Theorem infxrlbrnmpt2 42950

Description: A member of a nonempty indexed set of reals is greater than or equal to the set's lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrlbrnmpt2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infxrlbrnmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
infxrlbrnmpt2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.e	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
infxrlbrnmpt2	⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem infxrlbrnmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrlbrnmpt2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		infxrlbrnmpt2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	rnmptssd 42735	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ*)
5		infxrlbrnmpt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		infxrlbrnmpt2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
7		infxrlbrnmpt2.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
8	2, 7	elrnmpt1s 5866	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10		infxrlb 13068	. 2 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
11	4, 9, 10	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  infcinf 9200  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  limsuplesup  43240