Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrlbrnmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrlbrnmpt2 42932
Description: A member of a nonempty indexed set of reals is greater than or equal to the set's lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrlbrnmpt2.x 𝑥𝜑
infxrlbrnmpt2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.c (𝜑𝐶𝐴)
infxrlbrnmpt2.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.e (𝑥 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
infxrlbrnmpt2 (𝜑 → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem infxrlbrnmpt2
StepHypRef Expression
1 infxrlbrnmpt2.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2740 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 infxrlbrnmpt2.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41, 2, 3rnmptssd 42717 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
5 infxrlbrnmpt2.c . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
6 infxrlbrnmpt2.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
7 infxrlbrnmpt2.e . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
82, 7elrnmpt1s 5865 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
95, 6, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
10 infxrlb 13079 . 2 ((ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ*𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)) → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
114, 9, 10syl2anc 584 1 (𝜑 → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2110  wss 3892   class class class wbr 5079  cmpt 5162  ran crn 5591  infcinf 9188  *cxr 11019   < clt 11020  cle 11021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219
This theorem is referenced by:  limsuplesup  43222
  Copyright terms: Public domain W3C validator