Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfxlim2v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfxlim2v 45135
Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dfxlim2v.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dfxlim2v.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dfxlim2v.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
dfxlim2v (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem dfxlim2v
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
2 dfxlim2v.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 dfxlim2v.2 . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 dfxlim2v.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
7 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
83, 4, 6, 7xlimclim2 45128 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
98adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
101, 9mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
11103mix1d 1333 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
12 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = -∞)
13 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
14 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = -∞)
1513, 14breqtrd 5167 . . . . . . . 8 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*-∞)
1615adantll 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹~~>*-∞)
17 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πΉ
1817, 2, 4, 5xlimmnf 45129 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
1918ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
2016, 19mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
21 3mix2 1328 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
2212, 20, 21syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
2322adantlr 712 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
24 simpll 764 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ (πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴))
25 xlimcl 45110 . . . . . . 7 (𝐹~~>*𝐴 β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2625ad3antlr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
27 simplr 766 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ)
28 neqne 2942 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐴 = -∞ β†’ 𝐴 β‰  -∞)
2928adantl 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
3026, 27, 29xrnmnfpnf 44347 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 = +∞)
31 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
32 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
33 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
3432, 33breqtrd 5167 . . . . . . . 8 ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*+∞)
3534adantll 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐹~~>*+∞)
3617, 2, 4, 5xlimpnf 45130 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3736ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3835, 37mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
39 3mix3 1329 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4031, 38, 39syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4124, 30, 40syl2anc 583 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4223, 41pm2.61dan 810 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
4311, 42pm2.61dan 810 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*𝐴) β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
442adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
455adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
46 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
4744, 4, 45, 46climxlim2 45134 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
4818biimpar 477 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹~~>*-∞)
4948adantrl 713 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹~~>*-∞)
50 simprl 768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 = -∞)
5149, 50breqtrrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5236biimpar 477 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝐹~~>*+∞)
5352adantrl 713 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐹~~>*+∞)
54 simprl 768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐴 = +∞)
5553, 54breqtrrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5647, 51, 553jaodan 1427 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ 𝐹~~>*𝐴)
5743, 56impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826   ⇝ cli 15434  ~~>*clsxlim 45106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-lm 23088  df-xms 24181  df-ms 24182  df-xlim 45107
This theorem is referenced by:  dfxlim2  45136
  Copyright terms: Public domain W3C validator