Theorem infxrlbrnmpt2 45359

Description: A member of a nonempty indexed set of reals is greater than or equal to the set's lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrlbrnmpt2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infxrlbrnmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
infxrlbrnmpt2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.e	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
infxrlbrnmpt2	⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem infxrlbrnmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrlbrnmpt2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		infxrlbrnmpt2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	rnmptssd 45138	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ*)
5		infxrlbrnmpt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		infxrlbrnmpt2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
7		infxrlbrnmpt2.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
8	2, 7	elrnmpt1s 5972	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10		infxrlb 13372	. 2 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
11	4, 9, 10	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536  Ⅎwnf 1779   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5689  infcinf 9478  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  limsuplesup  45654