Theorem dfxlim2v 46033

Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfxlim2v.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2v.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dfxlim2v.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
dfxlim2v	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
2		dfxlim2v.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dfxlim2v.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		dfxlim2v.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	3, 4, 6, 7	xlimclim2 46026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
9	8	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
10	1, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11	10	3mix1d 1337	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*𝐴)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
15	13, 14	breqtrd 5122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
16	15	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
17		nfcv 2896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
18	17, 2, 4, 5	xlimmnf 46027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
20	16, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
21		3mix2 1332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
22	12, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
23	22	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
24		simpll 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴))
25		xlimcl 46008	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	25	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
28		neqne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
30	26, 27, 29	xrnmnfpnf 45270	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = +∞)
31		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
32		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*𝐴)
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
34	32, 33	breqtrd 5122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
35	34	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
36	17, 2, 4, 5	xlimpnf 46028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
38	35, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
39		3mix3 1333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
40	31, 38, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
41	24, 30, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
42	23, 41	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
43	11, 42	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
44	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
45	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
46		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
47	44, 4, 45, 46	climxlim2 46032	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
48	18	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
49	48	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*-∞)
50		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐴 = -∞)
51	49, 50	breqtrrd 5124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*𝐴)
52	36	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
53	52	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐹~~>*+∞)
54		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐴 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐹~~>*𝐴)
56	47, 51, 55	3jaodan 1433	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))) → 𝐹~~>*𝐴)
57	43, 56	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  ℝcr 11023  +∞cpnf 11161  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749   ⇝ cli 15405  ~~>*clsxlim 46004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-rest 17340  df-topn 17341  df-topgen 17361  df-ordt 17420  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-lm 23171  df-xms 24262  df-ms 24263  df-xlim 46005

This theorem is referenced by:  dfxlim2  46034