Theorem dfxlim2v 45852

Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfxlim2v.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2v.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dfxlim2v.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
dfxlim2v	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
2		dfxlim2v.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dfxlim2v.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		dfxlim2v.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	3, 4, 6, 7	xlimclim2 45845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
9	8	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
10	1, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11	10	3mix1d 1337	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*𝐴)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
15	13, 14	breqtrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
16	15	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
17		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
18	17, 2, 4, 5	xlimmnf 45846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
20	16, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
21		3mix2 1332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
22	12, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
23	22	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
24		simpll 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴))
25		xlimcl 45827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	25	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
28		neqne 2934	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
30	26, 27, 29	xrnmnfpnf 45084	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = +∞)
31		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
32		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*𝐴)
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
34	32, 33	breqtrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
35	34	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
36	17, 2, 4, 5	xlimpnf 45847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
38	35, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
39		3mix3 1333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
40	31, 38, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
41	24, 30, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
42	23, 41	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
43	11, 42	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
44	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
45	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
46		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
47	44, 4, 45, 46	climxlim2 45851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
48	18	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
49	48	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*-∞)
50		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐴 = -∞)
51	49, 50	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*𝐴)
52	36	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
53	52	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐹~~>*+∞)
54		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐴 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐹~~>*𝐴)
56	47, 51, 55	3jaodan 1433	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))) → 𝐹~~>*𝐴)
57	43, 56	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800   ⇝ cli 15457  ~~>*clsxlim 45823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-ordt 17471  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-lm 23123  df-xms 24215  df-ms 24216  df-xlim 45824

This theorem is referenced by:  dfxlim2  45853