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Theorem infxr 40221
Description: The infimum of a set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infxr.x 𝑥𝜑
infxr.y 𝑦𝜑
infxr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infxr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
infxr.n (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
infxr.e (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infxr (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infxr
StepHypRef Expression
1 infxr.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 infxr.n . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
3 infxr.x . . 3 𝑥𝜑
4 infxr.e . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
54r19.21bi 3079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
65adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
7 simplll 791 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝜑)
8 simpllr 793 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simplr 785 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
10 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
131ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 mnfle 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
1615ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ≤ 𝐵)
17 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
1811, 13, 12, 16, 17xrlelttrd 12193 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ < 𝑥)
1911, 12, 18xrgtned 40176 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
2019adantlr 706 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
218, 9, 20xrnmnfpnf 39907 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
22 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
23 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝜑)
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = -∞ → 𝐵 = -∞)
25 1re 10293 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
26 mnflt 12157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 1
2824, 27syl6eqbr 4848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = -∞ → 𝐵 < 1)
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 < 1)
30 1red 10294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 1))
32 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
3332rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3431, 33imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)))
3534rspcva 3459 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3630, 4, 35syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3723, 29, 36sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
3837adantlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
39 infxr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
40 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑥 = +∞
4139, 40nfan 1998 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑𝑥 = +∞)
42 infxr.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4342sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4443ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4525rexri 10351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 ∈ ℝ*)
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 𝑥 = +∞)
48 pnfxr 10346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
4947, 48syl6eqel 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑥 ∈ ℝ*)
52 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 1)
53 ltpnf 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5425, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 1 < +∞)
5647eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → +∞ = 𝑥)
5755, 56breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 1 < 𝑥)
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 1 < 𝑥)
5958ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 < 𝑥)
6044, 46, 51, 52, 59xrlttrd 12192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 𝑥)
6160ex 401 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥))
6261ex 401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥)))
6341, 62reximdai 3158 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = +∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6463adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6538, 64mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
66653adantl3 1209 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
671adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
68673ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6924necon3bi 2963 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
7069adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
7148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ ∈ ℝ*)
72 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
73 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
7472, 73breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
75743adant1 1160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < +∞)
7768, 71, 76xrltned 40211 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ +∞)
7868, 70, 77xrred 40219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
7925a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ)
8078, 79readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
814adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
82813ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
8380, 82jca 507 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
8478ltp1d 11208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
85 breq2 4813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐵 < 𝑥𝐵 < (𝐵 + 1)))
86 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝐵 + 1)))
8786rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
8885, 87imbi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 + 1) → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))))
8988rspcva 3459 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
9083, 84, 89sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))
91 nfv 2009 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝐵 < 𝑥
9239, 40, 91nf3an 2000 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥)
93 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ¬ 𝐵 = -∞
9492, 93nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞)
95433ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9695ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9780adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9897rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
100503adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
101100ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
102 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < (𝐵 + 1))
10380ltpnfd 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < +∞)
10456adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
1051043ad2antl2 1237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
106103, 105breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
107106ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
10896, 99, 101, 102, 107xrlttrd 12192 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < 𝑥)
109108ex 401 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥))
110109ex 401 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥)))
11194, 110reximdai 3158 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
11290, 111mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
11366, 112pm2.61dan 847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1147, 21, 22, 113syl3anc 1490 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
115114ex 401 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1166, 115pm2.61dan 847 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
117116ex 401 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
1183, 117ralrimi 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
119 xrltso 12174 . . . . 5 < Or ℝ*
120119a1i 11 . . . 4 (⊤ → < Or ℝ*)
121120eqinf 8597 . . 3 (⊤ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵))
122121mptru 1660 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
1231, 2, 118, 122syl3anc 1490 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wtru 1653  wnf 1878  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732   class class class wbr 4809   Or wor 5197  (class class class)co 6842  infcinf 8554  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523
This theorem is referenced by:  infxrunb2  40222
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