Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrred 45314
Description: An extended real that is neither minus infinity, nor plus infinity, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrred.2 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
xrred.3 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
xrred (𝜑𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrred
StepHypRef Expression
1 xrred.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrred.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
31, 2jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
4 xrnemnf 13156 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
53, 4sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6 xrred.3 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
76neneqd 2942 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
8 pm2.53 851 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
98con1d 145 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ))
105, 7, 9sylc 65 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cr 11151  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296
This theorem is referenced by:  infxr  45316  infleinflem2  45320  xrralrecnnge  45339  xrre4  45360  supminfxr2  45418  xrpnf  45435  climxrrelem  45704  climxrre  45705  liminflimsupxrre  45772  ioorrnopnxrlem  46261  pimiooltgt  46665  smfpimltxr  46702  smfpimgtxr  46735
  Copyright terms: Public domain W3C validator