Theorem xrred 45812

Description: An extended real that is neither minus infinity, nor plus infinity, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrred.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
xrred.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
xrred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrred.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrred.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xrnemnf 13059	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
5	3, 4	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6		xrred.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
7	6	neneqd 2938	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
8		pm2.53 852	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
9	8	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ))
10	5, 7, 9	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174

This theorem is referenced by:  infxr  45814  infleinflem2  45818  xrralrecnnge  45837  xrre4  45857  supminfxr2  45915  xrpnf  45931  climxrrelem  46195  climxrre  46196  liminflimsupxrre  46263  ioorrnopnxrlem  46752  pimiooltgt  47156  smfpimltxr  47193  smfpimgtxr  47226