Theorem uniimadom 10452

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadom.1	⊢ 𝐴 ∈ V
uniimadom.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
uniimadom	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem uniimadom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniimadom.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	funimaex 6578	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
4		fvelima 6897	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
5	4	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦))
6		breq1 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 ↔ 𝑦 ≼ 𝐵))
7	6	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
8	7	reximi 3072	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
9		r19.36v 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵))
11	5, 10	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → 𝑦 ≼ 𝐵)))
12	11	com23 86	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ≼ 𝐵)))
13	12	imp 406	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ≼ 𝐵))
14	13	ralrimiv 3125	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)𝑦 ≼ 𝐵)
15		unidom 10451	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴)𝑦 ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵))
16	3, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵))
17		imadomg 10442	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴))
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴)
19		uniimadom.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	xpdom1 9002	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ≼ 𝐴 → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
23		domtr 8942	. 2 ⊢ ((∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ∧ ((𝐹 “ 𝐴) × 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
24	16, 22, 23	syl2anc 584	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096   × cxp 5620   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490   ≼ cdom 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-ac2 10371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024

This theorem is referenced by:  uniimadomf  10453