Theorem xpdom3 9003

Description: A set is dominated by its Cartesian product with a nonempty set. Exercise 6 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem xpdom3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4305	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
2		xpsneng 8990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
3	2	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≈ 𝐴)
4	3	ensymd 8942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}))
5		xpexg 7695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
6	5	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	snssd 4765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
9		xpss2 5644	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐵 → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵))
11		ssdomg 8937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × {𝑥}) ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)))
12	6, 10, 11	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵))
13		endomtr 8949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 × {𝑥}) ∧ (𝐴 × {𝑥}) ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
14	4, 12, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
15	14	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
16	15	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
17	1, 16	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)))
18	17	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098   × cxp 5622   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885

This theorem is referenced by:  mapdom2  9076  xpfir  9168  infxpabs  10121