Theorem dfxlim2v 45803

Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfxlim2v.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2v.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dfxlim2v.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
dfxlim2v	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
2		dfxlim2v.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dfxlim2v.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		dfxlim2v.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	3, 4, 6, 7	xlimclim2 45796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
9	8	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
10	1, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11	10	3mix1d 1335	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*𝐴)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
15	13, 14	breqtrd 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
16	15	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
17		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
18	17, 2, 4, 5	xlimmnf 45797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
20	16, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
21		3mix2 1330	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
22	12, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
23	22	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
24		simpll 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴))
25		xlimcl 45778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ*)
26	25	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
28		neqne 2946	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
30	26, 27, 29	xrnmnfpnf 45023	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = +∞)
31		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
32		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*𝐴)
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
34	32, 33	breqtrd 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹~~>*𝐴 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
35	34	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
36	17, 2, 4, 5	xlimpnf 45798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
38	35, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
39		3mix3 1331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
40	31, 38, 39	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
41	24, 30, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
42	23, 41	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
43	11, 42	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*𝐴) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
44	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
45	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
46		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
47	44, 4, 45, 46	climxlim2 45802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
48	18	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
49	48	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*-∞)
50		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐴 = -∞)
51	49, 50	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*𝐴)
52	36	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
53	52	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐹~~>*+∞)
54		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐴 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))) → 𝐹~~>*𝐴)
56	47, 51, 55	3jaodan 1430	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))) → 𝐹~~>*𝐴)
57	43, 56	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  ℝcr 11152  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876   ⇝ cli 15517  ~~>*clsxlim 45774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-lm 23253  df-xms 24346  df-ms 24347  df-xlim 45775

This theorem is referenced by:  dfxlim2  45804