Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfxlim2v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfxlim2v 45282
Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dfxlim2v.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dfxlim2v.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dfxlim2v.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
dfxlim2v (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem dfxlim2v
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
2 dfxlim2v.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 dfxlim2v.2 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 dfxlim2v.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
65adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
7 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
83, 4, 6, 7xlimclim2 45275 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
98adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
101, 9mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11103mix1d 1333 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
12 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = -∞)
13 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
14 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = -∞)
1513, 14breqtrd 5178 . . . . . . . 8 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*-∞)
1615adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*-∞)
17 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
1817, 2, 4, 5xlimmnf 45276 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
1918ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
2016, 19mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
21 3mix2 1328 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
2212, 20, 21syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
2322adantlr 713 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
24 simpll 765 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ (πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴))
25 xlimcl 45257 . . . . . . 7 (𝐹~~>*𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2625ad3antlr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
27 simplr 767 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ)
28 neqne 2945 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 = -∞ β†’ 𝐴 β‰  -∞)
2928adantl 480 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
3026, 27, 29xrnmnfpnf 44498 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = +∞)
31 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
32 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
33 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
3432, 33breqtrd 5178 . . . . . . . 8 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*+∞)
3534adantll 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*+∞)
3617, 2, 4, 5xlimpnf 45277 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3736ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3835, 37mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
39 3mix3 1329 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4031, 38, 39syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4124, 30, 40syl2anc 582 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4223, 41pm2.61dan 811 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4311, 42pm2.61dan 811 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
442adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
455adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
46 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
4744, 4, 45, 46climxlim2 45281 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
4818biimpar 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹~~>*-∞)
4948adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹~~>*-∞)
50 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 = -∞)
5149, 50breqtrrd 5180 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5236biimpar 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝐹~~>*+∞)
5352adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐹~~>*+∞)
54 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐴 = +∞)
5553, 54breqtrrd 5180 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5647, 51, 553jaodan 1427 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5743, 56impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„cr 11147  +∞cpnf 11285  -∞cmnf 11286  β„*cxr 11287   ≀ cle 11289  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862   ⇝ cli 15470  ~~>*clsxlim 45253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-rest 17413  df-topn 17414  df-topgen 17434  df-ordt 17492  df-ps 18567  df-tsr 18568  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-lm 23161  df-xms 24254  df-ms 24255  df-xlim 45254
This theorem is referenced by:  dfxlim2  45283
  Copyright terms: Public domain W3C validator