Theorem infxrlbrnmpt2 44120

Description: A member of a nonempty indexed set of reals is greater than or equal to the set's lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrlbrnmpt2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infxrlbrnmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
infxrlbrnmpt2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.e	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
infxrlbrnmpt2	⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem infxrlbrnmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrlbrnmpt2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		infxrlbrnmpt2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	rnmptssd 43895	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ*)
5		infxrlbrnmpt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		infxrlbrnmpt2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
7		infxrlbrnmpt2.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
8	2, 7	elrnmpt1s 5957	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9	5, 6, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10		infxrlb 13313	. 2 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
11	4, 9, 10	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  infcinf 9436  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  limsuplesup  44415