Theorem dfxlim2v 45862

Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfxlim2v.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2v.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dfxlim2v.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
dfxlim2v	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
2		dfxlim2v.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dfxlim2v.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		dfxlim2v.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	3, 4, 6, 7	xlimclim2 45855	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
9	8	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
10	1, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11	10	3mix1d 1337	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*𝐴)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
15	13, 14	breqtrd 5169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
16	15	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
17		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
18	17, 2, 4, 5	xlimmnf 45856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
20	16, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
21		3mix2 1332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
22	12, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
23	22	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
24		simpll 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴))
25		xlimcl 45837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	25	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
28		neqne 2948	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
30	26, 27, 29	xrnmnfpnf 45088	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = +∞)
31		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
32		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*𝐴)
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
34	32, 33	breqtrd 5169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
35	34	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
36	17, 2, 4, 5	xlimpnf 45857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
38	35, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
39		3mix3 1333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
40	31, 38, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
41	24, 30, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
42	23, 41	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
43	11, 42	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
44	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
45	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
46		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
47	44, 4, 45, 46	climxlim2 45861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
48	18	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
49	48	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*-∞)
50		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐴 = -∞)
51	49, 50	breqtrrd 5171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*𝐴)
52	36	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
53	52	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐹~~>*+∞)
54		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐴 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐹~~>*𝐴)
56	47, 51, 55	3jaodan 1433	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))) → 𝐹~~>*𝐴)
57	43, 56	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ⇝ cli 15520  ~~>*clsxlim 45833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xms 24330  df-ms 24331  df-xlim 45834

This theorem is referenced by:  dfxlim2  45863