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Theorem infxr 41511
Description: The infimum of a set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infxr.x 𝑥𝜑
infxr.y 𝑦𝜑
infxr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infxr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
infxr.n (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
infxr.e (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infxr (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infxr
StepHypRef Expression
1 infxr.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 infxr.n . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
3 infxr.x . . 3 𝑥𝜑
4 infxr.e . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
54r19.21bi 3205 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
65adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
7 simplll 771 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝜑)
8 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
10 mnfxr 10686 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
131ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 mnfle 12517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
1615ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ≤ 𝐵)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
1811, 13, 12, 16, 17xrlelttrd 12541 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ < 𝑥)
1911, 12, 18xrgtned 41466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
2019adantlr 711 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
218, 9, 20xrnmnfpnf 41224 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
23 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝜑)
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = -∞ → 𝐵 = -∞)
25 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
26 mnflt 12506 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 1
2824, 27eqbrtrdi 5096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = -∞ → 𝐵 < 1)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 < 1)
30 1red 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 1))
32 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
3332rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3431, 33imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)))
3534rspcva 3618 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3630, 4, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3723, 29, 36sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
3837adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
39 infxr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
40 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑥 = +∞
4139, 40nfan 1891 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑𝑥 = +∞)
42 infxr.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4342sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4443ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 ∈ ℝ*)
45 1xr 10688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 ∈ ℝ*)
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 𝑥 = +∞)
48 pnfxr 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
4947, 48syl6eqel 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑥 ∈ ℝ*)
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 1)
53 ltpnf 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5425, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 1 < +∞)
5647eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → +∞ = 𝑥)
5755, 56breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 1 < 𝑥)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 1 < 𝑥)
5958ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 < 𝑥)
6044, 46, 51, 52, 59xrlttrd 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 𝑥)
6160ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥))
6261ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥)))
6341, 62reximdai 3308 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = +∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6538, 64mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
66653adantl3 1160 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
671adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
68673ad2antl1 1177 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6924necon3bi 3039 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
7148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ ∈ ℝ*)
72 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
73 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
7472, 73breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
75743adant1 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < +∞)
7768, 71, 76xrltned 41501 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ +∞)
7868, 70, 77xrred 41509 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
7925a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ)
8078, 79readdcld 10658 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
814adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
82813ad2antl1 1177 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
8380, 82jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
8478ltp1d 11558 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
85 breq2 5061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐵 < 𝑥𝐵 < (𝐵 + 1)))
86 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝐵 + 1)))
8786rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
8885, 87imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 + 1) → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))))
8988rspcva 3618 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
9083, 84, 89sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))
91 nfv 1906 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝐵 < 𝑥
9239, 40, 91nf3an 1893 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥)
93 nfv 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ¬ 𝐵 = -∞
9492, 93nfan 1891 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞)
95433ad2antl1 1177 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9695ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9780adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9897rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
100503adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
101100ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < (𝐵 + 1))
10380ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < +∞)
10456adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
1051043ad2antl2 1178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
106103, 105breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
107106ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
10896, 99, 101, 102, 107xrlttrd 12540 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < 𝑥)
109108ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥))
110109ex 413 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥)))
11194, 110reximdai 3308 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
11290, 111mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
11366, 112pm2.61dan 809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1147, 21, 22, 113syl3anc 1363 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
115114ex 413 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1166, 115pm2.61dan 809 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
117116ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
1183, 117ralrimi 3213 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
119 xrltso 12522 . . . . 5 < Or ℝ*
120119a1i 11 . . . 4 (⊤ → < Or ℝ*)
121120eqinf 8936 . . 3 (⊤ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵))
122121mptru 1535 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
1231, 2, 118, 122syl3anc 1363 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wtru 1529  wnf 1775  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057   Or wor 5466  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  infxrunb2  41512
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