Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrlbrnmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrlbrnmpt2 41682
Description: A member of a nonempty indexed set of reals is greater than or equal to the set's lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrlbrnmpt2.x 𝑥𝜑
infxrlbrnmpt2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.c (𝜑𝐶𝐴)
infxrlbrnmpt2.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.e (𝑥 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
infxrlbrnmpt2 (𝜑 → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem infxrlbrnmpt2
StepHypRef Expression
1 infxrlbrnmpt2.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2821 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 infxrlbrnmpt2.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41, 2, 3rnmptssd 41456 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
5 infxrlbrnmpt2.c . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
6 infxrlbrnmpt2.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
7 infxrlbrnmpt2.e . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
82, 7elrnmpt1s 5828 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
95, 6, 8syl2anc 586 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
10 infxrlb 12726 . 2 ((ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ*𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)) → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
114, 9, 10syl2anc 586 1 (𝜑 → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wnf 1780  wcel 2110  wss 3935   class class class wbr 5065  cmpt 5145  ran crn 5555  infcinf 8904  *cxr 10673   < clt 10674  cle 10675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872
This theorem is referenced by:  limsuplesup  41978
  Copyright terms: Public domain W3C validator