Theorem xrred 45794

Description: An extended real that is neither minus infinity, nor plus infinity, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrred.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
xrred.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
xrred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrred.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrred.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xrnemnf 13068	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
5	3, 4	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6		xrred.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
7	6	neneqd 2937	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
8		pm2.53 852	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
9	8	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ))
10	5, 7, 9	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183

This theorem is referenced by:  infxr  45796  infleinflem2  45800  xrralrecnnge  45819  xrre4  45839  supminfxr2  45897  xrpnf  45913  climxrrelem  46177  climxrre  46178  liminflimsupxrre  46245  ioorrnopnxrlem  46734  pimiooltgt  47138  smfpimltxr  47175  smfpimgtxr  47208