Theorem uniimadom 10473

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
uniimadom.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
uniimadom	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem uniimadom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniimadom.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	funimaex 6588	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
4		fvelima 6908	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
5	4	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
6		breq1 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 ↔ 𝑦 ≼ 𝐵))
7	6	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
8	7	reximi 3067	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
9		r19.36v 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
11	5, 10	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵)))
12	11	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ≼ 𝐵)))
13	12	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ≼ 𝐵))
14	13	ralrimiv 3124	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)𝑦 ≼ 𝐵)
15		unidom 10472	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)𝑦 ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵))
16	3, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵))
17		imadomg 10463	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19		uniimadom.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	xpdom1 9017	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴 → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23		domtr 8955	. 2 ⊢ ((∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ∧ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
24	16, 22, 23	syl2anc 584	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   × cxp 5629   “ cima 5634  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499   ≼ cdom 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-ac2 10392

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045

This theorem is referenced by:  uniimadomf  10474