MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpdom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpdom3 9109
Description: A set is dominated by its Cartesian product with a nonempty set. Exercise 6 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpdom3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem xpdom3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4359 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵)
2 xpsneng 9095 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
323adant2 1130 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
43ensymd 9044 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}))
5 xpexg 7769 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
653adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
87snssd 4814 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
9 xpss2 5709 . . . . . . . 8 ({𝑥} ⊆ 𝐵 → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
11 ssdomg 9039 . . . . . . 7 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)))
126, 10, 11sylc 65 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵))
13 endomtr 9051 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}) ∧ (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
144, 12, 13syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝑥𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
15143expia 1120 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
1615exlimdv 1931 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑥 𝑥𝐵𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
171, 16biimtrid 242 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
18173impia 1116 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cen 8981  cdom 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986
This theorem is referenced by:  mapdom2  9187  xpfir  9298  infxpabs  10249
  Copyright terms: Public domain W3C validator