Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrred 41839
Description: An extended real that is neither minus infinity, nor plus infinity, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrred.2 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
xrred.3 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
xrred (𝜑𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrred
StepHypRef Expression
1 xrred.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrred.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ -∞)
31, 2jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
4 xrnemnf 12498 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
53, 4sylib 221 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6 xrred.3 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ +∞)
76neneqd 3018 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
8 pm2.53 848 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
98con1d 147 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ))
105, 7, 9sylc 65 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cr 10521  +∞cpnf 10657  -∞cmnf 10658  *cxr 10659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664
This theorem is referenced by:  infxr  41841  infleinflem2  41845  xrralrecnnge  41868  xrre4  41890  supminfxr2  41950  xrpnf  41967  climxrrelem  42233  climxrre  42234  liminflimsupxrre  42301  ioorrnopnxrlem  42790  pimiooltgt  43188  smfpimltxr  43223  smfpimgtxr  43255
  Copyright terms: Public domain W3C validator