Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfxlim2v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfxlim2v 44174
Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dfxlim2v.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dfxlim2v.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dfxlim2v.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
dfxlim2v (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem dfxlim2v
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
2 dfxlim2v.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 dfxlim2v.2 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 dfxlim2v.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
65adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
7 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
83, 4, 6, 7xlimclim2 44167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
98adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
101, 9mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11103mix1d 1337 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
12 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = -∞)
13 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
14 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = -∞)
1513, 14breqtrd 5132 . . . . . . . 8 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*-∞)
1615adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*-∞)
17 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
1817, 2, 4, 5xlimmnf 44168 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
2016, 19mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
21 3mix2 1332 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
2212, 20, 21syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
2322adantlr 714 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
24 simpll 766 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ (πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴))
25 xlimcl 44149 . . . . . . 7 (𝐹~~>*𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2625ad3antlr 730 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
27 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ)
28 neqne 2948 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 = -∞ β†’ 𝐴 β‰  -∞)
2928adantl 483 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
3026, 27, 29xrnmnfpnf 43381 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = +∞)
31 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
32 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
33 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
3432, 33breqtrd 5132 . . . . . . . 8 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*+∞)
3534adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*+∞)
3617, 2, 4, 5xlimpnf 44169 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3736ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3835, 37mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
39 3mix3 1333 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4031, 38, 39syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4124, 30, 40syl2anc 585 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4223, 41pm2.61dan 812 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4311, 42pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
442adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
455adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
46 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
4744, 4, 45, 46climxlim2 44173 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
4818biimpar 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹~~>*-∞)
4948adantrl 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹~~>*-∞)
50 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 = -∞)
5149, 50breqtrrd 5134 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5236biimpar 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝐹~~>*+∞)
5352adantrl 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐹~~>*+∞)
54 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐴 = +∞)
5553, 54breqtrrd 5134 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5647, 51, 553jaodan 1431 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5743, 56impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768   ⇝ cli 15372  ~~>*clsxlim 44145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-rest 17309  df-topn 17310  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-lm 22596  df-xms 23689  df-ms 23690  df-xlim 44146
This theorem is referenced by:  dfxlim2  44175
  Copyright terms: Public domain W3C validator