Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrred 45376
Description: An extended real that is neither minus infinity, nor plus infinity, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrred.2 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
xrred.3 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
xrred (𝜑𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrred
StepHypRef Expression
1 xrred.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrred.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
31, 2jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
4 xrnemnf 13159 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
53, 4sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6 xrred.3 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
76neneqd 2945 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
8 pm2.53 852 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
98con1d 145 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ))
105, 7, 9sylc 65 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299
This theorem is referenced by:  infxr  45378  infleinflem2  45382  xrralrecnnge  45401  xrre4  45422  supminfxr2  45480  xrpnf  45496  climxrrelem  45764  climxrre  45765  liminflimsupxrre  45832  ioorrnopnxrlem  46321  pimiooltgt  46725  smfpimltxr  46762  smfpimgtxr  46795
  Copyright terms: Public domain W3C validator