Theorem xpdom3 9099

Description: A set is dominated by its Cartesian product with a nonempty set. Exercise 6 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem xpdom3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4299	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
2		xpsneng 9086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
3	2	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
4	3	ensymd 9037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}))
5		xpexg 7766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
6	5	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	snssd 4743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
9		xpss2 5670	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐵 → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
11		ssdomg 9032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)))
12	6, 10, 11	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵))
13		endomtr 9044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}) ∧ (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
14	4, 12, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
15	14	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
16	15	exlimdv 1965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
17	1, 16	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
18	17	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102   × cxp 5648   ≈ cen 8975   ≼ cdom 8976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980

This theorem is used by:  mapdom2  9172  xpfir  9264  infxpabs  10294