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Theorem infxr 45317
Description: The infimum of a set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infxr.x 𝑥𝜑
infxr.y 𝑦𝜑
infxr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infxr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
infxr.n (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
infxr.e (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infxr (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infxr
StepHypRef Expression
1 infxr.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 infxr.n . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
3 infxr.x . . 3 𝑥𝜑
4 infxr.e . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
54r19.21bi 3249 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
65adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
7 simplll 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝜑)
8 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
10 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
131ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 mnfle 13174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ≤ 𝐵)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
1811, 13, 12, 16, 17xrlelttrd 13199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ < 𝑥)
1911, 12, 18xrgtned 45272 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
2019adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
218, 9, 20xrnmnfpnf 45023 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
22 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
23 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝜑)
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = -∞ → 𝐵 = -∞)
25 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
26 mnflt 13163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 1
2824, 27eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = -∞ → 𝐵 < 1)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 < 1)
30 1red 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 1))
32 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
3332rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3431, 33imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)))
3534rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3630, 4, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3723, 29, 36sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
3837adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
39 infxr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
40 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑥 = +∞
4139, 40nfan 1897 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑𝑥 = +∞)
42 infxr.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4342sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4443ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 ∈ ℝ*)
45 1xr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 ∈ ℝ*)
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 𝑥 = +∞)
48 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
4947, 48eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑥 ∈ ℝ*)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 1)
53 ltpnf 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5425, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 1 < +∞)
5647eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → +∞ = 𝑥)
5755, 56breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 1 < 𝑥)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 1 < 𝑥)
5958ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 < 𝑥)
6044, 46, 51, 52, 59xrlttrd 13198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 𝑥)
6160ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥))
6261ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥)))
6341, 62reximdai 3259 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = +∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6463adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6538, 64mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
66653adantl3 1167 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
671adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
68673ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6924necon3bi 2965 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
7148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ ∈ ℝ*)
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
73 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
7472, 73breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
75743adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < +∞)
7768, 71, 76xrltned 45307 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ +∞)
7868, 70, 77xrred 45315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
7925a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ)
8078, 79readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
814adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
82813ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
8380, 82jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
8478ltp1d 12196 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
85 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐵 < 𝑥𝐵 < (𝐵 + 1)))
86 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝐵 + 1)))
8786rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
8885, 87imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 + 1) → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))))
8988rspcva 3620 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
9083, 84, 89sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))
91 nfv 1912 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝐵 < 𝑥
9239, 40, 91nf3an 1899 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥)
93 nfv 1912 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ¬ 𝐵 = -∞
9492, 93nfan 1897 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞)
95433ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9695ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9780adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9897rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
100503adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
101100ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < (𝐵 + 1))
10380ltpnfd 13161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < +∞)
10456adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
1051043ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
106103, 105breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
107106ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
10896, 99, 101, 102, 107xrlttrd 13198 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < 𝑥)
109108ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥))
110109ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥)))
11194, 110reximdai 3259 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
11290, 111mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
11366, 112pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1147, 21, 22, 113syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
115114ex 412 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1166, 115pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
117116ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
1183, 117ralrimi 3255 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
119 xrltso 13180 . . . . 5 < Or ℝ*
120119a1i 11 . . . 4 (⊤ → < Or ℝ*)
121120eqinf 9522 . . 3 (⊤ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵))
122121mptru 1544 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
1231, 2, 118, 122syl3anc 1370 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wtru 1538  wnf 1780  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148   Or wor 5596  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  infxrunb2  45318
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