Theorem infxrlbrnmpt2 46184

Description: A member of a nonempty indexed set of reals is greater than or equal to the set's lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrlbrnmpt2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
infxrlbrnmpt2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
infxrlbrnmpt2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.e	⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
infxrlbrnmpt2	⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem infxrlbrnmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrlbrnmpt2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		infxrlbrnmpt2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	1, 2, 3	rnmptssd 7123	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ*)
5		infxrlbrnmpt2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		infxrlbrnmpt2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
7		infxrlbrnmpt2.e	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
8	2, 7	elrnmpt1s 5951	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
9	5, 6, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10		infxrlb 13379	. 2 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
11	4, 9, 10	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  infcinf 9408  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461

This theorem is used by:  limsuplesup  46473