MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniimadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniimadom 10534
Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
uniimadom.1 𝐴 ∈ V
uniimadom.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
uniimadom ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem uniimadom
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniimadom.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
21funimaex 6626 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ∈ V)
32adantr 480 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ V)
4 fvelima 6947 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦)
54ex 412 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
6 breq1 5141 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
76biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
87reximi 3076 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
9 r19.36v 3175 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
115, 10syl6 35 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵)))
1211com23 86 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵)))
1312imp 406 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵))
1413ralrimiv 3137 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐴)𝑦𝐵)
15 unidom 10533 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐴)𝑦𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵))
163, 14, 15syl2anc 583 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵))
17 imadomg 10524 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
19 uniimadom.2 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2019xpdom1 9066 . . . 4 ((𝐹𝐴) ≼ 𝐴 → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2118, 20syl 17 . . 3 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2221adantr 480 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23 domtr 8998 . 2 (( (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵) ∧ ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2416, 22, 23syl2anc 583 1 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  Vcvv 3466   cuni 4899   class class class wbr 5138   × cxp 5664  cima 5669  Fun wfun 6527  cfv 6533  cdom 8932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-ac2 10453
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-card 9929  df-acn 9932  df-ac 10106
This theorem is referenced by:  uniimadomf  10535
  Copyright terms: Public domain W3C validator