝐵))
14	13	ralrimiv 3153	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)𝑦 ≼ 𝐵)
15		unidom 10627	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)𝑦 ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵))
16	3, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵))
17		imadomg 10613	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19		uniimadom.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	xpdom1 9095	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴 → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
21	18, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
22	21	adantr 486	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23		domtr 9034	. 2 ⊢ ((∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ∧ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
24	16, 22, 23	syl2anc 596	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   × cxp 5648   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538   ≼ cdom 8971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-ac2 10541

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-card 10020  df-acn 10023  df-ac 10195

This theorem is used by:  uniimadomf  10629