MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniimadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniimadom 10535
Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
uniimadom.1 𝐴 ∈ V
uniimadom.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
uniimadom ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem uniimadom
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniimadom.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
21funimaex 6633 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ∈ V)
32adantr 481 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ V)
4 fvelima 6954 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ (𝐹𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦)
54ex 413 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦))
6 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
76biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
87reximi 3084 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
9 r19.36v 3183 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑦 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵))
115, 10syl6 35 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵𝑦𝐵)))
1211com23 86 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵)))
1312imp 407 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵))
1413ralrimiv 3145 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐴)𝑦𝐵)
15 unidom 10534 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐴)𝑦𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵))
163, 14, 15syl2anc 584 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵))
17 imadomg 10525 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴))
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ≼ 𝐴)
19 uniimadom.2 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2019xpdom1 9067 . . . 4 ((𝐹𝐴) ≼ 𝐴 → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2118, 20syl 17 . . 3 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2221adantr 481 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23 domtr 8999 . 2 (( (𝐹𝐴) ≼ ((𝐹𝐴) × 𝐵) ∧ ((𝐹𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
2416, 22, 23syl2anc 584 1 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474   cuni 4907   class class class wbr 5147   × cxp 5673  cima 5678  Fun wfun 6534  cfv 6540  cdom 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-ac2 10454
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107
This theorem is referenced by:  uniimadomf  10536
  Copyright terms: Public domain W3C validator