Theorem xrred 42836

Description: An extended real that is neither minus infinity, nor plus infinity, is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrred.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
xrred.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
xrred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrred.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrred.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xrnemnf 12798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
6		xrred.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ +∞)
7	6	neneqd 2946	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = +∞)
8		pm2.53 847	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = +∞))
9	8	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ ℝ))
10	5, 7, 9	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ℝcr 10817  +∞cpnf 10953  -∞cmnf 10954  ℝ^*cxr 10955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960

This theorem is referenced by:  infxr  42838  infleinflem2  42842  xrralrecnnge  42862  xrre4  42883  supminfxr2  42941  xrpnf  42958  climxrrelem  43222  climxrre  43223  liminflimsupxrre  43290  ioorrnopnxrlem  43779  pimiooltgt  44177  smfpimltxr  44212  smfpimgtxr  44244